解答古典概型問題的方法

陳燕華

解答數(shù)學(xué)問題需要選擇合理的方法，方法得當(dāng)，就能達(dá)到事半功倍的效果;方法不得當(dāng)，容易陷入解題困境，或出現(xiàn)半途而廢的情況.那么，解答古典概型問題有哪些方法呢？

一、列舉法

有些古典概型問題較為簡單，我們可將事件中可能出現(xiàn)的情況一一列舉出來，得出所有可能出現(xiàn)的基本事件的個(gè)數(shù)以及基本事件的總數(shù)，從而求出古典概型的概率.

例1.（1）將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為[a]和[b]，則方程[ax2+bx+1=0]有實(shí)數(shù)解的概率是_____.

（2）標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片，隨機(jī)從4張卡片中抽取2張，確保其數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為_____.

解析：（1）若方程[ax2+bx+1=0]有實(shí)根，則必有[Δ=b2-4a≥0].

若[a=1]，則[b=2，3，4，5，6];若[a=2]，則[b=3，4，5，6];若[a=3]，則[b=4，5，6];若[a=4]，則[b=4，5，6]若[a=5]，則[b=5，6];若[a=6]，則[b=5，6].

那么事件“方程[ax2+bx+1=0]有實(shí)根”包含基本事件共[5+4+3+3+2+2=19]，

所以該事件的概率為[1936].

（2） 因?yàn)閺?張卡片中任取出2張一共有6種情況，分別為 （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.其數(shù)字之和為偶數(shù)的情況一共有2種，分別為 （1，3），（2，4），所以抽取2張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為[13].

列舉法是求古典概型問題最常用的方法.在列舉基本事件時(shí)，我們有時(shí)要用到分類討論思想，應(yīng)做到對(duì)分類情況不重、不漏，完整得出結(jié)果.

二 、樹狀圖法

對(duì)一些特殊的古典概型問題，直接利用列舉法求解容易出錯(cuò)，可通過畫樹狀圖來分析問題.從樹狀圖中，我們可以直接看出列舉的結(jié)果，從而有效地避免運(yùn)用列舉法常犯的重復(fù)與遺漏錯(cuò)誤.

例2.用3種不同的顏色給如圖1所示的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂1種顏色.（1）求3個(gè)矩形顏色都相同的概率;（2）求3個(gè)矩形顏色都不相同的概率.

解析：設(shè)3個(gè)矩形從左到右依次為矩形1、矩形2、矩形3.用3種不同的顏色給題目中所示的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，可能出現(xiàn)的結(jié)果如圖2所示.由圖2知基本事件共有27個(gè).

（1）記“3個(gè)矩形顏色都相同”為事件A，由圖2知事件A的基本事件有3個(gè)，故[P（A）=327=19].

（2）記“3個(gè)矩形顏色都不相同”為事件B，由圖2知事件B的基本事件有6個(gè)，故[P（B）=627=29].

畫樹狀圖求古典概型的概率，可以使問題的求解過程變得形象直觀且快捷有效，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、利用逆向思維

對(duì)于較為復(fù)雜的古典概型問題，我們?nèi)糁苯忧蠼獗容^困難，可運(yùn)用逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，再用對(duì)立事件的性質(zhì)求解.正可謂正難則反.

例3.（1）某單位要在4名員工（含甲、乙兩人）中隨機(jī)選2名到某地出差，則甲、乙兩人中，至少有1人被選中的概率是? ? ? ? ?.

（2）盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片，從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼，則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為____.

解析：（1）在4名員工（含甲、乙兩人）中隨機(jī)選2名，共有6種可能，其中甲乙兩人都未被選中只有1種可能，

所以甲、乙兩人中，至少有一人被選中的概率是[1-16]=[56].

（2）其對(duì)立事件為：兩次抽的卡片號(hào)碼都為奇數(shù)，共有2×2=4種抽法.而有放回的兩次抽取卡片共有3×3=9種基本事件，因此所求事件的概率為[1-49=59].

對(duì)于一些含有“至多”“至少”等關(guān)鍵詞的概率問題，正向求解繁瑣、容易出錯(cuò)，我們?nèi)舴雌涞蓝?，先求其?duì)立事件，然后根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)[P（A）=1-P（A）]，可使問題得以突破.

解答古典概型問題有很多技巧，以上三種是常用的、基本的方法.每一種方法有其優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，同學(xué)們?cè)诮忸}中要靈活地利用其優(yōu)點(diǎn)，回避其缺點(diǎn)，從而使問題得以簡化，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 ）