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    滲透數(shù)學(xué)思想,探索自主探究學(xué)習(xí)方式

    2020-09-10 07:22:44孫芳
    關(guān)鍵詞:思想方法自主探究函數(shù)

    孫芳

    摘? 要:知識與技能中蘊涵的思想與方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容. 此外,學(xué)習(xí)方式的不同也會有不同的學(xué)習(xí)效果. 以函數(shù)教學(xué)為載體,對函數(shù)概念、認(rèn)識函數(shù)圖象及解析式的一些教學(xué)片斷進(jìn)行分析,探索讓學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方式,在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時,挖掘知識背后的思想方法,讓數(shù)學(xué)意識、思維方式等自然地滲透進(jìn)數(shù)學(xué)課堂中.

    關(guān)鍵詞:思想方法;函數(shù);自主探究

    一、思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義

    對于教學(xué)過程中思想方法的滲透,首先要回歸到一個本質(zhì)的問題:什么是數(shù)學(xué)?什么是基本的數(shù)學(xué)思想方法?《什么是數(shù)學(xué)》一書中對其進(jìn)行了闡述:數(shù)學(xué),作為人類思維的表達(dá)形式,反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评?,以及對完美境界的追? 它的基本要素是:邏輯和直觀、分析與構(gòu)作、一般性和個別性. 可見,數(shù)學(xué)可以讓人們更好地認(rèn)識世界、解決問題.

    對數(shù)學(xué)思想方法的理解,不能僅僅局限于等量代換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等具體的思想方法,而是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,逐漸形成的數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神等,這些都是數(shù)學(xué)思想方法在人腦中的內(nèi)化,是學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動后的心理體驗、感悟及反思基礎(chǔ)上的升華. 日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾指出:縱然是把數(shù)學(xué)知識忘記了,但數(shù)學(xué)的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里,長久地活躍于日常的業(yè)務(wù)中. 數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

    在教學(xué)過程中,教師應(yīng)盡量讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的實質(zhì),教給學(xué)生在遇到各種實際問題時所依賴的方法,引導(dǎo)學(xué)生正確的思維與實踐,而這種思維方式的建立會是學(xué)生一生的財富.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)中由“雙基”到“四基”的變化,對基本思想與基本活動經(jīng)驗的要求恰好體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng),這是隱藏在知識與技能中的隱線.

    二、自主探究學(xué)習(xí)方式的價值

    《標(biāo)準(zhǔn)》提出,數(shù)學(xué)知識的獲得可以通過接受學(xué)習(xí)的方式,也可以通過自主探索等方式. 這里所說的接受式學(xué)習(xí)和探究式學(xué)習(xí)都屬于有意義學(xué)習(xí),兩者都強(qiáng)調(diào)學(xué)生在新知識與已有知識之間建立有意義的聯(lián)系.

    接受式學(xué)習(xí)更直接,可以讓學(xué)生在相對短的時間內(nèi)掌握較多的知識,一般以講授法為主,在學(xué)習(xí)過程中可以避免認(rèn)識過程中的曲折和困難. 而對于自主探究式學(xué)習(xí),學(xué)生的主體性更加突出,學(xué)生需要主動參與、實踐,在過程中建立知識架構(gòu),在認(rèn)識過程中會遇到曲折與困難,不斷嘗試的過程又會帶來出乎意料的成果.

    自主探究式學(xué)習(xí)有助于學(xué)生創(chuàng)新能力、思維能力的培養(yǎng). 教師要支持學(xué)生進(jìn)行自主探究,可以通過恰當(dāng)?shù)膯栴},適時引導(dǎo),激發(fā)學(xué)生的興趣,形成有效教學(xué).

    三、函數(shù)內(nèi)容教學(xué)片斷的設(shè)計與分析

    函數(shù)是初、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,是刻畫和研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型,模型思想的建立尤為重要. 其實,數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁,模型思想就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界的故事,而掌握模型思想,就是把現(xiàn)實世界中的問題,用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號描述、表達(dá),最終得到數(shù)學(xué)模型.

