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    含模型不確定性的上三角非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定

    2020-09-05 04:50:58查雯婷翟軍勇梁營玉
    控制理論與應(yīng)用 2020年8期
    關(guān)鍵詞:冪指數(shù)閉環(huán)全局

    查雯婷 ,翟軍勇,梁營玉

    (1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)機電與信息工程學(xué)院,北京 100083;2.東南大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 210096)

    1 引言

    在實際中,由于外部干擾的存在,往往不能建立準確的系統(tǒng)模型,如控制參數(shù)未知、非線性函數(shù)未知、狀態(tài)測量函數(shù)未知以及系統(tǒng)冪指數(shù)未知等.隨著控制理論的發(fā)展,自適應(yīng)控制被驗證為處理不確定系統(tǒng)強有力的工具.針對系統(tǒng)控制參數(shù)未知的情況,文獻[1]將反步法與自適應(yīng)技術(shù)相結(jié)合,給出了全局狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制律的設(shè)計方法.在某些物理系統(tǒng)中控制方向難以確定,如無標定視覺伺服系統(tǒng)[2].文獻[3]利用Nussbaum-type增益方法[4]提出了一種針對三角型不確定非線性系統(tǒng)的重復(fù)學(xué)習(xí)控制策略,然而系統(tǒng)中的非線性函數(shù)要求已知.關(guān)于未知的非線性函數(shù),通常假設(shè)其滿足線性增長條件或局部Lipschitz條件.當線性增長率未知時,文獻[5]構(gòu)造了一個通用的自適應(yīng)輸出反饋控制器,使得系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)至原點,該結(jié)果被進一步推廣至更一般的非線性時滯系統(tǒng)[6-7]和隨機系統(tǒng)[8]中.由于傳感器測量噪聲的存在或者傳感器本身的結(jié)構(gòu)特性,系統(tǒng)狀態(tài)不能被準確測量,從而對控制器的設(shè)計帶來很大困難.文獻[9]基于依次遞減齊次度的概念和增加冪積分方法,解決了高階不確定非線性系統(tǒng)的量測反饋魯棒控制問題.文獻[10]中指出由于外部環(huán)境的影響,實際系統(tǒng)模型中的冪指數(shù)往往無法確定.通過將未知冪指數(shù)漂移量限定在適當范圍內(nèi),利用區(qū)域齊次度的概念構(gòu)造出一個全局狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器.針對冪指數(shù)是時變函數(shù)的情況,文獻[11]利用系統(tǒng)冪指數(shù)的上下界設(shè)計出一個光滑的狀態(tài)反饋控制器.

    然而,針對模型不確定性的全局控制結(jié)果大多集中于下三角系統(tǒng)或嚴格反饋系統(tǒng).實際中的物理系統(tǒng),如球-棍系統(tǒng)和倒立擺系統(tǒng)等,常常被描述成上三角系統(tǒng)或前饋系統(tǒng).系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特殊性決定了反步法和增加冪積分等方法不再適用于控制器的設(shè)計,因此上三角非線性系統(tǒng)的全局控制問題吸引了越來越多控制學(xué)者的關(guān)注,尤其是高階上三角非線性系統(tǒng),即至少一個系統(tǒng)冪指數(shù)大于1.嵌套飽和函數(shù)方法[12]和forwarding方法[13]是常用的兩種控制器設(shè)計方法.通過對非線性函數(shù)施加適當假設(shè),文獻[14]給出了高階上三角非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定飽和控制器設(shè)計方法.為了放寬對系統(tǒng)非線性項的約束,文獻[15]將嵌套飽和函數(shù)和增加冪積分方法相結(jié)合,解決了控制參數(shù)未知的高階上三角系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定問題.在此基礎(chǔ)上,該結(jié)果被進一步推廣至一類不確定大規(guī)模高階上三角非線性系統(tǒng)中[16].上述嵌套飽和函數(shù)方法是基于“由上至下”的原則設(shè)計控制器,然后將飽和函數(shù)作用于所設(shè)計的控制,基于“由下至上”的步驟恰當選取飽和度,使得系統(tǒng)全局鎮(zhèn)定.與之不同,基于Lyapunov直接方法的forwarding方法采用的是從下至上的設(shè)計思路.文獻[17]將擾動觀測器與forwarding方法結(jié)合,解決了不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題.文獻[18-19]將forwarding方法與廣義齊次度的概念相結(jié)合,給出了高階上三角非線性系統(tǒng)的光滑和非光滑控制器設(shè)計方法.在上述已有的結(jié)果中,控制器的設(shè)計都用到了系統(tǒng)的冪指數(shù).若冪指數(shù)未知,該設(shè)計方法將不再適用.

