反證法的魅力

張青霞

【摘 要】反證法既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法，又是日常生活中人們分析問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法。它不僅在數(shù)學(xué)文化的殿堂里大放光芒，也在古今中外的歷史中留下不少充滿智慧哲理的故事。而且反證法的故事也是數(shù)學(xué)源于生活，用于生活的典例，所以反證法中的的魅力更蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)之美。現(xiàn)在就讓我們?cè)谘芯糠醋C法的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)之美。

【關(guān)鍵詞】反證法;故事;假設(shè);證明;結(jié)論

數(shù)學(xué)命題的證明分直接證法和間接證法兩種。在間接證法中，最常見(jiàn)的是反證法。反證法歷史悠久，在中外歷史中都存在很多關(guān)于反證法的有趣的故事，人們?cè)谶\(yùn)用和了解反證法中都可以看到其中的魅力，其中的邏輯與推理中的美麗更是一種數(shù)學(xué)的魅力。讓我們一起了解反證法，在了解反證法的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)之美。

一、反證法的概念

反證法是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得。

反證法是數(shù)學(xué)中常用的間接證明方法之一。反證法的邏輯基礎(chǔ)是形式邏輯基本規(guī)律中的排中律。通常反證法是在待證命題正面難以入手而從待證命題的結(jié)論的反面入手進(jìn)行正確推理，推出矛盾，從而得出原結(jié)論的反面不真，由此肯定原結(jié)論為真。假設(shè)命題的否定成立，即在“已知條件”和“命題的否定”這個(gè)新條件下，通過(guò)邏輯推理，得出與公理﹑定理、題設(shè)、臨時(shí)假定相矛盾的結(jié)論或自相矛盾，從而斷定命題判斷的反面不成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的，當(dāng)命題由已知不易直接證明時(shí)，改證它的逆命題的證明方法叫反證法。

二、反證法步驟

1.反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立;

2.歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，以通過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件﹑已知的公理﹑定理﹑定義﹑反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾;

3.結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。

三、反證法的使用

反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂"正難則反"。

牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇?lái)講，反證法常用來(lái)證明正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問(wèn)題可能解決得十分干脆。

反證法的證題可以簡(jiǎn)要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結(jié)論開(kāi)始，得出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應(yīng)用反證法的是：

欲證“若P則Q”為真命題，從相反結(jié)論出發(fā)，得出矛盾，從而原命題為真命題。

反證法的主要使用方法就是先從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，然后通過(guò)合理有效的邏輯推理過(guò)程，使之得到與已知條件、公理、定理或者已經(jīng)被證明為正確的命題等相矛盾，這時(shí)就可以說(shuō)假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而利用排中律推出原命題成立。

四、數(shù)學(xué)中的反證法

1.證明：素?cái)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。

這個(gè)古老的命題最初是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid of Alexandria），生活在亞歷山大城，約前330～約前275，是古希臘最享有盛名的數(shù)學(xué)家）在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個(gè)反證法：

證：假設(shè)素?cái)?shù)只有有限個(gè)，設(shè)為q1，q2，...qn，考慮p=q1q2...qn+1。顯然，p不能被q1，q2，...qn整除。故存在兩種情況：p為素?cái)?shù)，或p有除q1，q2，...qn以外的其它素因子。無(wú)論何種情況，都說(shuō)明素?cái)?shù)不止有限個(gè)。假設(shè)錯(cuò)誤，所以素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。

2.證明：兩條直線如果有公共點(diǎn)，最多只有一個(gè)。

證：假設(shè)這兩條直線a，b有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，

那么A，B既在直線a上，也在直線b上，

因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)可確定一條直線，

所以直線a，直線b重合，這與題設(shè)矛盾。

因此假設(shè)不成立， 原命題正確。

五、生活中的反證法

故事一：三個(gè)古希臘哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣炎熱感到疲倦了，于是在花園里的一棵大樹(shù)下躺下來(lái)休息一會(huì)，結(jié)果都睡著了。這時(shí)一個(gè)愛(ài)開(kāi)玩笑的人用炭涂黑了他們的前額。三個(gè)人醒來(lái)以后，彼此看了看，都笑了起來(lái)。但這并沒(méi)引起他們之中任何一個(gè)人的擔(dān)心，因?yàn)槊總€(gè)人都以為是其他兩人在互相取笑。這時(shí)其中有一個(gè)突然不笑了，因?yàn)樗l(fā)覺(jué)自己的前額也被涂黑了。那么他是怎樣覺(jué)察到的呢？你能想出來(lái)嗎？

