從題目隱含信息中尋求解法的優(yōu)化、簡化及準(zhǔn)確化

摘 要：本文就如何挖掘題目中的隱含信息來優(yōu)化解題，從多個(gè)方面加以闡述.

關(guān)鍵詞：隱含信息;挖掘;解題

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0051-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：雷亞慶（1972- ），男，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究.

我們在解決有些數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)碰到這樣一種情況：一個(gè)問題如果按照常規(guī)思路很難去解決，即使能解決，也要大費(fèi)一番周折，非常繁瑣.而這時(shí)我們?nèi)绻芨鶕?jù)問題的結(jié)構(gòu)特征及其已知條件中的數(shù)量關(guān)系，挖掘潛在的已知和未知間的信息，通過巧妙的構(gòu)造，就可以把問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的問題，從而使解答巧妙、簡捷、準(zhǔn)確.以下是筆者的一些粗淺的體會(huì).

一、挖掘隱含信息，使解法得以優(yōu)化

例1 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

分析 如果利用三角公式進(jìn)行化簡和求值運(yùn)算，需要降冪公式和和差化積公式，仔細(xì)觀察所給角的特征，我們發(fā)現(xiàn)隱含信息：38°，82°與60°正好構(gòu)成一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，因此考慮構(gòu)造三角形利用正余弦定理求解.

解 構(gòu)造△ABC，使得A=38°，B=82°，C=60°，設(shè)△ABC外接圓直徑為2R，則：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

例2 已知直線l：（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0，和圓C：x2+y2-x-y-2=0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.

分析 本題的常規(guī)思路有兩種：一利用圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系;二是聯(lián)立方程組，消元后利用根的判別式判斷方程解的情況進(jìn)而得到直線域圓的位置關(guān)系.但是兩種方法都面臨復(fù)雜的運(yùn)算與化簡.這時(shí)如果換個(gè)角度審題，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的重要信息，那就是直線過定點(diǎn)，只要判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系就可以順利解決本題.

解 直線l：（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0的方程可化為

所以過點(diǎn)A的直線l一定與圓C相交.

二、挖掘隱含信息， 使解法得以簡化

例3 已知函數(shù)f（x）=-12x2+x，是否存在實(shí)數(shù)m，n使得f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]如果存在，求出m，n;若不存在，說明理由.

常規(guī)解法 分類討論

（3）當(dāng)m<1 ? ? 所以f（x）在[m，n]上的最大值為f（1）=12<2n，與已知條件矛盾，舍.

綜上，存在m=-2，n=0，使得f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n].

反思 上述通性通法解法思路清晰，自然.不過我們發(fā)現(xiàn)后兩種情況沒有解.感覺忙了半天沒有什么收獲，能不能通過挖掘隱含信息避免不必要的討論而使解法得以簡化呢？我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最大值為12，當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，值域?yàn)閇2m，2n]，因此我們發(fā)現(xiàn)本題條件所隱含的信息，那就是：2n≤12即n≤14，所以[m，n]（-∞，1），所以f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增.

分析 如果我們設(shè)f（x）=x2-2ax-1，題目中包含兩個(gè)隱含信息：一是對(duì)稱軸x=a（a>0），二是f（0）=-1<0.由對(duì)稱性可知x1<0 ? ? 解 A=xx<-3或x>1，由題意B≠，f（0）=-1<0可知函數(shù)f（x）=x2-2ax-1有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為x1，x2（x1 ? ? 因?yàn)閽佄锞€f（x）=x2-2ax-1的對(duì)稱軸為x=a（a>0）， 由對(duì)稱性可知x1<0 ? ? 若x1<-3，則x2>3，則A∩B=xx1≤x<-3或1 ? ? 因此若要A∩B中有且只有一個(gè)整數(shù)，需2≤x2<3，此時(shí)A∩B=2（如圖1），所以f（2）≤0且f（3）>0（如圖2）.

解得：34≤a<43.

三、挖掘隱含信息，使解題方法準(zhǔn)確化

錯(cuò)因分析 這種解法由于沒有發(fā)現(xiàn)y2≥0這一隱含信息，在將x2+y2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)f（x）=-12（x-3）2+92后弄錯(cuò)了定義域，致使最后結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解 由3x2+2y2=6x得

例6 在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C=2B，則cb的范圍是

.

分析 這是一個(gè)二元目標(biāo)函數(shù)的最值問題，從代數(shù)角度很難找到解題思路.這時(shí)我們仔細(xì)觀察目標(biāo)函數(shù)的特征，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含的解題信息：二元目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩條特殊曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的距離，解題思路由此清晰.

解 構(gòu)造圓C：x2+（y-4）2=1和橢圓D：x29+y2=1.顯然點(diǎn)P（x，4+1-x2）在圓C上，點(diǎn)Q（y，-1-y29）在橢圓D上，所以f（x，y）=PQ2.

問題轉(zhuǎn)化為：求橢圓D上一動(dòng)點(diǎn)Q到圓C上一動(dòng)點(diǎn)P的距離的最大值

顯然當(dāng)PQ過圓C的圓心C時(shí)才可能取得最大值，即PQmax=PCmax+1

由此問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為求定點(diǎn)C（0，4）與橢圓上動(dòng)點(diǎn)Q的最大距離問題

所以當(dāng)y0=-12時(shí)，CQ有最大值33.

所以PQ的最大值為33+1.

即f（x，y）的最大值為（33+1）2=28+63.

例8 求y=x-4+15-3x的值域.

分析 求根式函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，特別是雙根式函數(shù)，實(shí)際上如果我們養(yǎng)成解決函數(shù)問題先明確定義域的好習(xí)慣的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱藏的解題信息，利用三角代換，就可以把根式函數(shù)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)問題處理.

分析 習(xí)題咋一看很難，目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二元雙絕對(duì)值函數(shù)，如何才能去絕對(duì)值呢？怎么分類討論呢？有點(diǎn)無從下手的感覺，實(shí)際上如果我們根據(jù)題干中隱含的信息作出可行域，就會(huì)發(fā)現(xiàn)原來問題比想象的簡單的多.

解析 作出x2+y2≤1對(duì)應(yīng)的區(qū)域，同時(shí)作出直線2x+y-4=0和直線x+3y-6=0（如右圖）.由圖形結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)可知：

從上述問題的解決過程中我們發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知的相關(guān)量進(jìn)行定量分析，充分挖掘題目中的隱含信息，從中尋求解題思路的優(yōu)化、簡化、準(zhǔn)確化乃至解題方向，避免無謂的分類討論或繁瑣的運(yùn)算化簡，提高思維的變通性，使問題得以順利解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]雷亞慶.例談數(shù)學(xué)解題中“除”的妙用[J].數(shù)理化解題研究，2017（07）：31-32.

[責(zé)任編輯：李 璟]