“測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差分析

孔令凱

摘 要：本文對(duì)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理》選修3-1中測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，從U-I圖像實(shí)際物理意義的角度出發(fā)，解釋由于電流表、電壓表內(nèi)阻對(duì)電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻測(cè)量產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，并將測(cè)量值與真實(shí)值進(jìn)行比較，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正。

關(guān)鍵詞：電動(dòng)勢(shì);內(nèi)阻;系統(tǒng)誤差

測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)是閉合電路歐姆定律的深化和應(yīng)用，通過(guò)本實(shí)驗(yàn)既能加深對(duì)閉合電路歐姆定律的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，也可以培養(yǎng)學(xué)生合作、探究、自我實(shí)踐的能力，通過(guò)誤差的分析培養(yǎng)尊重實(shí)驗(yàn)事實(shí)，實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。該實(shí)驗(yàn)在歷年高中考查頻率較高。

在本實(shí)驗(yàn)中，由于選用的測(cè)量電表（電流表、電壓表）都具有一定的電阻值，并不滿足電流表內(nèi)阻為零、電壓表內(nèi)阻無(wú)窮大的理想條件，因而不可避免導(dǎo)致測(cè)得的電池電動(dòng)勢(shì)E、內(nèi)阻r測(cè)量值與真實(shí)值有一定的偏差。該偏差是由于電路設(shè)計(jì)的合理性與否造成的，因而屬于系統(tǒng)誤差。通常的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方式是做出U-I圖像，通過(guò)合理外推利用圖像的斜率、截距等特殊坐標(biāo)值確定電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r。在以往的教學(xué)中，大部分教師是通過(guò)公式法或圖像法對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差進(jìn)行修正，但從教學(xué)效果上看，學(xué)生仍有較大困惑或者不容易理解。下面筆者將從測(cè)量結(jié)果的實(shí)際物理意義出發(fā)，分析不同測(cè)量方法中測(cè)量值的系統(tǒng)誤差并進(jìn)行修正。

一、伏安法

如圖1（a）所示電路，這種接法我通常稱為電流表內(nèi)接法（電源是待測(cè)元件）或電流表的干路接法（滑動(dòng)變阻器和電壓表是兩個(gè)支路）。利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的多組U、I數(shù)據(jù)，做出U-I圖像，利用閉合電路歐姆定律U=E-Ir內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖像截距就是電源電動(dòng)勢(shì)、斜率絕對(duì)值就是內(nèi)阻r。但我們得到的圖像截距、斜率絕對(duì)值的真實(shí)含義是什么呢？假定電壓表內(nèi)阻為RV，電流表內(nèi)阻為RA。由閉合電路歐姆定律，我們寫出電流、電源之間的關(guān)系

也就是說(shuō)，我們實(shí)驗(yàn)得到的U-I圖像的截距實(shí)際是E（既是測(cè)量值，也是真實(shí)值），而斜率的絕對(duì)值為電源內(nèi)阻和電流表內(nèi)阻之和r測(cè)=RA+r。所以我們可以得出結(jié)論，采用電流表內(nèi)接法（電流表的干路接法），E測(cè)=E真，r測(cè)>r真。從電壓U、電流I的函數(shù)關(guān)系不難看出，盡管電流表、電壓表內(nèi)阻會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)造成誤差，但電壓U、電流I依然滿足線性關(guān)系，現(xiàn)在再修正實(shí)驗(yàn)結(jié)果就容易多了。圖1（b）中實(shí)線為實(shí)驗(yàn)圖線，虛線為修正曲線。

接下來(lái)，我們看一下如圖2（a）所示電路，這種接法我通常稱為電流表外接法（電流表支路接法）。仍假定電壓表內(nèi)阻為RV，電流表內(nèi)阻為RA。由閉合電路歐姆定律，可得

采用這種接法，測(cè)量得到的U-I關(guān)系圖像的截距為，記為E測(cè)，而斜率的絕對(duì)值為，即r測(cè)。顯然，E測(cè)

采用伏安法測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)內(nèi)阻，不管是電流表的內(nèi)接還是外接，只要明確測(cè)量的電壓U、電流I的函數(shù)關(guān)系，準(zhǔn)確表示出圖像的截距、斜率的實(shí)際物理意義，對(duì)誤差的分析判斷就容易多了。接下來(lái)用同樣的方法分析安阻法、伏阻法引起的系統(tǒng)誤差并進(jìn)行修正。

二、安阻法、伏阻法

如圖3所示，是用電流表與電阻箱測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的電路，這種測(cè)量方法稱為“安阻法”。在不考慮電流表內(nèi)阻的情況下，根據(jù)歐姆定律可到電流的倒數(shù)與電阻箱阻值R對(duì)應(yīng)的關(guān)系

根據(jù)所得實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)做出圖像，對(duì)應(yīng)斜率的倒數(shù)即為電源電動(dòng)勢(shì)大小E，而圖像對(duì)應(yīng)截距與斜率的的比值即為內(nèi)阻r的大小。但由于電流表內(nèi)阻RA的影響，電流的倒數(shù)與電阻箱阻值R的準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系為

因此，利用實(shí)驗(yàn)所得到電流、電阻數(shù)據(jù)，我們得到的斜率的倒數(shù)E測(cè)=E=E真，而截距與斜率的比值為r測(cè)=r+RA，即測(cè)量值為電池內(nèi)阻與電流表內(nèi)阻之和，顯然r測(cè)>r真。安阻法誤差的修正圖像與伏安法中電流表內(nèi)接法一致。

而對(duì)于圖4所示電路，電路中含一只電壓表、一個(gè)電阻箱，這種測(cè)量方法稱為“伏阻法”。忽略電壓表內(nèi)阻影響，電壓U與電阻箱阻值R的關(guān)系為

根據(jù)與的線性關(guān)系，可得圖像截距的倒數(shù)即電動(dòng)勢(shì)E，斜率與截距的比值即內(nèi)阻r。但考慮電壓表內(nèi)阻的影響，應(yīng)用閉合電路歐姆定律，與的線性關(guān)系可以寫為，顯然圖像截距不再是電動(dòng)勢(shì)的倒數(shù)，而是比大的一個(gè)值，所以E測(cè)=，即E測(cè)

三、小結(jié)

測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)方法很多，但由于電流表、電壓表內(nèi)阻的影響，測(cè)量系統(tǒng)誤差難以避免。但是不管哪種方案，只要能夠準(zhǔn)確運(yùn)用閉合電路歐姆定律，寫出測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系，將測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值進(jìn)行比較，系統(tǒng)誤差的分析將會(huì)就簡(jiǎn)單明了，同時(shí)也可以提高學(xué)生應(yīng)用閉合電路歐姆定律分析問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

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