一個(gè)基于線性回歸理論的結(jié)構(gòu)探傷算法

潘雨辰，譚欣，趙辰洋 （中國電建集團(tuán)華東勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 杭州 311100）

1 引言

如今結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測越來越受到行業(yè)的關(guān)注。工廠、商場及公路鐵路橋梁等建筑結(jié)構(gòu)承載重要使用功能，又受到日常的環(huán)境振動(dòng)影響。而這些振動(dòng)都將造成可見或不可見的結(jié)構(gòu)損傷，從而影響結(jié)構(gòu)的使用及安全。如何探測這些結(jié)構(gòu)損傷成了結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測的一個(gè)重要議題。如果將這些結(jié)構(gòu)損傷在細(xì)微時(shí)就探測出來，那么就可以避免重大經(jīng)濟(jì)損失以及人員傷亡。國內(nèi)外已有相當(dāng)多的基于結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征變化對結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行判斷的論文[1]。

本論文介紹的損傷探測方法的理論基礎(chǔ)為在結(jié)構(gòu)受到外力作用產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)處于彈性工作狀態(tài)，所有的節(jié)點(diǎn)的位移、速度以及加速度都可以用簡諧函數(shù)的線性疊加來表達(dá)[3]，無論是原狀態(tài)下還是受損狀態(tài)下，并且系統(tǒng)的阻尼為經(jīng)典阻尼。結(jié)構(gòu)的損傷將會(huì)帶來系統(tǒng)固有頻率等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的改變，從而改變原系統(tǒng)的線性組合系數(shù)。通過對比前后線性組合系數(shù)的不同以及改變幅度，可以判斷結(jié)構(gòu)損傷所在的大致位置，為結(jié)構(gòu)探傷提供可靠依據(jù)。

2 理論介紹

2.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的線性特征

在線彈性理論中，一個(gè)多自由度系統(tǒng)的某一陣型下的單一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可以表達(dá)為下式：

由此可以解出陣型n的振興坐標(biāo)。一旦得到陣型坐標(biāo)，陣型n的位移u(t)可以表達(dá)為：

將每個(gè)陣型的位移函數(shù)相加可以得到系統(tǒng)的位移函數(shù)：

系統(tǒng)中任一位置j的位移可以表達(dá)為：

由于實(shí)際試驗(yàn)操作中，由傳感器得到的數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù)，所以式(2.4)也可以表達(dá)為：

對公式兩邊取二階導(dǎo)數(shù)，得到節(jié)點(diǎn)的加速度方程為：

根據(jù)線性代數(shù)的一個(gè)定義：設(shè)有兩個(gè)n 維向量組 （I）α1，α2，α3，…，αn；（II）β1，β2，β3，…，βn，如果（I）中每個(gè)向量都可以由（II）線性表示，則稱向量組（I）可由向量組（II）線性表示；如果組（I）與組（II）是等價(jià)向量組。

假設(shè)向量組W1是向量的線性組合的集合，記為W1=L；同樣，假設(shè)向量組W2為向量的線性組合集合，記為W2=L。根據(jù)公式（1.6），可以得出以下公式：

任一節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)可以用同一系統(tǒng)中其他節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)的線性組合表示。

2.2 結(jié)構(gòu)損傷探測的特征值選取

基于對運(yùn)算量的綜合考慮，本文僅選用單變量線性回歸的擬合作為結(jié)構(gòu)損傷探測算法的基礎(chǔ)，即公式（1.9）等號左側(cè)僅取第一項(xiàng)用于擬合：

當(dāng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)損傷，如裂縫、磨損等，一般而言直觀的表現(xiàn)在于結(jié)構(gòu)剛度變化，相應(yīng)的，結(jié)構(gòu)固有圓頻率等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征也會(huì)改變，公式（1.2）將變?yōu)椋?/p>

此時(shí)的公式（1.11）也將變?yōu)椋?/p>

3 實(shí)驗(yàn)室模型

3.1 實(shí)驗(yàn)室模型設(shè)置

為驗(yàn)證這種基于傳感器簇?cái)?shù)據(jù)處理的結(jié)構(gòu)損傷指示算法的有效性，美國Lehigh大學(xué)ATLSS實(shí)驗(yàn)室建立一個(gè)成比例縮小的兩跨門式鋼架模型，用于進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)體結(jié)構(gòu)如圖1，力學(xué)簡圖如圖2所示。鋼框架上設(shè)置9個(gè)可替換模塊，每根柱子上一個(gè)，每根梁跨中一個(gè)、兩端各一個(gè)。同時(shí)設(shè)置21個(gè)傳感器，用于測量記錄框架振動(dòng)時(shí)，垂直于振動(dòng)方向的加速度。傳感器分為三組，分別為L（L1～L3設(shè)于左梁左端，L4～L6設(shè)于左柱）、C（C1～C3設(shè)于左梁右端，C4～C6設(shè)于右梁左端，C7～C9設(shè)于中柱）和R（R1～R3設(shè)于右梁右端，R4～R6設(shè)于右柱）三組。

