訂單成本與提前期相關(guān)下含次品的集成庫(kù)存模型*

□ 朱心怡，黃遠(yuǎn)良

(桂林理工大學(xué) 商學(xué)院,廣西 桂林 541004)

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量模型假設(shè)銷(xiāo)售商從供應(yīng)商訂購(gòu)運(yùn)輸來(lái)的產(chǎn)品是完全合格品，然而在實(shí)際中由于生產(chǎn)不完美或者運(yùn)輸顛簸等原因會(huì)造成訂購(gòu)批量中含有部分次品。Salameh等[1]最早構(gòu)建了一個(gè)訂購(gòu)批量中含有次品的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量模型，由于Salameh等[1]研究工作的突破性，后來(lái)研究者對(duì)該模型進(jìn)行了各個(gè)方面的擴(kuò)展研究。Hsu等[2]研究了允許庫(kù)存短缺且允許退貨下產(chǎn)品檢查存在誤差的次品經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量模型。Su[3]研究了短缺需求完全拖后下銷(xiāo)售商可延期支付貨款的次品集成庫(kù)存模型。Taleizadeh等[4]研究了庫(kù)存短缺期間顧客需求部分拖后下次品可修復(fù)的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量模型。Tiwari等[5]研究考慮碳排放下同時(shí)存在產(chǎn)品變質(zhì)與產(chǎn)品缺陷的庫(kù)存模型。Chen等[6]研究了庫(kù)存短缺下部分需求可用其他產(chǎn)品替代的次品庫(kù)存模型。

以上研究次品庫(kù)存的文獻(xiàn)均假設(shè)訂貨提前期為零，然而在實(shí)際中從銷(xiāo)售商發(fā)出訂貨申請(qǐng)到產(chǎn)品運(yùn)輸?shù)竭_(dá)銷(xiāo)售商庫(kù)存中需要一定的時(shí)間，這段提前期可長(zhǎng)可短，但可以通過(guò)業(yè)務(wù)流程重組等方法來(lái)壓縮提前期。Sarkar等[7]研究了延期支付下提前期可壓縮的次品集成庫(kù)存模型。黃遠(yuǎn)良等[8]研究了庫(kù)存短缺下訂購(gòu)批量采用抽檢方式且提前期與丟單率相關(guān)的次品庫(kù)存模型。Das等[9]研究了銷(xiāo)售商的延期支付貨款期限依賴次品率的集成生產(chǎn)庫(kù)存模型。Priyan等[10]研究了延期支付下通過(guò)投資降低訂購(gòu)成本且給予等待顧客一定的價(jià)格折扣的次品集成庫(kù)存模型。Tiwari等[11]研究了庫(kù)存短缺下通過(guò)投資降低生產(chǎn)啟動(dòng)成本且給予等待顧客一定的價(jià)格折扣的次品集成庫(kù)存模型。在文獻(xiàn)[11]中訂單成本與提前期是相互獨(dú)立的，然而在實(shí)際中使用電子數(shù)據(jù)交換(EDI)可以同時(shí)減小訂單成本與提前期，即他們是相關(guān)的。故本文將文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步推廣到訂單成本與提前期是相關(guān)的情形。

1 符號(hào)說(shuō)明與模型假設(shè)

符號(hào)說(shuō)明：D合格品的市場(chǎng)需求率，P供應(yīng)商產(chǎn)品生產(chǎn)率，S0供應(yīng)商初始生產(chǎn)啟動(dòng)成本，S供應(yīng)商投資后的生產(chǎn)啟動(dòng)成本，hb銷(xiāo)售商單位時(shí)間單位產(chǎn)品的庫(kù)存持有成本，hv供應(yīng)商單位時(shí)間單位產(chǎn)品的庫(kù)存持有成本，s產(chǎn)品檢查速率，Cs檢查成本，C0次品的處理成本，y次品率，Q銷(xiāo)售商訂購(gòu)批量，r銷(xiāo)售商再訂貨點(diǎn)，k安全庫(kù)存因子，L訂貨提前期，m運(yùn)輸次數(shù)，πx拖后價(jià)格折扣，A銷(xiāo)售商訂單成本，μ錯(cuò)誤接受次品的成本，μ0錯(cuò)誤拒絕合格品的成本，θ單位時(shí)間單位資金的機(jī)會(huì)成本，m1合格品歸為次品的概率，m2次品歸為合格品的概率，C(L)提前期趕工成本，β需求拖后率，β0最大的拖后折扣，π0邊際毛利潤(rùn)，σ提前期內(nèi)需求標(biāo)準(zhǔn)差。