    函數(shù)的研究方法具有一般性和代表性. 初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)的方法都會為高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 因此,函數(shù)這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中具有十分重要的地位.

    下面以“函數(shù)”內(nèi)容的教學(xué)為例,針對學(xué)生學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)、愛思考、求知欲強(qiáng)等特點,以知識蘊涵的思想方法為主線設(shè)計問題,為自主探究學(xué)習(xí)方式提供支持,力求在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

    1. 函數(shù)概念的教學(xué)

    在生活中,涉及函數(shù)關(guān)系的例子非常多,變量隨處可見,大量存在的變量之間并不獨立,而是相互聯(lián)系的. 教師可以利用函數(shù)知識構(gòu)造出解決問題的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而通過對函數(shù)問題的研究,使實際問題得到解決,這充分體現(xiàn)了函數(shù)的應(yīng)用價值,有助于形成模型思想. 學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)初步接觸了函數(shù)思想,懂得一切事物都在不斷變化,而且相互聯(lián)系、相互制約,從而了解事物的變化趨勢及運動規(guī)律.

    筆者在課前了解到的情況是:一部分學(xué)生聽說過函數(shù)的概念,但又不能真正理解. 例如,當(dāng)問及“什么是函數(shù)”時,會有學(xué)生回答“形如[y=kx+b][k≠0]的形式是函數(shù)”,馬上又會有學(xué)生指出“這不是函數(shù),這是一次函數(shù)”. 學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知只是停留在認(rèn)識這種形式,并沒有接觸到問題的本質(zhì).

    皮亞杰的建構(gòu)主義理論認(rèn)為,學(xué)生要在已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識. 而數(shù)學(xué)概念的抽象性更要求基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗、原有認(rèn)識中逐步抽象概括出數(shù)學(xué)的形式化定義. 為此,筆者選擇最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,在大量的實際問題中,抽象概括出概念的本質(zhì). 這與《標(biāo)準(zhǔn)》中提到的“建立和求解模型的過程是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”的看法是一致的.

    對于函數(shù)的概念,筆者設(shè)計了如下問題.

    問題1:你能列舉生活中有關(guān)系的變量嗎?

    問題2:你能用符號表示變量之間的關(guān)系嗎?

    問題3:你能用語言描述兩個變量之間的關(guān)系(變化規(guī)律)嗎?

    以上幾個問題都具有開放性,筆者給學(xué)生留出了足夠的思考時間與空間,希望用問題激發(fā)學(xué)生的自主探究意識. 對于問題1,學(xué)生的興致很高,但最初列舉的例子只是局限在與數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的問題上,如正方形的邊長與面積;也出現(xiàn)了含有兩個以上變量的例子,如速度、時間、路程. 學(xué)生在相互啟發(fā)下,舉例漸漸豐富,如某人的年齡與身高、時間與氣溫等. 在這一過程中,充分調(diào)動了學(xué)生的生活經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

    學(xué)生對于某人的年齡與身高這兩個變量的討論十分激烈. 首先,在符號表達(dá)上遇到困難;其次,在關(guān)系描述上也不是十分清晰. 在不斷嘗試、討論的過程中,學(xué)生深刻體會到:并不是所有的函數(shù)都可以寫出解析式,而變量之間的對應(yīng)關(guān)系也不相同.

    這樣設(shè)計體現(xiàn)了“函數(shù)是對現(xiàn)實世界的一種刻畫”,概念不是憑空出現(xiàn)的,而借助數(shù)學(xué)符號恰恰可以表達(dá)出最本質(zhì)、最抽象的對應(yīng)關(guān)系. 符號意識、抽象過程蘊含其中.

    2. 認(rèn)識函數(shù)圖象

    在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會用到數(shù)形結(jié)合思想,就是把代數(shù)問題通過幾何圖形更加直觀地表示出來,或者把幾何問題用代數(shù)更加準(zhǔn)確地來刻畫. 例如,學(xué)習(xí)數(shù)軸之后,在遇到相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大小的比較時,借助數(shù)軸來解答有時會簡化問題.

