因式分解方法拓展

雷添淇

中考對(duì)于因式分解的要求非常簡單，要求了解因式分解的意義及其與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，會(huì)用提公因式法（字母的指數(shù)是正整數(shù)）、運(yùn)用公式法（平方差公式、完全平方公式，直接運(yùn)用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解. 高中代數(shù)部分是以函數(shù)為主線展開的，包括研究函數(shù)的性質(zhì)、解一元高次不等式、三角函數(shù)的恒等變形等，需要具備較強(qiáng)的代數(shù)變形能力，而因式分解是代數(shù)恒等變形的重要途徑，涉及的內(nèi)容與方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出中考的考查范圍.為幫助同學(xué)們提升因式分解的能力，本文為同學(xué)們拓展介紹因式分解的其他方法.

一、知識(shí)要點(diǎn)

除了提公因式法與運(yùn)用公式法（完全平方公式與平方差公式），因式分解的常見方法有：

1. 運(yùn)用公式法：

（1）[a3±b3=（a±b）（a2?ab+b2）];

（2）[a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3];

（3）[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2];

（4）[a3+b3+c3-3ab=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）=12（a+b+c）[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]] ;

（5）[a4+a2b2+b4=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）];

（6） [an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+ abn-2+bn-1）]（[n]為正偶數(shù)）;

（7）[an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+ abn-2-bn-1）]（[n]為正偶數(shù)）;

（8）[an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…- abn-2+bn-1）]（[n]為正奇數(shù)）;

2. 分組分解法

3. 配方法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法

4. 十字相乘法

5. 待定系數(shù)法

6. 綜合利用余式定理、因式定理分解因式

定理1：余式定理：多項(xiàng)式[f（x）]除以[x-a]所得的余數(shù)恰等于[f（a）].

定理2：因式定理：多項(xiàng)式[f（x）]含有因式[x-a]的充分必要條件為[f（a）=0].

推論：如果整系數(shù)多項(xiàng)式[f（x）=anxn+an-1xn-1+???+a1x+a0]有因式[px-q]，即有有理數(shù)根[qp]（[p]，[q]是互質(zhì)整數(shù)），那么[p]一定是首項(xiàng)系數(shù)[an]的約數(shù)，[q]一定是常數(shù)項(xiàng)[a0]的約數(shù).

7. 利用對(duì)稱式、輪換式分解因式

對(duì)稱式：若一個(gè)多項(xiàng)式中的任意兩個(gè)字母互換，多項(xiàng)式不變，則稱這個(gè)多項(xiàng)式是關(guān)于這些字母的對(duì)稱式，如[x+y]，[x2-xy+y2].

輪換式：若一個(gè)多項(xiàng)式中含有的字母[x]，[y]，[z]輪換（把[x]換成[y]，[y]換成[z]，[z]換成[x]）后，多項(xiàng)式保持不變，則稱此多項(xiàng)式是關(guān)于這些字母的輪換式，如[x2y+y2z+z2x].

性質(zhì) 1：對(duì)稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對(duì)稱式.

性質(zhì) 2：兩個(gè)對(duì)稱式的和、差、積、商（能整除時(shí)）一定是對(duì)稱式;兩個(gè)輪換式的和、差、積、商（能整除時(shí)）一定是輪換式.

二、例題解析

例 因式分解：

（1）[x6+y6+2x3y3];

（2）[（x2+x+1）（x2+x+2）-12].

解析：（1）經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)原式是關(guān)于x3，y3的完全平方式，

則原式 = [（x3+y3）2] [=[（x+y）（x2-xy+y2）]2] [=（x+y）2（x2-xy+y2）2].

（2）將x2 + x看作整體，令A(yù) = x2 + x，

則原式 = （A + 1）（A + 2） - 12

= A2 + 3A - 10

= （A - 2）（A + 5）

= （x2 + x-2）（x2 + x + 5）

[=] （[x-1]）（[x+2]）（[x2+x+5]）.

[作者單位：世界創(chuàng)新（遼寧）教育科技中心]