例談?wù)w思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

◎楊文博 （山東省東阿縣實(shí)驗(yàn)高中，山東 聊城 252200）

一、引 言

為了幫助高中生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)解題思想，在日常解題教學(xué)中，教師要合理滲透整體思想，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合，基于整體分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成明確的解題思路與邏輯關(guān)系.而在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，由于受到教學(xué)觀念、教學(xué)方法等眾多客觀因素的影響，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，不利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，同時(shí)增加了學(xué)生理解知識(shí)的難度，難以為學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程提供有效的指導(dǎo).為了落實(shí)素質(zhì)教育，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，教師需要充分意識(shí)到整體思想對(duì)其教學(xué)過(guò)程帶來(lái)的積極影響，從而在教學(xué)活動(dòng)中加強(qiáng)整體思想的使用，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思路，使學(xué)生能夠養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)技巧，以更加適應(yīng)未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活.與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，借助整體思想能夠?qū)崿F(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使學(xué)生能夠從整體上把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，有效提升學(xué)生的解題水平，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力與合作探究能力.

二、整體思想的教學(xué)價(jià)值和實(shí)際意義

在以往數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師基于教材內(nèi)容的引導(dǎo)，以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的教學(xué)順序來(lái)開(kāi)展教學(xué)，即在學(xué)生了解了某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)后，開(kāi)展重復(fù)的習(xí)題訓(xùn)練，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的記憶和掌握.而在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生需要學(xué)習(xí)很多數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，基于傳統(tǒng)的教學(xué)強(qiáng)化模式，學(xué)生的習(xí)題練習(xí)將會(huì)無(wú)限增加，最終陷入題海泥潭，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與積極性就會(huì)下降.與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，整體思想對(duì)教學(xué)過(guò)程更加靈活.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要合理滲透整體思想教學(xué)，突出教學(xué)知識(shí)主干，幫助學(xué)生快速構(gòu)建數(shù)學(xué)主干知識(shí)框架，即整體性的思維導(dǎo)圖.學(xué)生在對(duì)局部數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)，可以進(jìn)行各個(gè)擊破，以提高數(shù)學(xué)知識(shí)的整體學(xué)習(xí)質(zhì)量與效率.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，加強(qiáng)整體思想的使用，能夠有效提升學(xué)生解題的速度和準(zhǔn)確率，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力.在整體思想的實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生還可以結(jié)合個(gè)人的學(xué)習(xí)狀況適當(dāng)調(diào)整學(xué)習(xí)狀態(tài)，不斷優(yōu)化思維模式，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度來(lái)看待問(wèn)題，全面提高思維能力.

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題

1.教學(xué)方法陳舊

教育部對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)提出了全新的標(biāo)準(zhǔn)，在高中數(shù)學(xué)具體教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展過(guò)程中，教師需要能夠在加強(qiáng)知識(shí)傳輸?shù)耐瑫r(shí)有效滲透并落實(shí)“素質(zhì)教育”這一理念.由于受到教學(xué)理念及教學(xué)方式的影響，在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師仍舊沿用傳統(tǒng)的教學(xué)觀念和教學(xué)方式，這就導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程具有一定的滯后性，難以滿足學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需求，不利于學(xué)生的個(gè)人發(fā)展.在應(yīng)試教育的大環(huán)境下，大部分教師都更加關(guān)注學(xué)生的成績(jī)，而忽略了數(shù)學(xué)方法及解題技巧的指導(dǎo)和培養(yǎng).在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，他們?nèi)耘f沿用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，缺乏與學(xué)生之間的互動(dòng)交流，難以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析和思考.

2.教學(xué)內(nèi)容缺乏創(chuàng)新

在新課程改革實(shí)施的過(guò)程中，許多教師逐漸開(kāi)始認(rèn)識(shí)到加強(qiáng)課程改革的重要性，但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，他們?nèi)耘f沿用單一的教學(xué)方式，教學(xué)內(nèi)容缺乏有效創(chuàng)新.具體體現(xiàn)在教學(xué)的內(nèi)容缺乏新穎性，難以吸引學(xué)生的注意力，同時(shí)難以將相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)更加直觀地展現(xiàn)在學(xué)生的眼前，教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容難以充分體現(xiàn)出來(lái).這就使得教師在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中難以為學(xué)生提供思考的機(jī)會(huì)，使學(xué)生看待問(wèn)題的角度變得片面，解題思路變得狹窄，限制了其思維的發(fā)展.