    為了研究更一般的上三角系統(tǒng),本文綜合考慮系統(tǒng)冪指數(shù)、控制參數(shù)和非線性函數(shù)均不確定的情況,通過將不確定Lyapunov函數(shù)與嵌套飽和函數(shù)相結(jié)合,解決了一類上三角不確定系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定問題.本文的難點體現(xiàn)在:1)由于系統(tǒng)冪指數(shù)未知,不能利用文獻[15]中傳統(tǒng)的嵌套飽和函數(shù)方法來設(shè)計全局鎮(zhèn)定控制器;2)文獻[10]中針對簡單非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計方法不適用于本文考慮的上三角結(jié)構(gòu)的系統(tǒng);3)系統(tǒng)綜合考慮各種模型不確定性,給控制器的設(shè)計過程帶來更多的困難.

    2 問題描述及假設(shè)

    本文研究如下非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定問題:

    其中:x=(x1··· xn)T∈?n,u ∈?分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入.對于i=1,···,n-1,未知冪指數(shù)pi,q是兩個奇數(shù)之比},并且滿足1 ≤ai≤pi≤bi,其中ai和bi均已知.不確定非線性函數(shù)di(·)′s和φi(·)′s是C1的,且滿足φi(0)=0和di(·)>0.為了設(shè)計一個全局狀態(tài)反饋控制器,系統(tǒng)(1)需滿足如下假設(shè)條件:

    假設(shè)1對于i=1,···,n-2,ai≥bi+1成立.

    假設(shè)2存在正常數(shù)滿足

    其中:i=1,···,n,xi+1=u.

    假設(shè)3對于i=1,···,n,存在正常數(shù)ρ和qi滿足

    其中qi>bi.

    注1文獻[15]中的假設(shè)2.1給出了系統(tǒng)非線性函數(shù)所滿足的條件,在此基礎(chǔ)上設(shè)計了齊次飽和控制器來鎮(zhèn)定一類更廣泛的上三角非線性系統(tǒng).本文所設(shè)計的線性結(jié)構(gòu)控制器是齊次控制器的一種特殊情況,在系統(tǒng)冪指數(shù)已知時,上述假設(shè)與文獻[15]中假設(shè)2.1相一致,從而說明了假設(shè)的合理性.

    下面給出控制器設(shè)計過程中會用到兩個的引理.

    引理1[20]對于任意的,x∈?和y ∈?,以下不等式成立:

    其中c是一個正常數(shù).

    引 理2[20]對于任意的正實數(shù)c,d 和實函數(shù)γ(x,y)>0,如下不等式成立:

    3 局部鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

    本節(jié)針對系統(tǒng)(1)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)達到局部穩(wěn)定.首先,考慮如下標稱系統(tǒng):

    并基于Lyapunov理論[21]迭代地設(shè)計局部狀態(tài)反饋控制器.

    步驟1選取Lyapunov函數(shù),可得V1關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

    針對Lyapunov函數(shù)V1,定義集合

    其中N是一個正常數(shù).通過設(shè)計線性虛擬控制器

    可得

    步驟k假設(shè)在第k-1步,存在一個關(guān)于x1,···,xk-1正定且徑向無界的Lyapunov函數(shù)Vk-1:?k-1→?和一系列虛擬控制器,

    其中定義集合Ωj?{x ∈?n|Vj(x1,···,xj)≤N},j=2,···,k-1滿足Ωk-1?···?Ω1.

    接下來證明式(8)在第k步仍然成立.為了簡便,利用一個通用的常數(shù)c來表示任意有限的正常數(shù),且具體的數(shù)值隨著位置的不同而改變.選取如下Lyapunov函數(shù):

    和相應(yīng)的集合Ωk={x ∈?n|Vk(x1,···,xk)≤N}.由定義可知,Ωk?Ωk-1成立.

    根據(jù)ξk的定義,由引理1-2可得

    其中κk是與ai和bi有關(guān)的正常數(shù),i=1,···,k-1.

    由假設(shè)1可知,p1≥···≥pk成立.因此,根據(jù)引理1-2可得

    其中hk,1(·)≥0是一個只和上下界有關(guān)的連續(xù)函數(shù),.

    將式(11)-(12)代入式(10)中,可得

    由p1≥···≥pk知,Vk是一個關(guān)于x1,···,xk正定且徑向無界的函數(shù),從而x1,···,xk在Ωk上有界.由于hk,1(·)關(guān)于x1,···,xk連續(xù),則hk,1(·)在Ωk上有界,即是一個常數(shù).

