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    妙用橢圓積分計算單擺周期

    2020-09-10 13:55:23胡上東
    高考·中 2020年11期
    關(guān)鍵詞:新課程

    胡上東

    摘 要:根據(jù)2003年頒布的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》對單擺周期公式的要求:(1)通過實驗,定性探究單擺的周期與擺長的關(guān)系;(2)知道單擺周期與擺長、重力加速度的關(guān)系。根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn),不要求對單擺的周期公式進(jìn)行推導(dǎo)。作為新課程實施教學(xué)的一線教師,對單擺周期公式的推導(dǎo)過程要知其所以然,才能對學(xué)生實施更好的教學(xué)。筆者用數(shù)學(xué)分析中的橢圓積分進(jìn)行推導(dǎo),供大家教學(xué)中參考。

    關(guān)鍵詞:新課程;單擺周期;推導(dǎo)過程;橢圓積分

    山東科學(xué)科技出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《物理》選修3—4第一章“單擺”這一節(jié)中,提出了單擺的周期與擺長l的平方根成正比,與重力加速度g的平方根成反比,與振幅、擺球的質(zhì)量無關(guān),并確定了單擺的周期公式T,這些課本只用了一句話代過,卻沒有特別地加以說明,筆者也翻閱了其他版本的教材,大部分教材都沒有對此公式進(jìn)行推導(dǎo)證明,只有一小部分輔導(dǎo)材料用了簡諧振動的微分方程進(jìn)行推導(dǎo),推導(dǎo)過程中計算相對會復(fù)雜一些,就這問題筆者用數(shù)學(xué)分析中的橢圓積分進(jìn)行推導(dǎo),供大家教學(xué)中參考。

    如圖1所示,由一根不可伸長、不計質(zhì)量的繩長為l,一端固定,另一端系質(zhì)量為m的小球組成的單擺,O點為擺的平衡位置。

    為了研究擺動的一般規(guī)律,設(shè)單擺的最大擺角為α,當(dāng)擺角為θ時,速度大小為v,此時擺球的動能為,重力勢能為(取最低點O重力勢能為0),根據(jù)機(jī)械能守恒定律(不考慮空氣阻力)有:

    (其中C為常數(shù))(1)

    根據(jù)邊界條件:(α為單擺的最大擺角),代入(1)式可得常數(shù),故(1)式可轉(zhuǎn)化為

    (2)

    又,代入(2)中可得:

    (3)

    兩邊開根號可得:

    所以:(4)

    根據(jù)(4),若從平衡位置O點算起,從O點到P所需的時間t可表示為

    (5)

    由于θ范圍未知,可作如下代換

    兩邊微分:

    即(5)式可作如下轉(zhuǎn)換

    (6)

    (在《數(shù)學(xué)分析》中將類型的積分,稱為第一類橢圓積分)

    這時候我們注意到剛才做的代換:

    當(dāng)θ=α?xí)r,;當(dāng)θ=0時,φ=0;所以

    所以周期公式可以表示為:

    (7)

    由(7)可以看出,只有當(dāng)α很小時,,

    從而有:

    通常說的單擺是指一般非線性擺在擺角振幅很小時的情形。等時擺,周期與振幅的大小無關(guān),是一種理想的模型。

    參考文獻(xiàn)

    [1]《中學(xué)新課標(biāo)資源庫(物理卷)》,北京工業(yè)大學(xué)出版社,教育部《基礎(chǔ)教育課程》編輯部組織編寫。

    [2]《數(shù)學(xué)分析》第二版,高等教育出版社,復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋、金福臨、朱學(xué)炎、歐陽光中編。

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