3.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展過(guò)程中，許多教師已經(jīng)逐漸意識(shí)到好的數(shù)學(xué)思想能夠有效提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確率，但在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中缺乏有效的實(shí)踐.雖然學(xué)生接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想內(nèi)容越來(lái)越多，但其實(shí)際的學(xué)習(xí)目標(biāo)仍舊達(dá)不到預(yù)期，這就降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.出現(xiàn)這種情況是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容缺乏趣味性和引導(dǎo)性，再加上教師的教學(xué)過(guò)程過(guò)于生硬，使學(xué)生產(chǎn)生了抵觸心理，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難以按照教師要求完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

四、整體思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

1.創(chuàng)新教學(xué)方式，改善氛圍

基于以往的數(shù)學(xué)教學(xué)模式的局限，教師需要依據(jù)整體思想開(kāi)展教學(xué)創(chuàng)新.在對(duì)某一章節(jié)的內(nèi)容開(kāi)展教學(xué)指導(dǎo)時(shí)，教師要開(kāi)展整體思想教學(xué)，設(shè)計(jì)該章節(jié)主干知識(shí)的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生依據(jù)主干思維導(dǎo)圖開(kāi)展自主學(xué)習(xí)，對(duì)該章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行初步了解，以協(xié)助其構(gòu)建自我數(shù)學(xué)知識(shí)框架.學(xué)生在構(gòu)建了主干知識(shí)框架后，需要細(xì)化每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系與衍生信息.教師在教學(xué)活動(dòng)中開(kāi)展數(shù)學(xué)引導(dǎo)時(shí)，學(xué)生會(huì)基于自己對(duì)問(wèn)題的求知性，積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中，形成良好的師生課堂互動(dòng)氛圍，打破以往教師單一講授的枯燥模式，提高課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量與效果.隨著學(xué)生數(shù)學(xué)整體思想的不斷強(qiáng)化，在學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)，學(xué)生可以自主繪制知識(shí)主干的思維導(dǎo)圖，為后續(xù)的課堂學(xué)習(xí)與解題學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).因而在具體的教學(xué)活動(dòng)中，教師要充分意識(shí)到整體思想的應(yīng)用價(jià)值，借助整體思想，不斷優(yōu)化、創(chuàng)新教學(xué)方式，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維引領(lǐng)和指導(dǎo).例如，教師可以將整體思想應(yīng)用到橢圓問(wèn)題的教學(xué)中，幫助學(xué)生通過(guò)有效的歸納和總結(jié)，提高學(xué)習(xí)自信心.為了簡(jiǎn)化學(xué)生的解題過(guò)程，讓學(xué)生的每個(gè)解題步驟都能獲得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生加強(qiáng)分析，選擇合適的解題方法，盡可能減少變量未知數(shù)的產(chǎn)生，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，快速、準(zhǔn)確地獲得答案.

2.優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)滲透

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，為了使學(xué)生很好地掌握并理解整體思想，教師需在課程教學(xué)時(shí)進(jìn)行一定的滲透引導(dǎo)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)整體思想.例如，在人教A 版高中數(shù)學(xué)“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”教學(xué)中，涉及很多數(shù)學(xué)定理與公理，給學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解造成一定影響.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公理與定理掌握不準(zhǔn)確，為后續(xù)解題造成了一定阻礙，該章節(jié)的主要數(shù)學(xué)公理如下.

公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

這一部分包含的內(nèi)容相對(duì)抽象，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和記憶能力有著較高要求.而部分學(xué)生由于空間抽象思維能力有限，無(wú)法對(duì)繁多的定理與公理進(jìn)行區(qū)別掌握，導(dǎo)致學(xué)生遇到具體的數(shù)學(xué)空間圖形例題時(shí)，無(wú)法找出解題的突破口，降低了學(xué)生解題的積極性，同時(shí)限制了學(xué)生的思維發(fā)展，使學(xué)生產(chǎn)生了恐懼心理.為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，教師對(duì)該章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)時(shí)，要加強(qiáng)整體思想的教學(xué)滲透，讓學(xué)生基于整體思想加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)定理與公理的歸納分析.例如，求證面與面之間的垂直關(guān)系時(shí)，學(xué)生基于整體思想對(duì)定理進(jìn)行分析可知，證明面與對(duì)應(yīng)面的直線垂直就可以解決問(wèn)題.基于對(duì)問(wèn)題的分析可以推斷出，證明兩個(gè)面的垂線垂直，就可以證明面與面垂直.教師通過(guò)數(shù)學(xué)整體思想滲透，引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)的學(xué)習(xí)框架與思路，使其在面對(duì)看似繁雜的數(shù)學(xué)例題時(shí)，可以抓住例題的信息主線，基于題目的信息，進(jìn)行化整為零的剖析，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終正確高效地解答對(duì)應(yīng)例題.

