向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性研究

田東霞

（呂梁學(xué)院汾陽(yáng)師范分校，山西汾陽(yáng)032200）

近年來(lái)，在數(shù)學(xué)的許多分支和實(shí)際工程中，特別是涉及多元分析時(shí)，常會(huì)用到矩陣的分析運(yùn)算。范數(shù)理論在研究算法的收斂性、穩(wěn)定性以及誤差分析中都是一個(gè)不可或缺的工具[1]。本文通過(guò)向量范數(shù)引出矩陣范數(shù)，進(jìn)一步討論二者的相容性，并給出了求與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)的方法[2]。通過(guò)引入算子范數(shù)的概念，證明算子范數(shù)即為與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)。

1 矩陣范數(shù)

當(dāng)把范數(shù)的概念推廣到矩陣空間上時(shí)，矩陣空間Cm×n是一個(gè)mn維線性空間，一個(gè)m×n矩陣可以看作一個(gè)mn維向量，因此可以按向量范數(shù)的方法來(lái)定義矩陣范數(shù)[3]。然而，矩陣有其獨(dú)特的乘法運(yùn)算，因此在定義矩陣范數(shù)時(shí)，必須多一條反映矩陣乘法的公理[4]。

定義1[5]任給矩陣A∈Cn×n,定義矩陣A的一個(gè)實(shí)函數(shù)，記作‖A‖，若此函數(shù)滿足

（1）正定性：‖A‖≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)成立；

（2）齊次性：任給k∈C,A∈Cn×n，都有

（3）三角不等式：任給矩陣A、B∈Cn×n,都有

（4）任給矩陣A、B∈Cn×n,都有

則稱(chēng)‖A‖是矩陣A范數(shù)。

類(lèi)似于向量范數(shù)，關(guān)于矩陣范數(shù)，也有以下結(jié)論。

定理1[6]設(shè) ‖·‖m是Cn×n上的矩陣范數(shù) ，A=（aij)n×n∈Cn×n，則

（1）‖A‖是aij的連續(xù)函數(shù)，i,j=1,2,…,n;

（2）Cn×n上任意兩個(gè)矩陣范數(shù)等價(jià)。

定理2[7]設(shè)A=（aij)∈Cn×n，定義

2 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性

由于矩陣與向量在實(shí)際運(yùn)算中常會(huì)同時(shí)出現(xiàn)，因此矩陣范數(shù)與向量范數(shù)也會(huì)同時(shí)出現(xiàn)，因而需要建立矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的聯(lián)系。由此引入如下定義。

因此，矩陣m∞-范數(shù)與Cn上向量的∞-范數(shù)相容。

類(lèi)似地，還可以證明，Cn×n上的矩陣m∞-范數(shù)與Cn上向量的1-范數(shù)、2范數(shù)均相容。由此可得下面的推論。

3 算子范數(shù)

推論1說(shuō)明對(duì)于任一相容矩陣范數(shù)，必存在與之相容的向量范數(shù)。反之，對(duì)給定的向量范數(shù)，下面的定理表明了也可以得到與之相容的矩陣范數(shù)。

而當(dāng)x=0時(shí)，式（1）也成立。由此便證明了式（1）定義的‖A‖是與‖x‖v相容的矩陣范數(shù)。

式（1）所定義的矩陣范數(shù)稱(chēng)為算子范數(shù)，或稱(chēng)之為由向量范數(shù)‖·‖v導(dǎo)出的矩陣范數(shù)，也稱(chēng)為導(dǎo)出范數(shù)或從屬范數(shù)。從而表明了算子范數(shù)即為與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)，同時(shí)式（1）也給出了求與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)的方法。