    歸納部分證明完畢.

    步驟n根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知,式(14)在k=n時仍然成立.故存在一個線性控制器

    其中:Lyapunov函數(shù)

    集合Ωn?{x ∈?n|Vn(x1,···,xn)≤N}滿足Ωn?···?Ω1.因此,由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(15)在集合Ωn上是局部漸近穩(wěn)定的.

    綜合考慮系統(tǒng)(1)和標稱系統(tǒng)(5)的關(guān)系,可得在控制器(15)作用下,Lyapunov函數(shù)Vn關(guān)于系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)為

    由假設(shè)1-3可知qi>pi≥pi+1≥···≥pn,則不等式(17)中的非線性項可估計為

    其中R(·)≥0是關(guān)于x1,···,xn的連續(xù)函數(shù).

    由于Lyapunov函數(shù)Vn關(guān)于x1,···,xn是正定且徑向無界的,因此通過恰當選取N,使得?x ∈Ωn,R(·)成立.結(jié)合式(17)可知

    進而可得閉環(huán)系統(tǒng)(1)-(15)在集合Ωn上是局部漸近穩(wěn)定的.

    4 全局飽和控制器設(shè)計

    本節(jié)將進一步考慮非線性系統(tǒng)(1)的全局漸近鎮(zhèn)定問題.將設(shè)計的控制器(15)與飽和函數(shù)

    相結(jié)合,得到如下飽和控制器:

    首先引入下列引理,該引理的證明將在附錄中給出.

    引理3對于閉環(huán)系統(tǒng)(1)-(20),若系統(tǒng)狀態(tài)滿足,j=i+1,···,n,則存在式(21)中定義的αi(β1,···,βi)和0 <?1<1,使得對于任意的0 <? ≤?1,如下不等式成立:?i=1,···,n,

    在引理3的基礎(chǔ)上,如下定理給出了本文的主要結(jié)論.

    定理1在假設(shè)1-3的條件下,存在充分小的? ∈(0,?1],使得飽和控制器(20)能夠全局鎮(zhèn)定非線性系統(tǒng)(1).

    證上一節(jié)給出了系統(tǒng)(1)在集合Ωn中局部鎮(zhèn)定的結(jié)論.如果能夠證明在飽和控制器(20)作用下,系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過一段時間后能夠進入并永遠停留在集合Ωn中,則系統(tǒng)(1)全局穩(wěn)定的結(jié)論自然成立.因此,該定理的證明分為如下兩步:

    首先,利用歸納法證明當βi滿足式(21)時,飽和控制器(20)能夠使得系統(tǒng)狀態(tài)依次收斂到一個由?決定的小區(qū)域內(nèi).

    步驟1證明存在時刻t1>0,使得?t ≥t1,

    成立.為了得到這個結(jié)論,首先利用反證法證明存在時刻t1>0,使得

    由un-1的定義可知,從而?t >0,

    當時間趨近于無窮大時,上式中的xn(0)-μn?t將會趨近于負無窮大,式(26)導(dǎo)致矛盾.從而,

    不成立.類似可得負的情形也不成立,因此?t1>0,使得式(23)成立.

    接下來同樣利用反證法證明?t ≥t1,

    從而由引理3可知

    結(jié)合式(29)-(31)可知

    根據(jù)式(21)中βn可得μn-?pn-1-1αn-1(·)>0,從而矛盾.因此,式(27)中正的情形不成立.利用類似的方法可以證明,式(27)中負的情形也不成立.故存在一個時刻t1>0,對于任意的t ≥t1,有|xn(t)-un-1(t)|<?,即

    Xn(t)∈Qn={Xn(t):|xn(t)-un-1(t)|<?}.

    步驟i假設(shè)存在時刻0 ≤t1≤···≤ti-1,使得?t ≥ti-1,有

    現(xiàn)要證明上式在j=n-i+1時仍成立.按照步驟1中的證明過程,首先證明?ti≥ti-1,使得

    利用反證法,假設(shè)上式不成立,則?t ≥ti-1有

    為了證明的完整性,這里考慮式(33)中負的情況,即

    根據(jù)引理1,給出如下估計:

    其中cn-i+1=bn-i+1(2bn-i+1-2+1).

