考慮駕駛員預測特性的帶有上匝道的宏觀交通流模型

翟 聰，巫威眺

(1.佛山科學技術學院交通與土木建筑學院,廣東佛山528000；2.華南理工大學土木與交通學院，廣州510640)

0 引 言

隨著汽車保有量的增加，交通擁擠和交通安全問題變得日益嚴峻，為有效改善交通現(xiàn)狀，學者們提出眾多交通管理與控制策略，如公交優(yōu)化調度策略[1]和車輛控制策略[2].為深入理解交通擁擠形成的原因，學者們相繼提出各類交通流模型，包括以元胞自動機模型、跟馳模型為代表的微觀交通流模型[3-7]；以連續(xù)模型為主的宏觀交通流模型[8-10].考慮到微觀交通流模型注重車輛個體的描述，當?shù)缆奋囕v數(shù)較多，研究因素較為復雜時會導致模型不易求解；宏觀交通流模型僅需要求解幾個參量構成的偏微分方程或方程組，不受車輛數(shù)限制，計算時間較少，且注重道路車流整體影響，結合微觀和宏觀模型的優(yōu)點，并對兩類模型的缺點進行互補，1998年，日本學者Natagani[11]提出格點流體動力學模型，描述單車道上交通流的演化過程.自此，格點流體動力學模型成為宏觀交通流理論分析的熱點，諸多研究基于此模型進行改進，以分析不同因素對交通流的影響[12-17].

上述各類改進模型都假設道路是封閉的，即不存在匝道的影響，實際上，高速公路路段存在著很多入口匝道，其余道路上的車輛可以由入口匝道匯入主路，高速公路入口匝道車流對高速公路主路車流存在較大影響.2015年，孫棣華等[18]提出帶有入口匝道的格點交通流模型；王濤[19]分析主線雙車道上交通擁擠演化模式；在未來車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，文獻[20-21]指出駕駛員能夠準確獲取道路上車輛的具體信息，對下一時刻道路交通狀態(tài)進行有效預測.然而，在考慮有匝道影響的格點流體動力學模型下，卻鮮有涉及對駕駛員預測性的深入研究.為此，本文構造考慮有匝道效應和駕駛員預測性的新格點流體動力學模型，分析匝道流率和駕駛員預測時長對交通流穩(wěn)定性的影響.一方面可以對研究高速公路入口匝道處交通擁堵成因進行理論分析；另一方面，也可以對高速公路入口匝道處交通擁堵形成和傳播進行再現(xiàn).

1 模型建立

1998年，學者Natagani[11]給出最初版本的格點流體動力學模型，表達式為

式中：ρj(t)和qj(t)分別為格點j在t時刻的瞬時密度和流量值；ρj-1分別為格點j和后方格點j-1處的瞬時密度；ρ0為平均密度；a為駕駛員靈敏度值；V(·)為最優(yōu)速度函數(shù)，其函數(shù)表達式為

式中：vmax和ρc分別為最大速度和臨界安全密度.

式(1)是守恒方程，式(2)是運動方程.

隨著交通智能化的發(fā)展，駕駛員能夠獲取更多的周圍車輛信息，這些信息有助于駕駛員充分了解當前道路交通狀況，作出準確的預測.為研究駕駛員預測性對交通流穩(wěn)定性的影響，Wang[20]在Natagani[11]模型基礎上改進，提出新的格點模型，其中模型的守恒方程保持不變，在運動方程中引入預測項，公式為

式中：τ0為駕駛員的預測時間為前方格點j在未來預測時間t+τ0下的密度與當前時間t下的密度差值；β為權重項.模型中最優(yōu)速度V(·)不僅與格點j在t時刻的密度相關，還與未來時間段內密度變化有關.

以往研究對駕駛員的預測性進行分析，主要是在單車道、雙車道條件下，沒有分析匝道上匯入流量對交通流的影響，文獻[18，19]論證高速公路匝道流量對主路車流穩(wěn)定性存在顯著影響.為此，本文提出考慮有入口匝道和駕駛員預測性影響的新格點流體動力學模型.新模型的運動方程與式(4)一致，在守恒方程中引入入口匝道流量影響.圖1為一類主線上帶有匝道匯入的路段示意圖.

圖1 帶匝道的交通系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic of on-ramp traffic system

圖1中，路段A為主路，路段B為匝道(引道)，當匝道B的車流匯入主路A時，使得主路上格點j處的密度要高于后方j-1處的密度，因此，格點j處的交通流入量定義為新模型的守恒方程為

式中：γ為格點j處的匝道流入率為無維量綱變量.

