基于逆向思維訓練提升數(shù)學思維品質的教學研究

◎許遙集 （福建省廈門市新店中學，福建 廈門 361102）

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》指出，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括“數(shù)學抽象”“邏輯推理”“數(shù)學建?！薄爸庇^想象”“數(shù)學運算”“數(shù)據(jù)分析”六個方面.推理與證明是數(shù)學的基本思維過程.在問題解決過程中，推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供思路的作用.數(shù)學發(fā)散思維的核心是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新能力和獨立思考能力.逆向思維是發(fā)散思維的一種重要形式，它是從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題，表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則等.逆向推理，即順推繁復時考慮逆求；反向證明，即直接解決較困難時考慮間接解決；從反方向形成新結論，即探討可能性或合理性存在邏輯困難時考慮新的可能性.逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結性，是擺脫思維定式、突破舊有思想框架、產生新思想、發(fā)現(xiàn)新知識的重要思維方式.本文基于中學數(shù)學教學實踐，對重視逆向思維訓練、培養(yǎng)學生逆向思維能力及提升學生數(shù)學思維的若干方法進行了歸納總結.

一、重視逆向思維的訓練

逆向思維是相對正向思維而言的，它的思維方式往往是正向思維的逆轉.在數(shù)學教材中蘊含著許多可逆性內容，如數(shù)學對象的定義、數(shù)學運算、原定理與逆定理等.在絕大部分的數(shù)學課堂上，教師都要求學生掌握并學會應用一些定義、定理、公式、法則等，但大多都是從左到右的正向運用，久而久之學生就會形成一種思維定式——用固定的思路和習慣去考慮問題和解決問題，這對思維靈活性的培養(yǎng)很不利.為了讓學生逐步具備超脫出習慣處理方法界限的能力，訓練思維的靈活性，教師在教學中應有意識地在強化正向思維的同時注意逆向思維的訓練.

1.注意闡述定義的可逆性

被定義的概念和下定義的概念，其外延完全相等，因而兩者的位置可以互換.由此可見，所有的定義都具有可逆性.也就是說，每個定義都可以從正、反兩面來加深學生對其的理解.下面我們以例1 為例來說明此問題.

例 1已知關于x的方程 3x＋a＝4 的解是x＝2，求a的值.

（1）正向思維解法

解解方程得解得a＝－2.

（2）逆向思維解法

解∵x＝2 是所給方程的解，代入原方程得3×2＋a＝4，解得a＝－2.

點評對比逆向思維和正向思維兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)逆向思維的解法比正向思維的解法更簡捷靈活.

總結在數(shù)學教學中，我們應有意識地強調定義的可逆性，這樣才能全面、深刻地領會定義，從而靈活地運用定義來解決數(shù)學問題.

2.注意公式、法則的逆用

數(shù)學教材中存在著大量的公式、法則，如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方等互為逆運算，整式的乘法公式與多項式的因式分解公式是互逆公式等.對于學生來說，他們能比較熟練地從左到右運用公式、法則，但不善于從右到左運用公式、法則.因此，在教學中，對于數(shù)學公式、法則，教師在講解其正向應用的同時，要注意探索它的逆向應用.顯然，公式、法則的逆用將大大豐富它的內容，擴大它的使用“價值”.

下面以例2 和例3 中兩個公式逆用的例子進行說明.

例 2求 cos 20°·cos 40°·cos 80°的值.

點評此題是三角函數(shù)求值中的一道常見題目，常規(guī)思路是用積化和差公式解決.但我們注意到，各余弦角度間存在著特殊關系，逆用倍角公式 sin 2α＝ 2sinαcosα之后，問題就能迎刃而解.

點評對于分式通分法則我們既要會正用，又要會逆用.本題若采用正向思路，則難以解決.學生往往只會把而不會把本題的求解過程逆用了分式通分法則，因而比較順利地求出了結果.

總結公式、法則的應用應講究一個“活”字.在很多數(shù)學問題的解答中，教師除了引導學生的正向思維，正用公式、法則外，還應啟發(fā)學生逆用公式、法則，這樣可以培養(yǎng)學生思維的變通性與靈活性，培養(yǎng)學生的逆向思維能力.

3.注意數(shù)式逆向變形的應用

數(shù)式的變形在數(shù)學運算過程中發(fā)揮著很重要的作用.我們既要會用數(shù)式的正向變形，又要會用數(shù)式的逆向變形.例4 就是數(shù)式逆向變形運用很好的例子.

