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    關(guān)于對(duì)偶對(duì)的Gorenstein平坦模及其維數(shù)

    2020-09-02 14:06:46何東林
    關(guān)鍵詞:隴南對(duì)偶維數(shù)

    何東林, 樊 亮

    (隴南師范高等??茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院, 甘肅 隴南 742500)

    引 言

    1 定義和引理

    設(shè)x是一個(gè)左R-模類,y是一個(gè)右R-模類,M為任意左R-模。

    定義1[12]稱M是Gorenstein (x,y)-平坦模,如果存在左R-模正合列

    X:…→X1→X0→X0→X1→…,

    用GF(x,y)表示所有Gorenstein (x,y)-平坦模組成的類。

    例1(1)對(duì)任意X∈x,有X∈GF(x,y)。

    (2)正合列X的每個(gè)核、像及余核均是Gorenstein (x,y)-平坦模。

    (3)如果x是平坦左R-模類F(R),y是內(nèi)射右R-模類I(R),則Gorenstein (x,y)-平坦模就是Gorenstein-平坦模。

    (4)如果x是平坦左R-模類F(R),那么Gorenstein (x,y)-平坦模與Gorensteiny-平坦模一致。

    引理1[12]設(shè)GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉,則以下條件等價(jià):

    定義2[12]稱(x,y)是一個(gè)對(duì)偶對(duì),如果滿足以下條件:

    (1)X∈x當(dāng)且僅當(dāng)X+∈y,其中X+=HomR(X,Q/Z)。

    (2)y關(guān)于直和因子和有限直和封閉。

    進(jìn)而,稱對(duì)偶對(duì)(x,y)是完備的,如果R∈x且x關(guān)于擴(kuò)張及直和因子封閉。

    引理2[14]如果(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),那么F(R)?x且I(R)?y。

    例2(1)(Fn,In)是一個(gè)完備對(duì)偶對(duì),其中Fn是平坦維數(shù)不超過(guò)n的左R-模組成的類,In是平坦維數(shù)不超過(guò)n的右R-模組成的類。

    (2) (Fn,FIn)是一個(gè)完備對(duì)偶對(duì),其中Fn是FP-內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)n的右R-模組成的類。

    (1)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

    0→M→X0→X1→…,其中Xi∈x。

    (3)存在左R-模正合列0→M→X→G→0,其中X∈x且G∈GF(x,y)。

    引理4設(shè)w是x的余生成子且v是y的生成子,x和y關(guān)于擴(kuò)張封閉,0→M′→M→M″→0是R-模正合列,則以下說(shuō)法成立:

    證明由文獻(xiàn)[12]中命題3.1易證。

    2 主要結(jié)果

    命題2設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),則以下條件等價(jià):

    (i)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

    0→M→X0→X1→…,其中Xi∈x。

    (v)存在左R-模正合列0→M→X′→G′→0,其中X′∈x且G′∈GF(x,y)。

    證明(i)?(ii)?(v)由引理3易證。

    (i)?(iv)設(shè)M是Gorenstein (x,y)-平坦模,則由定義1知存在左R-模正合列

    (1)

    定理1設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列,則

    (i)如果U,W∈GF(x,y),那么V∈GF(x,y)。

    (iii)如果V,W∈GF(x,y),那么U∈GF(x,y)。

    證明(i)設(shè)U,W∈GF(x,y)。因?yàn)镚F(x,y)是投射可解的,由文獻(xiàn)[12]中命題2.12知,GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉,所以V∈GF(x,y)。

    (iii)設(shè)V,W∈GF(x,y)。由V是Gorenstein (x,y)-平坦模及命題2可知,存在正合列0→G→X→V→0,其中X∈x且G∈GF(x,y)。構(gòu)造拉回圖,如圖1所示。

    圖1 U→V與X→V的拉回圖

    (2)

    定理2設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列,則

    (i)如果V∈GF(x,y),那么GF(x,y)-pd(W)≤GF(x,y)-pd(U)+1。

    (ii)如果U∈GF(x,y),那么GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(W)。

    證明(i)設(shè)V∈GF(x,y)。若GF(x,y)-pd(U)=+∞,則GF(x,y)-pd(W)≤GF(x,y)-pd(U)+1顯然成立。若GF(x,y)-pd(U)<+∞,不妨設(shè)x-GF(x,y)-pd(U)=n,則存在長(zhǎng)度為n的正合列