2 模型構(gòu)建

2.1 銷(xiāo)售商單位時(shí)間成本

銷(xiāo)售商每次向供應(yīng)商發(fā)出的訂購(gòu)批量為Q，而供應(yīng)商每次生產(chǎn)mQ批量的產(chǎn)品，并分m次等批量運(yùn)輸?shù)戒N(xiāo)售商處。由于生產(chǎn)不完美或者運(yùn)輸顛簸等因素，銷(xiāo)售商接收到的訂購(gòu)批量Q中含有部分次品，次品率y是一個(gè)隨機(jī)變量。銷(xiāo)售商對(duì)全批量進(jìn)行檢查，而批量檢查也存在誤差，即把合格品歸為次品(Ⅰ型誤差)與次品歸為合格品(Ⅱ型誤差)，最后，實(shí)際的次品率為ye=(1-y)m1+(1-m2)y。記其期望為Ye=E[ye]=(1-E[y])E[m1]+(1-E[m2])E[y]，那么銷(xiāo)售商期望訂購(gòu)周期為Q(1-Ye)/D。

銷(xiāo)售商單位時(shí)間成本包括訂單成本、合格品與次品庫(kù)存持有成本、拖后成本、誤差成本、檢查成本、提前期趕工成本與次品處理成本，即

(1)

2.2 供應(yīng)商單位時(shí)間成本

供應(yīng)商單位時(shí)間成本包括投資降低生產(chǎn)啟動(dòng)成本的費(fèi)用、生產(chǎn)啟動(dòng)成本與庫(kù)存持有成本，即[11]

(2)

綜合以上分析可得到由單一供應(yīng)商與單一銷(xiāo)售商組成的集成庫(kù)存成本模型

(3)

(4)

當(dāng)訂單成本與提前期無(wú)關(guān)時(shí)本文模型(4)式就退化為文獻(xiàn)[11]的模型，即本文模型是文獻(xiàn)[11]的推廣。

3 模型分析

命題1 給定Q、S、k、πx與m，集成庫(kù)存成本函數(shù)JETCU是關(guān)于L的凹函數(shù)。

證明：求JETCU關(guān)于L的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，得到

(5)

(6)

命題2 給定S、k、πx、L與m，集成庫(kù)存成本函數(shù)JETCU是關(guān)于Q的凸函數(shù)。

證明：求JETCU關(guān)于Q的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，得到

(7)

(8)

(9)

那么最優(yōu)的Q*要滿足(9)式。

命題3 給定Q、S、πx、L與m，集成庫(kù)存成本函數(shù)JETCU是關(guān)于k的凸函數(shù)。

證明：求JETCU關(guān)于k的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，得到

(10)

(11)

(12)

那么最優(yōu)的k*要滿足(12)式。

命題4 給定Q、S、k、L與m，集成庫(kù)存成本函數(shù)JETCU是關(guān)于πx的凸函數(shù)。

證明：求JETCU關(guān)于πx的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，得到

(13)

(14)

(15)

命題5 給定Q、k、πx、L與m，集成庫(kù)存成本函數(shù)JETCU是關(guān)于S的凸函數(shù)。

證明：求JETEU關(guān)于S的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，得到

(16)

(17)

(18)

那么最優(yōu)的S*要滿足(18)式。

算法：

步驟1 令m=1,j=1。

步驟2 對(duì)每個(gè)Li，i=1,…,n；

2a令kj=0，πxj=0，Sj=S0；

2b把kj、πxj與Sj代入(9)式，計(jì)算得到Qj；

2c把Qi與πxj代入(12)式，計(jì)算得到kj+1；

2d把Qj代入(15)式，計(jì)算得到πxj+1；

2e把Qj代入(18)式，計(jì)算得到Sj+1；

2f把πxj+1、Sj+1與kj+1代入(9)式，計(jì)算得到Qj+1；

步驟6 若JETC(Q(m),k(m),πx(m),S(m),L(m),m)≤JETC(Q(m-1),k(m-1),πx(m-1),S(m-1),L(m-1),m-1)，則令m=m+1返回步驟2，否則轉(zhuǎn)到步驟7；

4 算例分析

表1 趕工成本與提前期的關(guān)系

表2 最優(yōu)解的計(jì)算過(guò)程

表3 參數(shù)對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的影響

表4 初始訂單成本對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的影響

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了銷(xiāo)售商訂單成本與提前期相關(guān)下存在產(chǎn)品檢查誤差的次品集成庫(kù)存模型，其中，供應(yīng)商通過(guò)投資來(lái)降低生產(chǎn)啟動(dòng)成本，而銷(xiāo)售商允許庫(kù)存短缺，在庫(kù)存短缺期間給予顧客一定的價(jià)格折扣，但對(duì)提前期需求僅知道其均值與方差。文章在構(gòu)建相應(yīng)的模型之后對(duì)其進(jìn)行了分析，給出了5個(gè)命題，并設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解最優(yōu)解。最后，考察主要參數(shù)對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的影響。結(jié)果顯示，當(dāng)考慮銷(xiāo)售商訂單成本與提前期相關(guān)時(shí)集成庫(kù)存成本會(huì)降低。本文可進(jìn)一步推廣到延期支付貨款、動(dòng)態(tài)定價(jià)等情形。