巧妙構(gòu)造函數(shù)，解答抽象函數(shù)不等式問題

周群林

我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù).所以，抽象函數(shù)不等式問題是很多同學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問題.在解答抽象函數(shù)不等式問題時(shí)，同學(xué)們要注意運(yùn)用發(fā)散思維，展開想象，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和已有的解題經(jīng)驗(yàn)，從多個(gè)角度思考解題的方案.

例1.函數(shù)[f（x）]在定義域（0，+[∞]）內(nèi)恒滿足[：①f（x）>0，②2f（x）<xf ′（x）<3f（x） ，]其中[F′x]為的導(dǎo)數(shù)，則（? ? ? ?）.

A.[14<f1f2<12 ] B.[116<f1f2<18]

C.[13<f1f2<12] D.[18<f1f2<14]

解析： 令[gx=fxx2，x∈0，+∞]，

則[g′x=xf ′x-2fxx3，]

因?yàn)?[?x∈0，+∞，2fx<xf ′x<3fx ，]

所以[fx>0，g′x>0，]

所以函數(shù)[g（x）]在[x∈（0，+∞）]上單調(diào)遞增，

所以[g1<g2 ，]即[4f1<f2，f1f2<14，]

令[hx=fxx3? ，? x∈0，+∞? ，]則[h′x=xf ′x-3fxx4? ?，]

因?yàn)閇?x∈0 ，+∞ ，2fx<xf ′x<3fx ，]

則[h′x<0 ，]

所以函數(shù)[h（x）]在[x∈（0，+∞）]上單調(diào)遞減，

所以[h1<h2 ，]即[f（1）>f（2）] ，[18<f（1）f（2）]，故選D.

本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系.解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，逆用求導(dǎo)公式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性，最后得出結(jié)論.

例2.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)[y=f（x）]的導(dǎo)函數(shù)為[f ′x]滿足[f ′x<fx，]且[y=fx+1]為偶函數(shù)，[f2=1]，則不等式[fx<ex]的解集為（? ? ? ）.

解析：因?yàn)閇y=fx+1]偶函數(shù)，所以[y=fx+1]的圖象關(guān)于[x=0]對(duì)稱，則[y=f（x）]的圖象關(guān)于[x=1]對(duì)稱，

所以[f2=f0，]又因?yàn)閇f2=1，]所以[f0=1，]

設(shè)[gx=fxexx∈R? ?，]則[g′（x）=f? ?′xex-fxexex2-f? ?′x-fxex，]

又因?yàn)閇f ′x<fx，]所以[f ′x-fx<0，]

所以[g′x<0 ，]所以[y=gx]單調(diào)遞減，

因?yàn)閇fx<ex，]所以[fxex<1]，即[gx<1，]

又因?yàn)閇g0=f0e0=1]，所以[x>0.]

本解法主要是根據(jù)函數(shù)的奇偶性構(gòu)造出函數(shù)，從而得到抽象函數(shù)不等式的解集.同學(xué)們?cè)诮忸}的過程中，要善于建立題設(shè)中的條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，架起條件與所求結(jié)論之間的橋梁，使問題順利獲解.

例3.已知函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）中心對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)[f ′x ，當(dāng)x<-1]時(shí)， [x+1fx+x+1f ′x<0]，則不等式[xfx-1>f0的解集為]（? ? ?）.

解析：由題意設(shè)[gx=x+1fx ，]

則[g′x=fx+x+1f ′x ，]

因?yàn)楫?dāng)[x<-1時(shí)，x+1fx+x+1f ′x<0]，

所以當(dāng)[x>-1時(shí)，fx+x+1f ′x>0]，則[g（x）]在（-∞，-1）上遞增，其圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）中心對(duì)稱，所以函數(shù)[f（x-1）]的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱，所以函數(shù)[f（x-1）]為奇函數(shù)，

令[hx=gx-1=xfx-1 ，]

所以[h（x）]是R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）上遞增，

由偶函數(shù)的性質(zhì)得，函數(shù)[h（x）]在（-∞，0）上遞減，

由于[h1=f0 ，]

所以不等式[xf（x-1）>f0 ，]化為[h（x）>h（1）]，

解得[-1<x<1，]

故不等式的解集是（-1，1）.

在解答本題的過程中，我們根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性來構(gòu)造函數(shù)[g（x）]，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，得出抽象函數(shù)不等式的解.

雖然抽象函數(shù)不等式問題中的函數(shù)較為抽象，題目的難度較大，但是我們只要能仔細(xì)分析題意，聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)性質(zhì)、圖象、求導(dǎo)公式等，合理構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，問題便能迎刃而解.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市高郵市臨澤中學(xué)）