答案：為了方便，用甲、乙、丙分別代表三個(gè)科學(xué)家，不妨設(shè)甲已經(jīng)認(rèn)為自己的臉沒(méi)被涂黑，如果我的臉沒(méi)被涂黑，那么乙能看到（當(dāng)然對(duì)于丙也是一樣），乙既然看到了我的臉沒(méi)被涂黑，同時(shí)他又認(rèn)為他的臉也沒(méi)被涂黑。那么乙就應(yīng)該對(duì)丙的發(fā)笑而感到奇怪。因?yàn)樵谶@種情況下（甲、乙的臉都是干凈的），丙是沒(méi)有可笑的理由了。然而現(xiàn)在的事實(shí)是乙對(duì)丙的發(fā)笑并不感到奇怪，可見(jiàn)乙是在認(rèn)為丙在取笑我。由此可知，我的臉也被涂黑了?！?/p>

這里應(yīng)著重指出的是，甲并沒(méi)有直接看到自己的臉是否被涂黑了，他是根據(jù)乙、丙兩人的表情進(jìn)行分析和思考，從而說(shuō)明了自己的臉被涂黑了。簡(jiǎn)單地說(shuō)，甲是通過(guò)說(shuō)明是：“被涂黑了”的反面-----“沒(méi)被涂黑”是錯(cuò)誤的，從而覺(jué)察到自己的臉被涂黑了，這是一種間接的證明方法。顯然這種證明方法應(yīng)該是不可缺少的。

故事二：諸葛亮的“空城計(jì)”與反證法。

三國(guó)時(shí)期，蜀國(guó)丞相諸葛亮屯兵陽(yáng)平時(shí)，派大將魏延領(lǐng)兵去攻打魏國(guó)，只留下少數(shù)老弱軍士守城，不料魏國(guó)大都督司馬懿率大隊(duì)兵馬殺來(lái)，靠幾個(gè)老弱軍士出城應(yīng)戰(zhàn)，無(wú)異以卵擊石，怎么辦？諸葛亮冷靜思考之后，決定打開(kāi)城門，讓老弱軍士在城門口灑掃道路，自己則登上城樓，擺好香案，端坐彈琴，態(tài)度從容，琴聲幽雅，司馬懿見(jiàn)此情景，心中疑慮：“諸葛亮一生精明過(guò)人，謹(jǐn)慎有余，從不冒險(xiǎn)，今天如此這般，城內(nèi)恐怕必有伏兵，故意誘我入城，絕不能中計(jì)也。”于是急令退兵。這就是家喻戶曉的“空城計(jì)”。

結(jié)論：諸葛亮從問(wèn)題（守住城）的反面（不守城）考慮，解決了用正面方法（用少數(shù)老弱軍士去拼殺）很難或無(wú)法解決的問(wèn)題。

故事三：男方某風(fēng)水先生看風(fēng)水，恰逢天降大雪，乃做一歪詩(shī)：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨;早知雪要變成雨，何不當(dāng)初就下雨。”他的歪詩(shī)又恰被一牧童聽(tīng)到，亦做一打油詩(shī)諷刺風(fēng)水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎;早知吃飯變成屎，何不當(dāng)初就吃屎。”

實(shí)際上，小牧童正是巧妙地運(yùn)用了反證法，駁斥了風(fēng)水先生否定事物普遍運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，不要變化過(guò)程的形而上學(xué)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。假設(shè)風(fēng)水先生說(shuō)的是真理，只強(qiáng)調(diào)變化最后的結(jié)果，不要變化過(guò)程也可以，那么根據(jù)他的邏輯，即可得出風(fēng)水先生當(dāng)初就應(yīng)吃屎的荒唐結(jié)論。風(fēng)水先生當(dāng)然不會(huì)承認(rèn)這個(gè)事實(shí)了，顯然他說(shuō)的就是謬論了。

這就是反證法的威力，一個(gè)原本非常復(fù)雜的哲學(xué)問(wèn)題被牧童運(yùn)用了“以其人之道，還治其人之身”的反證法迎刃而解了。

六、結(jié)論

反證法不僅是一種解決問(wèn)題的思路，更是蘊(yùn)含一種獨(dú)特的思維方式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與日常生活的問(wèn)題分析中反證法都可以發(fā)揮巨大的作用，而其中蘊(yùn)含的獨(dú)特的思維方式，更是能改變一個(gè)人的一生。反證法在數(shù)學(xué)、哲學(xué)、生活等方面都發(fā)揮著巨大的作用并散發(fā)著其獨(dú)特的魅力。反證法獨(dú)特的邏輯推理過(guò)程與思路體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，值得我們用一生去追尋探索。

【參考文獻(xiàn)】

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