    但是在處理很多問題時,學(xué)生并不能將數(shù)與形很好地結(jié)合. 是教師在課堂上強(qiáng)調(diào)得不夠多,還是其他原因?怎樣才能讓學(xué)生有這種相互轉(zhuǎn)化的意識?這種數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)并不是一節(jié)課就可以實現(xiàn)的,它應(yīng)該是滲透在日常的教學(xué)過程中. 教師要抓住點滴機(jī)會讓學(xué)生切實感受到借助圖象表達(dá)的優(yōu)越性.

    筆者選擇了一個學(xué)生耳熟能詳?shù)男」适隆斖觅惻埽源藶楸尘霸O(shè)計函數(shù)圖象的教學(xué),并提出如下問題.

    問題1:用橫軸表示時間,縱軸表示路程,你能借助圖象刻畫完整的寓言故事嗎?(兔子的路程用實線表示,烏龜?shù)穆烦逃锰摼€表示.)

    問題2:從圖象中可以看出哪些信息?

    問題3:你可以改編故事情節(jié),并借助圖象來表達(dá)嗎?

    數(shù)學(xué)并不枯燥,它可以用獨特的語言來描述實際問題. 從實施效果來看,針對問題1,學(xué)生給出了諸多相近作品,畫出了如圖1 ~ 圖3所示的示意圖.

    以上的圖象相似,但又有細(xì)微不同,這體現(xiàn)在變化點的位置、傾斜程度等方面. 在圖1與圖2的對比中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)兔子睡覺時間差異很大;針對圖2,有學(xué)生提出其中不太合理的地方,兔子在睡醒后還沒有烏龜跑得快;而觀察圖3,則會發(fā)現(xiàn)結(jié)束的位置不同. 在觀察、比較的過程中,分享不同示意圖帶來的故事的不同經(jīng)過及結(jié)尾. 關(guān)于定義域、值域、斜率、交點等很多圖象特征所表示的數(shù)學(xué)信息被揭示出來.

    在解決問題3時,學(xué)生編創(chuàng)了如下新的故事:兔子在超過烏龜后并沒有睡覺,而是跑回來鼓勵烏龜再繼續(xù)進(jìn)行比賽,并畫出了如圖4所示的示意圖.

    學(xué)生討論很熱烈. 有學(xué)生提出圖4中存在不合理的地方,圖中出現(xiàn)了路程減少的情況,實際上是學(xué)生對路程與位移的混淆. 討論過程中留給學(xué)生最大的收獲是:感受到了函數(shù)圖象的優(yōu)越性,即直觀、簡單且包含大量信息;體會了觀察圖象的方法.

    教師課堂教學(xué)的首要目標(biāo)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的興趣,激發(fā)學(xué)生對知識的渴求,要能讓知識的魅力征服學(xué)生. 本節(jié)課中,不斷出現(xiàn)的靈感火花必然會引起學(xué)生更深層次的思維,激發(fā)學(xué)生主動探索的熱情.

    3. 研究函數(shù)解析式

    在研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)時,由于學(xué)生的認(rèn)知水平有限,常常是先描點畫圖,再邊看圖象邊梳理性質(zhì),畢竟圖象會帶來直觀的結(jié)論. 其實,在寫出函數(shù)的解析式時性質(zhì)就存在其中了,對于復(fù)雜的函數(shù),分析解析式很重要. 這種研究函數(shù)的方法,可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力,即使是簡單的函數(shù)形式,如[y=2x],也可以逐步滲透,先看解析式來分析變量之間的關(guān)系,再研究圖象.

    為了滲透研究函數(shù)的方法,筆者選擇讓學(xué)生畫函數(shù)[y=1x2-1]的圖象. 顯然,這個問題對學(xué)生來說有一定難度,它并沒有出現(xiàn)在學(xué)生熟悉的函數(shù)形式范圍內(nèi). 之所以選擇這個函數(shù)切入,主要是想屏蔽掉學(xué)生已經(jīng)會畫的函數(shù)圖象. 學(xué)生的畫只是停留在記憶與技能方面,對于怎樣畫、如何針對解析式進(jìn)行分析并沒有過多的思考,因而用這個問題讓學(xué)生進(jìn)行嘗試,體會研究函數(shù)的方法.

