數(shù)學思想方法在數(shù)學解題中的應用

韓軍

引言：解題是見證數(shù)學理論是否充分掌握途徑之一。在高中階段，需要在數(shù)學問題解決中培養(yǎng)數(shù)學思維方法。主要的思維方法包括函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類和整合思想等等。本文以多種思想為例，反映了數(shù)學思維方法在高中數(shù)學問題解決中的必要性。

一、函數(shù)與方程思想應用

在高中數(shù)學中，有許多部分可以使用函數(shù)和方程來解決。例如，在數(shù)列問題中，不等式問題中。首先，對于高中數(shù)學不等式問題，它可以與函數(shù)和方程理論完全結(jié)合。

例如：在等差數(shù)列{an}中，a2=6，S12〈0。S13〉0。

求公差取值范圍，求S1，S2…S13哪個值最大。

那么在解題時，可以結(jié)合函數(shù)與方程思想。首先，對于等差數(shù)列中，求和公式為Sn=na1+（n（n+1）d）/2，a2=6在標題的條件下是已知的，并且通式a=a1+（n-1）d可以通過算術(shù)級數(shù)獲得。這樣在通過等式變換后，將求和公式中a1代換為an-（n-1）d。如此可得到一個全新等式：Sn=n（an-（n-1）d）+（n（n+1）d）/2。在全新等式中，可以看做n為未知數(shù)的二次函數(shù)。這樣，當解決該系列的各種問題時，可以通過函數(shù)與方程思想有效地解決該系列問題。數(shù)列中，可以通過簡單化轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)。學習過程中，學生經(jīng)常因為數(shù)列的抽象性而造成失誤，或根本無從下手。但是通過函數(shù)思想，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)，就可以有效對數(shù)列問題進行解決。并通過函數(shù)圖像對數(shù)列中最值問題進行求解。

二、分類討論思想應用

在高中數(shù)學中，解決問題有很多分類思路。關(guān)注學生在解決問題的過程中是否具有邏輯連續(xù)性的思維。并且在解題時是否能夠?qū)栴}進行全盤考慮，對各種結(jié)果有全面性分析的能力。因此，在分類討論中，主要應用是解決不等式。

例如：解不等式（b+4a）（b-8a）/2a+1〉0（a為常數(shù)，且a≠-1）

對于不等式問題的這種解決方案，取決于整個問題的解決方案是否正確。a的取值可以分為幾個區(qū)間，分別為大于0的范圍，大于-1小于0，小于-1。在解決不等式時，我們應該使用分類討論的思想來討論a的價值范圍。

首先，對于a在大于0范圍時進行求解，如果a大于0，那么就可以不對分母進行考慮，直接得出（b+4a）（b-8a）〉0，在二階方程中，有必要考慮a的值的范圍。因此求出b的取值范圍為b≠0。

其次，當-1〈a〈0這一區(qū)間中，可得不等式（b+4a）（b-8a）〈0，繼而求出b的取值范圍為b〈8a，b〉-4a。

最后，在a〈-1這一區(qū)間中，由于分母變?yōu)樨摂?shù)，所以不等式符號要進行轉(zhuǎn)變，得到（b+4a）（b-8a）〉0，得出結(jié)果8a〈b〈-4a。

因此，在求解過程中，使用分類討論思想對解不等式進行考慮，分別考慮分母求值范圍，通過這種方式，學生可以在解決問題和提高學習質(zhì)量的過程中減少錯誤。

三、數(shù)學思維方法在數(shù)學問題解決中的應用

（一）以教材為基礎，深化數(shù)學思想

對于學生來說，教科書是學習知識的主要方式之一。因此，教師要引導學生以教材為基礎，深度發(fā)掘教材知識，將教材中數(shù)學思想讓學生深化記憶，能夠在解題過程中使用。在高一數(shù)學上冊中，學生因為接觸過多種類函數(shù)，而造成思維混淆。因此，在結(jié)合數(shù)字和形狀的思想結(jié)合后，抽象函數(shù)可以有效地轉(zhuǎn)換為圖像解決方案。例如，當求解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)時，學生將對這兩個函數(shù)的定義感到困惑。不能有效區(qū)分兩種函數(shù)未知數(shù)在哪里取值。因此，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像后，學生只需要借助函數(shù)圖像，就可以深化對函數(shù)記憶。并且通過圖像和坐標軸的交點，可以一起解決問題。

（二）改變教學模式，重視探索精神

解決問題的能力在數(shù)學學科中占有重要地位。然而，在傳統(tǒng)的課堂上，老師只要求學生通過題海戰(zhàn)術(shù)進行訓練。教師理念中，認為只有將全部題型有所了解，并通過大量做題才能讓學生深化對知識點記憶。這種方法在現(xiàn)階段明顯不適用。究其原因，一方面是因為高中學習任務較重，學生并不能只針對數(shù)學學科進行學習。另一方面，如果大量頻繁做題，只會讓學生對數(shù)學問題感到厭倦。教師應改變教學模式，注重培養(yǎng)學生的探究精神。例如，在數(shù)列問題中。數(shù)列問題是高中數(shù)學重點考察內(nèi)容，數(shù)列具有變化性，連環(huán)性，綜合性。因此，通過題海戰(zhàn)術(shù)深化數(shù)列問題是不現(xiàn)實的。教師必須有方法教學生解決一系列問題。如裂相相消法，錯位相減法。利用函數(shù)與方程思想進行化歸。通過這種方式，學生可以提高他們的解決問題的能力，并充分運用數(shù)學思維方法。

四、結(jié)束語

在高中數(shù)學中，我們必須注意使用數(shù)學思維方法。在現(xiàn)代教學中，應教導學生通過數(shù)學思維提高解決問題的能力。注重探索精神，讓學生掌握解決問題的方法，并運用數(shù)學思想解決問題解決過程中的問題。這樣才能真正讓學生從根源處了解數(shù)學，學習數(shù)學，提高數(shù)學。