    將式(37)代入式(36)中,可知?t ≥ti-1,

    根據(jù)式(21)中βi's的取值可知μn-i+1>0.因此,由式(38)可得?t ≥ti-1,

    其中?t ≥ti-1.類似于式(26),當時間t趨近于無窮大時,上述不等式變成,矛盾.因此,式(35)不成立.對于正的情形,可參照第1步的證明過程.故必然存在時刻ti使得式(33)成立.

    接下來,同樣利用反證法證明?t ≥ti,有

    因此,根據(jù)引理3得

    結(jié)合式(41)-(42)以及式(44),可知

    由式(21)中βi's的取值可得μn-i+1-αn-i(·)>0,從而矛盾.故式(41)中負的情形不成立,同理可證明正的情形不成立.

    綜上可知,存在一個時刻ti≥ti-1,使得?t ≥ti,|xj(t)-uj-1(t)|≤?成立,j=n-i+1,···,n.

    步驟n根據(jù)上述證明過程,由數(shù)學(xué)歸納法可知,存在時刻tn-1≥···≥t1≥0,使得?t ≥tn-1,

    由引理3可知|φ1(·)|≤?p1,?t≥tn-1.此外,由引理1-2可得

    其中c1=b1(2b1-2+1).

    則對于任意的t ≥tn-1,系統(tǒng)狀態(tài)x1不可能恒小于.

    綜合上述兩種情況可知,存在一個時刻tn≥tn-1使得當?t ≥tn時,.因此,在時刻tn之后,系統(tǒng)狀態(tài)Xn(t)將會進入并一直停留在區(qū)域Q中,

    從Q的定義可知,區(qū)域Q的大小由飽和度?決定.此外,由第2節(jié)可知閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(15)在區(qū)域Ωn上局部漸近穩(wěn)定.故通過恰當選取參數(shù)?滿足集合Q?Ωn,可得在tn時間之后,系統(tǒng)狀態(tài)停留在集合Q中,并且飽和控制器(20)將退變成非飽和控制器(15).同時,在控制器(15)作用下,系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到原點.因此,閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(20)是全局漸近穩(wěn)定的. 證畢.

    5 數(shù)值仿真

    本節(jié)將利用一個數(shù)值仿真例子來驗證定理1中所設(shè)計控制算法的有效性.

    例1考慮如下非線性系統(tǒng):

    其中p1是未知的冪指數(shù)并且滿足p1∈[1,2].通過計算可知,0 <0.5 ≤0.5+sin2x1≤1.5,從而滿足假設(shè)2.同理可驗證假設(shè)1和假設(shè)3均成立.因此根據(jù)定理1,利用未知冪指數(shù)p1的上下界可以設(shè)計出如下線性飽和控制器

    取β1=2,β2=12,,飽和函數(shù)的飽和度?=0.2.初始狀態(tài)為(x1(0),x2(0))=(0.5,-0.5).狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制曲線仿真結(jié)果如圖1-2所示.

    圖1 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State trajectories of the closed-loop systems (46)-(47)with p1=

    圖2 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的控制曲線Fig.2 Control trajectory of the closed-loop systems(46)-(47)with p1=

    此外,從控制器設(shè)計過程中可知,只要冪指數(shù)p1在[1,2]中取值,所設(shè)計的控制器u均可全局鎮(zhèn)定系統(tǒng)(46).為了驗證控制器的魯棒性,選取得到如圖3-4所示的仿真結(jié)果.在同樣的控制器(47)作用下,系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂至原點,這與理論分析的結(jié)果相一致.

    圖3 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 State trajectories of the closed-loop systems (46)-(47)with p1=

    圖4 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的控制曲線Fig.4 Control trajectory of the closed-loop systems(46)-(47)with p1=

    6 結(jié)論

    本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,給出了一種嵌套飽和控制器的設(shè)計方法.只要系統(tǒng)不確定性能夠限定在指定范圍內(nèi),該控制器能夠全局鎮(zhèn)定一類上三角非線性系統(tǒng).與現(xiàn)有結(jié)果對比,本文的創(chuàng)新點體現(xiàn)在:1)考慮由于建模不確定性引發(fā)的系統(tǒng)冪指數(shù)未知的情況,只利用已知的上下界設(shè)計出全局鎮(zhèn)定控制器,同時具有一定的魯棒性;2)除此之外,系統(tǒng)中含有更多的不確定非線性函數(shù),從而能夠涵蓋一類更廣的非線性系統(tǒng);3)與已有的齊次控制器[15]相比,設(shè)計的線性控制器具有更簡單的結(jié)構(gòu),便于在實際工程中的應(yīng)用.

    附錄 引理3的證明

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