    針對函數(shù)[y=1x2-1],筆者提出如下問題.

    問題1:你能猜出函數(shù)[y=1x2-1]的圖象的樣子嗎?

    問題2:用什么方法畫出圖象?

    問題3:你能夠?qū)懗雠c此圖象相近的其他形式的解析式嗎?

    有學(xué)生認(rèn)為其圖象可能會與反比例函數(shù)圖象比較接近,因為都有分母;可能會與二次函數(shù)圖象接近,因為都有平方,但這些說法并不被大多數(shù)學(xué)生認(rèn)同.

    事實上,學(xué)生在七嘴八舌的討論中,漸漸清晰了如下研究過程:選擇一些特殊點并畫出來,有些[x]值取不到,自變量取互為相反數(shù)的兩個數(shù)時函數(shù)值都一樣……其實梳理出來,這就是畫出函數(shù)圖象、分析函數(shù)解析式的方法. 在經(jīng)歷這樣的思考與交流后,學(xué)生對觀察解析式畫函數(shù)圖象又有了進(jìn)一步的認(rèn)識,對研究方法的內(nèi)化起到了很好的促進(jìn)作用.

    隨之而來,學(xué)生提出了更多問題. 例如,[y=1x4-1]的圖象是什么樣的?還可以再改變[x]的次數(shù)嗎?正是受到學(xué)生的啟發(fā),教師提出問題3,作為本節(jié)課課堂教學(xué)內(nèi)容的延續(xù).

    將這三個教學(xué)設(shè)計片斷對比來看,教學(xué)的素養(yǎng)指向都是思想與方法,教學(xué)的呈現(xiàn)方式都是問題支持下的自主探究活動. 課堂上,學(xué)生的參與度高,開放性的問題設(shè)計可以留給學(xué)生很大的創(chuàng)新空間,不時出現(xiàn)的課堂生成問題,促使了師生、生生互動,在解決問題的過程中學(xué)習(xí)了研究方法.

    類比需要觀察,創(chuàng)新源于聯(lián)想,這是解決問題受益終身的方法. 結(jié)合學(xué)生的特點,筆者堅持在課堂上滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與方法,設(shè)計自主探究活動,能夠激發(fā)學(xué)生的靈感. 長此以往,這種思維方式會成為一種習(xí)慣,學(xué)生能夠聯(lián)想已有的知識解決問題,并進(jìn)行應(yīng)用,進(jìn)而提出新問題,這也就自然再現(xiàn)了知識的形成過程.

    以上三個教學(xué)片斷都是基于函數(shù)這一部分內(nèi)容的教學(xué)思考. 思想方法不是一節(jié)課能夠落實的,這是一個循序漸進(jìn)、逐漸鞏固的過程;創(chuàng)造性思維也不是一節(jié)課培養(yǎng)出來的,要不斷在探究活動中激發(fā)與引導(dǎo). 學(xué)生最初只是停留在潛意識階段,只是初步感知. 隨著不斷滲透,不斷探究,才能漸漸明晰. 當(dāng)經(jīng)驗和領(lǐng)悟積累到一定程度,思想方法就會凸顯出來. 因此,教師要堅持做到教學(xué)中對思想方法的滲透,多一些對學(xué)生思維的關(guān)注和引導(dǎo),多一些對學(xué)生自主探究活動的支持.

    借助張鶴老師的話:教師要深入研究所教授的內(nèi)容,我們要給學(xué)生的、要學(xué)生看到的是:你是怎樣學(xué)習(xí)的,你是怎樣提出問題、思考問題、解決問題的,也就是你是怎樣“做學(xué)問”的.

    教師教給學(xué)生的不僅僅是知識,更重要的是方法、態(tài)度和習(xí)慣,要堅持滲透在每一節(jié)數(shù)學(xué)課中.

    參考文獻(xiàn):

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    [4]史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2016.

    [5]張鶴. 張鶴:分享數(shù)學(xué)智慧的人[M]. 北京:中國大百科全書出版社,2012.

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