基于變步長梯形求積法的Volterra積分方程數(shù)值解

陳書坤，寧玉富

（山東青年政治學(xué)院 信息工程學(xué)院，山東 濟南 250103）

通常，微分方程需要附加初值條件或邊值條件，以形成定解條件；而積分方程本身已包含了初值或邊值信息，導(dǎo)致積分方程的解法和微分方程的解法有較大的不同。特別是在求方程的數(shù)值解時，積分方程往往較微分方程更容易、更直接。

1 線性Volterra積分方程

隨著計算機科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，積分方程的數(shù)值算法不斷涌現(xiàn)[1-10]。本文主要考慮第二類線性Volterra積分方程，其一般形式為：

方程中，k(x,t)和g(x)為已知函數(shù)，f(·)為未知函數(shù)。

當(dāng)被積函數(shù)沒有給出表達(dá)式，或者被積函數(shù)有表達(dá)式但原函數(shù)不是初等函數(shù)時，就必須通過數(shù)值積分的辦法將積分方程離散化，用所得到的方程去近似逼近原方程。在區(qū)間[a,b]上取若干節(jié)點，并將其分為N個小區(qū)間，式（1）中的積分項就可以用梯形求積公式來逼近。應(yīng)用梯形求積公式求解線性Volterra積分方程，后面節(jié)點處的誤差要比前面節(jié)點處的誤差大。為減少最后節(jié)點處的誤差，考慮使N個小區(qū)間的長度逐漸減小。本文提出了兩種變步長方法，并將所提方法結(jié)合算例進行驗證，與等步長相比，結(jié)果精度有一定的提高。

2 變步長的復(fù)化梯形求積法

2.1 復(fù)化梯形求積法

在區(qū)間[a,b]上取若干節(jié)點將其分為N個小區(qū)間，式（1）中的積分項就可以用梯形求積公式來逼近。假定方程（1）的解f(x)，g(x)，k(x,t)均為[a,b]區(qū)間的連續(xù)函數(shù)，并設(shè)節(jié)點為：

其中，hi(i=1,2,…,N)是步長，且：

將節(jié)點xi,i=0,1,2,…,N依次代入式（1），得：

式中，每個積分項用梯形求積公式可變?yōu)椋?/p>

其中，fi=f(xi),gi=g(xi),kij=k(xi,xj)。

2.2 變步長策略

應(yīng)用梯形求積公式求解線性Volterra積分方程，后面節(jié)點處的誤差要比前面節(jié)點處的誤差大。為減少最后節(jié)點處的誤差，考慮使N個小區(qū)間的長度逐漸減小。為此，提出如下變步長策略。

變步長1：步長h1,h2,…,hN為等差遞減數(shù)列，設(shè)公差為-d，即：hi－h(huán)i－1=d＞0，i=2,3,…,N，令最后步長為hN＝α，則：

將式（6）代入式（3），得：

由式（7）得最后步長，可表示為：

變步長2：步長h1,h2,…,hN為遞減等比數(shù)列，設(shè)步長hi=ke-λi，其中，常數(shù)k,λ＞0。將hi代入式（3）得：

給定參數(shù)λ，可由式（9）得k：

3 數(shù)值實驗

為了檢驗所提算法的有效性，針對算例進行數(shù)值實驗。所有相關(guān)計算在PC機（2.4 GHz CPU，4 G內(nèi)存）上用Matlab7.0編程實現(xiàn)。

用精確解和近似解間的絕對誤差（Absolute Error，AE）評價所提算法的精度，定義如下：

其中，f(xi)為未知函數(shù)f(x)在xi的精確解，而(xi)為未知函數(shù)f(x)在xi處用所提方法得到的近似解。

等步長和變步長的梯形求積法求解第二類線性Volterra積分方程的近似解，具體如表1所示。近似解的散點圖和精確解的曲線如圖1所示。由數(shù)值結(jié)果可知，所提變步長方法在后幾個節(jié)點近似解精度明顯優(yōu)于等步長方法在后幾個節(jié)點近似解精度，說明所提方法是可行的和有效的。

圖1 算例近似解與精確解的圖形

差誤解近似2(λ=0.11)長精確解長1(α=0.037)變步節(jié)點長結(jié)果比較差誤步長與變解步近似等表1 算例的步變確解精節(jié)點差誤解長等步近似精確解1.000 000 0 1.000 000 0 0.000 000 E+00 0.000 1.000 000 0 1.000 000 0 0.000 000 E+00 0.000 000 0 1.000 000 0 1.000 000 0 0.000 000 E+00 0.995 004 2 0.995 000 0 4.165 280 E-06 0.163 0.986 744 9 0.986 715 5 2.938 695 E-05 0.156 140 5 0.987 834 8 0.987 810 1 2.474 563 E-05 0.980 066 6 0.980 050 0 1.657 780 E-05 0.312 0.951 721 5 0.951 636 8 8.476 344 E-05 0.296 016 6 0.956 506 1 0.956 439 5 6.662 951 E-05 0.955 336 5 0.955 299 5 3.698 910 E-05 0.447 0.901 747 9 0.901 611 2 1.367 657 E-04 0.421 322 3 0.912 549 0 0.912 445 9 1.030 248 E-04 0.921 061 0 0.920 996 0 6.498 900 E-05 0.568 0.842 978 6 0.828 093 0 1.692 944 E-04 0.533 575 4 0.860 994 1 0.860 869 1 1.249 918 E-04 0.877 582 6 0.877 482 6 1.000 120 E-04 0.675 0.780 707 0 0.780 530 3 1.766 693 E-04 0.634 135 6 0.805 584 1 0.805 453 2 1.309 131 E-04 0.825 335 6 0.825 194 3 1.413 460 E-04 0.768 0.719 301 5 0.719 141 0 1.604 802 E-04 0.724 220 8 0.749 015 9 0.748 893 3 1.226 288 E-04 0.764 842 2 0.764 654 0 1.881 410 E-04 0.847 0.662 234 0 0.662 107 3 1.266 997 E-04 0.804 922 3 0.693 167 3 0.693 064 0 1.032 553 E-04 0.696 706 7 0.696 467 3 2.394 270 E-04 0.912 0.612 165 5 0.612 082 2 8.333 322 E-05 0.877 217 4 0.639 293 3 0.639 217 3 7.605 157 E-05 0.621 610 0 0.621 315 8 2.941 220 E-04 0.963 0.571 059 8 0.571 021 2 3.867 891 E-05 0.941 981 8 0.588 186 4 0.588 142 5 4.390 123 E-05 0.540 302 3 0.539 951 3 3.510 550 E-04 1.000 0.540 302 3 0.540 302 2 1.455 695 E-07 1.000 000 0 0.540 302 3 0.540 293 2 9.132 225 E-06節(jié)點0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

4 結(jié)語

針對變步長梯形求積公式求解線性Volterra積分方程時，后面節(jié)點處的誤差要比前面節(jié)點處的誤差大的缺點，本文提出了兩種變步長逐漸減小的方法。數(shù)值實驗驗證了所提變步長方法在后幾個節(jié)點近似解精度明顯優(yōu)于等步長方法在后幾個節(jié)點近似解精度，整體精度有提高，說明所提方法是可行的和有效的。