為在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中模擬結(jié)構(gòu)損傷，實(shí)驗(yàn)室模型中設(shè)置了9個(gè)可替換模塊，可用如圖3所示，由兩端各6個(gè)螺栓與主體結(jié)構(gòu)連接。結(jié)構(gòu)上設(shè)置了共21個(gè)加速度傳感器，收集振動(dòng)試驗(yàn)中各節(jié)點(diǎn)垂直結(jié)構(gòu)方向的加速度數(shù)據(jù)。

圖1 等比例縮小兩跨門式鋼架實(shí)驗(yàn)室模型

圖2 兩跨門式鋼架結(jié)構(gòu)立面圖

為獲取模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以便作為實(shí)際數(shù)據(jù)的對照分析基準(zhǔn)，實(shí)驗(yàn)室將建立一個(gè)基于SAP2000結(jié)構(gòu)計(jì)算程序的二維門式框架模型，用于進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)。初步建立的SAP2000模型結(jié)構(gòu)構(gòu)件尺寸皆與實(shí)際實(shí)驗(yàn)室尺寸相同，所有連接及約束皆為固定約束。

實(shí)驗(yàn)時(shí)（實(shí)驗(yàn)室）輸入振動(dòng)裝置為MB Dynamic公司生產(chǎn)的MODEAL 50A馬達(dá)，置于門式框架最左側(cè)柱上端，可產(chǎn)生最大振幅±2g，最大頻率200Hz的水平簡諧振動(dòng)。

圖3 可替換結(jié)構(gòu)示意圖

3.2 計(jì)算機(jī)模擬模型

由于計(jì)算機(jī)模擬模型主要用于模擬實(shí)驗(yàn)室振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，故而需確保模擬模型經(jīng)由相同輸入振動(dòng)后，可產(chǎn)生基本一致的輸出，即確保模擬模型的動(dòng)力學(xué)特征與實(shí)驗(yàn)室模型基本一致。由引用前期實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[4]分析得出結(jié)果，實(shí)驗(yàn)室模型的前三振型的自振頻率為13.66Hz（第一振型）、21.95Hz（第二振型） 以及31.58Hz（第三振型）。

4 單變量線性回歸

4.1 結(jié)構(gòu)理論

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，當(dāng)系統(tǒng)受簡諧荷載做受迫運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有的節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)可以表示為

將公式（3.1）帶入公式（1.6）可得：

用系統(tǒng)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)也是可行的，公式整理如下：

考慮到實(shí)際情況中的單變量線性回歸會(huì)有實(shí)驗(yàn)誤差的影響，擬合公式應(yīng)考慮誤差常數(shù)項(xiàng)：

4.2 損傷指標(biāo)

若大于π/2，則取其補(bǔ)角。

5 計(jì)算機(jī)模型模擬實(shí)驗(yàn)

在做實(shí)際的實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)之前，先SAP2000有限元計(jì)算軟件建立一個(gè)與實(shí)驗(yàn)室模型有相同結(jié)構(gòu)尺寸以及動(dòng)力學(xué)特性（固有頻率及水平向剛度）的模型。未損傷的模型中，構(gòu)件為箱型截面，壁厚21.6mm。而在損傷的模型中，相應(yīng)部分的箱型截面壁厚削弱為16.5mm，損傷部位設(shè)置在左梁以及左柱上，如圖4所示。

圖4 左柱及左梁受損案例

5.1 無環(huán)境噪音輸入案例

首先，案例中僅在鋼架上端輸入一個(gè)頻率為16Hz，振幅為1g的水平振動(dòng)荷載，分別加載在未損傷以及受損傷的結(jié)構(gòu)上，而后導(dǎo)出SAP2000模型的輸出數(shù)據(jù)，采用前文所述算法進(jìn)行計(jì)算，并判斷受損傷的位置，看是否與實(shí)際受損位置相符。

計(jì)算后的結(jié)果如圖5所示。

圖5 計(jì)算機(jī)無環(huán)境噪音16Hz振動(dòng)荷載案例

從結(jié)果可以清楚看出，與對照指標(biāo)相比，L組（即左梁左柱）節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的損傷指標(biāo)，明顯高于其余組的損傷指標(biāo)。此案例中，這一基于線性回歸的結(jié)構(gòu)損傷算法，準(zhǔn)確判斷出了預(yù)先設(shè)定的結(jié)構(gòu)損傷部位。

5.2 5%環(huán)境噪音輸入案例

由于實(shí)際建筑結(jié)構(gòu)在處于使用狀態(tài)時(shí)，會(huì)長期處于環(huán)境振動(dòng)中。為了保證算法在可能的環(huán)境振動(dòng)影響下，不會(huì)被影響其準(zhǔn)確性，所以計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的第二步中，在純粹的16Hz振動(dòng)荷載中加入了-5%～5%的隨機(jī)噪音。輸入荷載及噪音如圖6所示。