基于學(xué)生對(duì)“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體思想的學(xué)習(xí)理解深度，教師通過(guò)具體的空間幾何例題對(duì)其進(jìn)行考查，并讓學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行整體分析思考，尋找解題思路.

例題：如右圖所示，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上的一點(diǎn)，且D′N∶NB＝ 1 ∶2，MC與BD交于點(diǎn)P.

問(wèn)題 1：求證：NP垂直于平面ABCD.

問(wèn)題2：求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.

學(xué)生在對(duì)該例題進(jìn)行整體思考時(shí)，為了證明直線NP垂直于平面ABCD，可以找出平面ABCD內(nèi)任意一條直線，證明其垂直于直線NP即可.用整體思想對(duì)例題進(jìn)行化整為零的剖析，找出問(wèn)題的解題突破口，提高數(shù)學(xué)解題效率.學(xué)生基于對(duì)問(wèn)題1 的證明，并結(jié)合該章節(jié)相關(guān)的定理與公理，再對(duì)問(wèn)題2 進(jìn)行整體分析，挖掘例題中潛在的題目信息，以求解出問(wèn)題2 的答案.在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師需要不斷優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，借助先進(jìn)的教學(xué)理念和思想，加強(qiáng)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的篩選.學(xué)生通過(guò)對(duì)具體例題的求解，可以在解題過(guò)程中不斷深化對(duì)整體思想的學(xué)習(xí)和掌握.學(xué)生通過(guò)整體思想的數(shù)學(xué)解題，會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的解題效率與正確率明顯提升，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

3.加強(qiáng)教學(xué)創(chuàng)新和優(yōu)化，激發(fā)興趣

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，教師作為主導(dǎo)，要給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生加強(qiáng)思考和探究，充分突出學(xué)生的主體地位.因此，在具體的教學(xué)活動(dòng)中，教師要不斷優(yōu)化創(chuàng)新教學(xué)的方式方法，結(jié)合先進(jìn)的教學(xué)理念，不斷更新教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.例如，在函數(shù)教學(xué)中，為了幫助學(xué)生掌握函數(shù)知識(shí)，為后面的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生使用整體思想來(lái)解答相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生能夠通過(guò)有效的遷移和聯(lián)想，不斷強(qiáng)化學(xué)習(xí)過(guò)程，并能夠結(jié)合相應(yīng)的習(xí)題練習(xí)，有效掌握函數(shù)的思想，從而學(xué)會(huì)利用函數(shù)思想來(lái)解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題.通過(guò)這樣的教學(xué)方式，學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中能夠做到觸類旁通、舉一反三，使得學(xué)習(xí)過(guò)程更加靈活高效，且能夠避免機(jī)械化的記憶，全面提高學(xué)習(xí)效率.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要將各種類型的數(shù)學(xué)題目展現(xiàn)在學(xué)生的眼前，且能夠帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用整體思維這一方法來(lái)分析具體的題目，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性.而在師生共同研討的過(guò)程中，教師應(yīng)講解最簡(jiǎn)便、最有效的解題方法和思想，提升學(xué)生的解題效率和質(zhì)量.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展過(guò)程中，教師要能夠借助整體思想加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過(guò)程的創(chuàng)新和優(yōu)化，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生能夠掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和解題方法，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)更加輕松愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生思維的靈活性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生個(gè)人的全面發(fā)展.例如，在“算法初步”的學(xué)習(xí)中，教師可以利用整體思想，讓學(xué)生了解算法框圖的基本結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)要點(diǎn)，從而使其掌握幾種基本的語(yǔ)句.教師要使學(xué)生能夠聯(lián)系日常生活，深刻領(lǐng)悟算法的基本思想，要不斷強(qiáng)化學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生能夠通過(guò)模仿、操作、探索和設(shè)計(jì)程序框圖等一系列的過(guò)程，全面提高學(xué)習(xí)效果，從而了解構(gòu)造算法的關(guān)鍵，加強(qiáng)重點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí).

五、結(jié)束語(yǔ)

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提升教學(xué)水平，教師必須對(duì)教學(xué)模式與理念進(jìn)行創(chuàng)新.如在解題教學(xué)引導(dǎo)時(shí)，教師基于學(xué)生解題的現(xiàn)狀，應(yīng)開(kāi)展整體思想教學(xué)滲透，依據(jù)教材內(nèi)容對(duì)其進(jìn)行引導(dǎo)，并通過(guò)具體的例題進(jìn)行教學(xué)剖析，提升學(xué)生對(duì)整體思想的解題理解高度.教師要通過(guò)滲透整體思想幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，將學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，提高學(xué)生的解題能力.