點評本題若采用正向變形，即直接通分，則非常煩瑣.這里要注意：數(shù)“1”有很多逆向變形.若把“1”靈活地看成等形式，問題便能迎刃而解.

總結在數(shù)學問題的解決中，若能靈活應用數(shù)“0”“1”等的多種逆向變形，則能立竿見影地解決較為復雜的數(shù)學問題.

4.注意闡述原定理與逆定理的可逆性

數(shù)學教材中有大量可逆性的原定理與逆定理，如平面幾何中等腰三角形的性質定理與等腰三角形的判定定理，平行四邊形的性質定理與平行四邊形的判定定理等.應強調的是：要注意闡述原定理與逆定理的可逆性，培養(yǎng)學生的逆向思維.

由于教材中有關原定理與逆定理的分析較多，限于篇幅，本文將不再舉例說明.

二、執(zhí)果索因，培養(yǎng)逆向思維能力

執(zhí)果索因是分析思維中的一種思維方式，它是從結果（或結論）出發(fā)追溯其產生的原因的思維方法，其思維過程的主干可表示為：B?An?An－1?An－2?…?A，其中B是命題的結論（結果），A是命題的條件.分析法側重于探索性和發(fā)現(xiàn)性.在數(shù)學教學中，教師既要注意綜合法的應用，又要注意分析法的應用，使學生的思維更加深刻并具有創(chuàng)造性.教師可以通過執(zhí)果索因的思維方法，提高學生的分析能力，很好地培養(yǎng)學生的逆向思維能力.

例5將函數(shù)y1＝f（x）圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍，再將圖像向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖像.求y＝f（x）的表達式.

解設函數(shù)y1＝f（x）圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2 倍后得到函數(shù)y3＝q（x）的圖像.

∵ 函數(shù)y1＝f（x）圖像上所有點的橫坐標拉長2 倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，

點評按常規(guī)思路分析：已知y1＝f（x） 變換到直接求函數(shù)y＝f（x）學生往往會感到無從1下手.反過來，若能逆向思考，執(zhí)果索因，則可較快地找出解題途徑.函數(shù)的圖像是由函數(shù)y＝f（x）經過1兩次變形得到的，所以只要把向右平移個單位長度，得到函數(shù)即y＝3再把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的即可得到函數(shù)y＝f（x）的圖像，所1以函數(shù)

總結采用執(zhí)果索因的思維方法，在解決某些按常規(guī)思路、運用正向思維較難下手的問題時，優(yōu)越性顯而易見.執(zhí)果索因的思維方法也是我們提高逆向思維能力與分析能力所需要的.

三、創(chuàng)設問題情境，提升數(shù)學思維

在解決數(shù)學問題時，學生往往會遇到從正面入手較煩瑣或較困難的情況，甚至出現(xiàn)一些邏輯上的困境.此時可從辯證思維的觀點出發(fā)，克服思維定式的消極面，從問題的反面進行思考，創(chuàng)設一定的問題情境，嘗試從反面提出假設，通過逆向思維來論證，即采用反證法來論證.這樣的訓練有利于培養(yǎng)學生的逆向思維能力.

例6求證：關于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2＝0 和中，不管m取何實數(shù)，必有一個或一個以上的方程有實數(shù)根.

證明假設若不管m取何實數(shù)，一元二次方程x2＋都沒有實數(shù)根，則可得關于m的不等式組

∴原不等式組無解，在實數(shù)范圍內不存在這樣的m，這與已知矛盾，∴假設不成立.

∴ 不管m取何實數(shù)，一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2＝中必有一個或一個以上的方程有實數(shù)根.

點評本題若從正面入手進行證明，則證明過程比較煩瑣.若能從結論的反面來考慮，采用反證法，假設不管m取何實數(shù)，兩個方程都沒有實數(shù)根，則不難得出所要求證的結論.

總結當從正面入手直接證明較煩瑣或較困難時，我們可以反向考慮，有時問題便能迎刃而解.通過創(chuàng)設問題情境，采用反證思想，可很好地培養(yǎng)學生的逆向思維，提高學生思維的發(fā)散能力，進一步提高其解題能力.

總之，在中學數(shù)學課堂教學中，教師應注重共性、通法的教學，致力于培養(yǎng)學生的思維能力，在重視正向思維的同時要注重逆向思維的培養(yǎng).逆向思維作為培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力的一個組成部分，必須引起廣大數(shù)學教師的重視.