一類帶位勢與散射阻尼半線性波動方程解的破裂

范雄梅， 明 森， 韓 偉

(中北大學 理學院， 山西 太原 030051)

0 引言及主要結論

本文研究外區(qū)域上帶位勢與散射阻尼的半線性波動方程初邊值問題

(1)

式中： Ωc=RnB1(0), Ω=B1(0)為Rn中的單位球；μ>0，β>1；ε>0為任意給定的充分小的正數(shù)； 位勢0≤V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1，C>0，δ>0均為常數(shù)；μ(1+t)-βut為散射阻尼.

關于帶阻尼的線性波動方程的Cauchy 問題

(2)

近來， 帶阻尼的非線性波動方程的Cauchy問題受到廣泛關注[3-9]. 目前的主要研究結果集中在β∈(-∞,1]. 當β=1，μ=2時， Fujita 指數(shù)與Strauss 指數(shù)密切相關. 文獻[6]研究了次臨界指數(shù)具散射阻尼的半線性波動方程， 利用試探函數(shù)方法和迭代方法得到解會破裂及其生命跨度的上界估計， 但沒有涉及位勢項和外區(qū)域. 而對于問題(1)， 目前還沒有相關結果.

本文考慮當空間維數(shù)n與非線性項指數(shù)p滿足一定條件時， 問題(1)的解總會在有限時間內(nèi)破裂， 進而得到其生命跨度的上界估計. 本文主要結果如下：

定理1設n≥1, 1R>2.f(x),g(x)不恒等于0. 記r(p,n)=2+(n+1)p-(n-1)p2. 設問題(1)的解滿足suppu?{(x,t)∈Ωc×[0,T)‖x|≤t+R}， 則問題(1)的解u將在有限時間內(nèi)破裂， 且有如下生命跨度T(ε)的上界估計

(3)

式中：C是與ε無關的正常數(shù)， 0<ε<ε0，ε0=ε0(f,g,p,μ,R).

(4)

(5)

下面給出證明定理1～3時需要用到的引理.

引理1[3，10-12]引入兩個試探函數(shù)φ0(x),φ1(x)∈C2(Ωc),n≥1， 則有

式中：C0,C1為正常數(shù)； 位勢0≤V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1,C>0,δ>0， 均為常數(shù). 當V=0時， 記r=|x|， 則有

注3本文將文獻[6]中所研究的次臨界指數(shù)帶散射阻尼的半線性波動方程小初值問題推廣到外區(qū)域上帶位勢的情形， 其中位勢0≤V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1，C>0，δ>0均為常數(shù). 若問題(1)中V(x)=0， 當n≥4時可取φ0(x)∈(0,1)， 而n≤3時則給出具體徑向試探函數(shù)φ0(|x|)， 見引理1.

注4利用波動方程的有限傳播速度性質(zhì)知當時間t有限時，r亦有界. 故n=1, 2時，φ0(x)有界.

現(xiàn)記ψ1(x,t)=e-tφ1(x)， 其中φ1(x)如引理1中所述.

引理2[3]設p>1,φ0(x),φ1(x)滿足引理1中的條件，n≥1. 則?t≥0，

式中：C為正常數(shù).

1 定理1的證明

首先， 給出問題(1)弱解的定義.

定義1設u是問題(1)在[0,T)的能量解， 并且

u∈C([0,T),H1(Ωc))∩C1([0,T),L2(Ωc))∩

滿足

(6)

現(xiàn)引入如下函數(shù)

其中，u是問題(1)在[0,T)上的解.

記ψ1(x,t)=e-tφ1(x)， 其中φ1(x)如引理1中所述. 引入指數(shù)乘子.

m(t)=exp(μ(1-β)-1(1+t)1-β)).

若β>1， 則有

1≥m(t)≥m(0),t≥0.

(7)

下面建立F0(t)的估計. 利用引理1可得

在式(6)中令

φ(x,s)=φ0(x),

(x,s)∈Ωc×[0,t], |x|≤s+R,

得到

(8)

下面建立F1(t)的下界估計.

運用Holder不等式及引理2， 則有

(9)

其中,C1>0. 令

φ(x,t)=ψ1(x,t)=e-tφ1(x)，

則有φt=-φ,φtt=Δφ. 對式(6)求導， 在方程兩邊同時乘以m(t)， 并在[0,t]上積分， 則有

利用引理1得到

(10)

運用Holder不等式， 得到

(11)

式中：C2>0. 結合式(8)和式(11)， 可得

(12)

式中：C3=C2m(0)>0. 利用式(8)～式(10)， 并在[0,t]上積分得到

(13)

下面利用迭代方法建立問題(1)解的生命跨度T(ε)的上界估計.

首先， 對于t≥0,j∈N*， 假設

F0(t)>Dj(R+t)-ajtbj,

(14)

式中：Dj,aj,bj將在下文中給出其定義， 而且

(15)

將(14)代入式(12)中， 得到

現(xiàn)定義序列{Dj}， {aj}， {bj}. 由于

bj+1=pbj+2,

(16)

于是，F(xiàn)0(t)>Dj+1(R+t)-aj+1tbj+1.

利用式(15)和式(16)得到

于是

(17)

由t≥1， 可得

其中

若

則有J(t)≥1. 在式(17)中令j→∞， 則有F0(t)→∞. 從而得到生命跨度的上界估計

其中，C7是不依賴于ε的正常數(shù).

2 定理2與定理3的證明

2.1 定理2的證明

F0(t)≥C9ε(R+t),

從而得到定理2中生命跨度的上界估計.

2.2 定理3的證明

結合定理1和定理2的證明過程， 當n=1時， 可知

類似地， 可得

從而可得到定理3中生命跨度的上界估計.