圖6 16Hz輸入荷載及噪音

此案例的分析結(jié)果如圖7所示。

由圖7可以看出，①損傷所在部位節(jié)點(diǎn)的損傷指標(biāo)都明顯高于相應(yīng)位置的控制指標(biāo)；②未損傷部位的損傷指標(biāo)與控制指標(biāo)無明顯區(qū)別。由此可以得出結(jié)論，結(jié)構(gòu)損傷所在位置附近節(jié)點(diǎn)的損傷探測指標(biāo)，受環(huán)境振動(dòng)噪音的影響不明顯，還是可以有效指出損傷所在位置，而未損傷部分的損傷指標(biāo)容易被環(huán)境噪音影響，表達(dá)的是隨機(jī)振動(dòng)造成的線性回歸擬合誤差。

圖7 計(jì)算機(jī)5%環(huán)境噪音16Hz振動(dòng)荷載案例

6 實(shí)驗(yàn)室模型模擬實(shí)驗(yàn)

在經(jīng)過計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證探傷算法的初步有效性之后，實(shí)驗(yàn)室繼續(xù)在實(shí)體鋼結(jié)構(gòu)模型上進(jìn)行了相同輸入和損傷位置的實(shí)驗(yàn)，并將用傳感器采集到的數(shù)據(jù)用本文所討論的算法進(jìn)行處理。將處理后所顯示的損傷部位與實(shí)際損傷部位進(jìn)行對比，以驗(yàn)證探傷算法的準(zhǔn)確性。

6.1 無環(huán)境噪音輸入案例

第一個(gè)案例是16Hz的簡諧振動(dòng)荷載，不考慮進(jìn)行噪音的處理。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)構(gòu)如圖8所示。

由圖8可以看出，L組的損傷指標(biāo)總體明顯高于C組，以及R組的損傷指標(biāo)，可以判斷損傷處于L組傳感器所在范圍，即左梁左柱上。另外，通過與圖5進(jìn)行對比可以看出，實(shí)驗(yàn)室中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由于實(shí)際操作中的誤差以及實(shí)驗(yàn)室環(huán)境的影響，并不如計(jì)算機(jī)模擬中的數(shù)據(jù)精準(zhǔn)，所以總體而言損傷指標(biāo)都較大，如果沒有與其他組數(shù)據(jù)橫向?qū)Ρ?，只看指?biāo)的絕對大小，無法判斷損傷存在的部位。

圖8 實(shí)驗(yàn)室無環(huán)境噪音16Hz振動(dòng)荷載案例

6.2 5%環(huán)境噪音輸入案例

第二個(gè)案例中，在輸入的16Hz的簡諧振動(dòng)荷載中也加入了5%的環(huán)境噪音。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)構(gòu)如圖9所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)室5%環(huán)境噪音16Hz振動(dòng)荷載案例

由圖9可以看出，這一案例中基本可以判斷，結(jié)構(gòu)損傷部位在L組傳感器所處范圍，即左梁和左柱上，這也符合實(shí)際損傷部位的設(shè)置。而通過圖8與圖9的對比可以看出，附加的5%隨機(jī)環(huán)境振動(dòng)并沒有起到太大的作用，即可以判斷實(shí)際探傷過程中的誤差，以及環(huán)境干擾要遠(yuǎn)大于5%，而這一探傷算法，可以克服較大的實(shí)驗(yàn)不確定因素的影響。

7 結(jié)論與研究前景

7.1 結(jié)論

文章所討論的基于線性回歸理論的結(jié)構(gòu)探傷算法，在實(shí)驗(yàn)?zāi)M中可以較為準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)模型中結(jié)構(gòu)有損傷的位置范圍。并且這種算法，可以克服一定的環(huán)境不確定因素的影響。雖然只看損傷指標(biāo)的絕對值，并不能說明損傷探測的位置或者結(jié)構(gòu)的受損程度，但是通過不同位置的損傷指標(biāo)間的相互對比，可以看出損傷位置。這也說明了，這一算法應(yīng)用的基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)上的全范圍傳感器分布及數(shù)據(jù)收集。如果只有小范圍的傳感器布置，則會(huì)影響到本文算法的探傷效果。

7.2 研究前景

①由于本實(shí)驗(yàn)僅適用了單變量的線性回歸擬合，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中由于測量誤差以及結(jié)構(gòu)連接性質(zhì)等的影響，擬合效果并不十分理想。后期可以考慮多變量擬合，采用兩個(gè)傳感器采集的數(shù)據(jù)來擬合第三個(gè)傳感器采集的數(shù)據(jù)，以確保擬合的準(zhǔn)確性。

②本次實(shí)驗(yàn)僅采用了16Hz簡諧振動(dòng)荷載，后期可以考慮采用不同頻率的簡諧振動(dòng)荷載，找尋輸入振動(dòng)的頻率與固有頻率的關(guān)系，以及對探傷結(jié)果的影響。

③減少傳感器的布置，探尋傳感器布置規(guī)律對于這一探傷算法的影響。