    0→Gn→…→G1→G0→U→0

    (3)

    其中Gi∈GF(x,y)(i=0,1,…,n)。將式(3)與(ε)拼接可得正合列

    0→Gn→…→G1→G0→V→W→0

    (4)

    其中Gi∈GF(x,y)且V∈GF(x,y)。從而GF(x,y)-pd(W)≤n+1 =GF(x,y)-pd(U)+1。

    (ii)設(shè)U∈GF(x,y)。若GF(x,y)-pd(W)=+∞,則不等式顯然成立。若GF(x,y)-pd(W)<+∞,不妨設(shè)GF(x,y)-pd(W)=m,由文獻(xiàn)[12]中定理2.16知,存在正合列0→K0→X0→W→0,其中X0∈x且GF(x,y)-pd(K0)=m-1。構(gòu)造拉回圖,如圖2所示。

    圖2 V→W與X0→W的拉回圖

    在中間行正合列0→U→H→X0→0中,U,X0∈GF(x,y)且GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉,可見(jiàn)H∈GF(x,y)。又因?yàn)閳D2中間列正合列0→K0→H→V→0中,GF(x,y)-pd(K0)=m-1,所以GF(x,y)-pd(V)≤m-1+1=m,即GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(W)。

    定理3設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列,如果W∈GF(x,y)且(ε)在HomR(x,-)下正合,那么GF(x,y)-pd(U)=GF(x,y)-pd(V)。

    證明設(shè)W∈GF(x,y)且(ε)在HomR(x,-)下正合。

    先證不等式GF(x,y)-pd(U)≤GF(x,y)-pd(V)。若GF(x,y)-pd(V)=+∞,則不等式顯然成立。若GF(x,y)-pd(V)<+∞,不妨設(shè)GF(x,y)-pd(V)=n。當(dāng)n=0時(shí),V是Gorenstein (x,y)-平坦模。由W∈GF(x,y)及定理1可知,U∈GF(x,y)??梢?jiàn)GF(x,y)-pd(U)=0≤GF(x,y)-pd(V),不等式成立。當(dāng)n≥0時(shí),存在長(zhǎng)度為n的正合列

    0→Gn→Xn-1→…→X1→X0→V→0

    (5)

    其中Xi∈x且Gn∈GF(x,y)。令K0=Ker(X0→V),顯然GF(x,y)-pd(K0)=n-1。構(gòu)造拉回圖,如圖3所示。

    圖3 U→V與X0→V的拉回圖

    在正合列0→H→X0→W→0中,X0∈x且W∈GF(x,y),由命題1可得H∈GF(x,y)??紤]圖3中第一列正合列0→K0→H→U→0,因?yàn)镚F(x,y)-pd(K0)=n-1且H∈GF(x,y),所以GF(x,y)-pd(U)≤n-1+1=n,即GF(x,y)-pd(U)≤GF(x,y)-pd(V)。

    再證GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(U)。若GF(x,y)-pd(U)=+∞,則不等式顯然成立。若GF(x,y)-pd(U)<+∞,不妨設(shè)GF(x,y)-pd(U)=m。對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng)m=0時(shí),由GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉易知GF(x,y)-pd(V)=0,可見(jiàn)結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)于m-1成立,下面討論對(duì)于m的情形。由文獻(xiàn)[12]中定理2.16知,存在長(zhǎng)度為m的正合列

    (6)

    圖4 交換圖

    綜上所述,GF(x,y)-pd(U)=GF(x,y)-pd(V)。

    定理4設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),則x是GF(x,y)的生成子和余生成子。

    證明對(duì)任意左R-模M∈GF(x,y),根據(jù)定義3可得,存在左R-模正合列

    X:…→X1→X0→X0→X1→…,

    (7)

    0→M′→X0→M→0和0→M→X0→M″→0,其中X0,X0∈x。又由例1中(2)可知,M′∈GF(x,y)且M″∈GF(x,y)。因此x是GF(x,y)的生成子和余生成子。

    推論1設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì),0→M′→M→M″→0是R-模正合列,則

    證明根據(jù)定理4、引理4以及完備對(duì)偶對(duì)的定義可證。

    3 結(jié)束語(yǔ)

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