為便于后續(xù)分析，對ρj+1(t+τ0)進行泰勒展開，同時忽略高階非線性項，為此轉化為

將式(6)帶入式(4)，可得

綜合式(7)和式(5)，消除中間變量qj(t)，同時，為便于閱讀，在每個表達式中省略時間變量t，得到

2 線性穩(wěn)定性分析

假設系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，即初始密度為ρ0，最優(yōu)速度V(ρ0)，可知穩(wěn)定狀態(tài)的解為

假定yj(t)為穩(wěn)定狀態(tài)下的微小擾動，為此，格點j的密度為

將式(10)帶入式(8)，則變?yōu)?/p>

進一步的，將式(13)帶入式(12)可得關于(ik)2的二階項系數(shù)為

如果z2為負值，則上述均勻交通流變?yōu)椴环€(wěn)定交通流，因此，中性穩(wěn)定條件可以由z2=0 給出，即

綜上所述，得到交通流的穩(wěn)定性條件為

當β=0或τ0=0時，式(16)穩(wěn)定性條件退化為

此結論與文獻[18]的結論一致.進一步，當γ=0，式(17)與Natagani 格點模型的結論一致，具體為

因此，本文的結論可視為上述文獻[10,18]結論的一般化形式.

3 非線性穩(wěn)定性分析

為研究中性穩(wěn)定曲線附近交通擁堵的演化情形，引入空間變量j和時間變量t，在ε滿足0＜ε ＜1下定義慢變量X和T.

式中：b為待定常數(shù).設密度ρj為

將式(19)和式(20)帶入式(8)，并展開至ε的5階項，得到

為得到標準的mKdV方程，做變換為

將式(23)帶入式(22)，可得含有校正項的mKdV方程為

忽略其中校正項，對式(24)mKdV 方程求解，得扭結—反扭結解為

為獲取扭結—反扭結解的傳播速度，必須滿足條件為

求解式(26)，得到關于密度波的傳播速度為

綜上，可得扭結—反扭結密度波解為

扭結—反扭結密度波解表示共存相，包含低密度區(qū)域的自由流運動相和高密度區(qū)域的阻塞相，自由流運動相的密度為ρ=ρc-A，阻塞相的密度為ρ=ρc+A.圖2為不同參數(shù)下密度—靈敏度的相位圖，由圖2可知：隨著參數(shù)γ不斷增大，即匝道匯入車流流率加快，臨界點逐漸上升，表明主線交通流的穩(wěn)定性區(qū)域被壓縮，即穩(wěn)定性變差；相反，隨著參數(shù)τ0不斷增大，駕駛員的預測時間變長，臨界點逐漸下降，即主線車流穩(wěn)定性進一步增強.

為進一步探究參數(shù)γ、τ0與臨界點ac之間的關系，圖3、圖4分別從二維、三維角度量化三者之間的關系.由圖3可知，參數(shù)γ與臨界點ac呈現(xiàn)正比例關系；參數(shù)τ0與臨界點ac表現(xiàn)出完全相反的趨勢，圖4從三維角度驗證上述的結論.

4 仿真算例

為驗證上述理論分析的結論，本文在周期性邊界條件下，對式(12)進行如下的仿真分析，其中，駕駛員的靈敏度系數(shù)a=2，平均密度ρ0=0.25，數(shù)值模型的初始條件設置為

其中，Δρ=0.05，N=100.

圖2 在不同參數(shù)下中性穩(wěn)定曲線和共存曲線的演化情況Fig.2 Evolution of neutral curve and coexist curve under different parameters

圖3 在不同參數(shù)下臨界靈敏度的取值情況Fig.3 Critical sensitivity against with different parameters

圖4 不同參數(shù)對(γ,τ0)下臨界靈敏度取值情況Fig.4 Sensitivity of critical points under different situations(γ,τ0)

圖5為在t=104s后不同參數(shù)γ下的密度時空演化圖，由圖5可知，交通流均演化成阻塞交通流，這是因為穩(wěn)定性條件(8)未滿足，為此初始干擾隨時間的演化波動幅度逐漸增大，最終演化成阻塞流.

圖6為圖5在t=10 300 s時刻下的瞬時密度分布情況.圖6中各子圖都存在著不同程度的波動幅度，其中，圖6(d)的密度波動幅度遠高于圖6(a)，因此，參數(shù)γ的增大會一定程度上加劇交通擁堵的出現(xiàn).

圖7為不同參數(shù)γ下格點j=50在時間區(qū)間t= 60 000～70 000 s 內磁滯回線曲線情況.通過判斷磁滯回線曲線所圍封閉區(qū)域面積的大小判斷交通流的穩(wěn)定性，一般的，所圍面積越大，表明交通流穩(wěn)定性越差.由圖7可知，隨著參數(shù)γ的不斷增大，所圍面積也逐漸增大.由圖5～圖7可知，參數(shù)γ對交通流的穩(wěn)定性存在顯著影響，且該影響是負向的.

圖8為在t=104s后在不同參數(shù)τ0下的密度時空演化圖.由圖8可知，由于穩(wěn)定性條件(8)未滿足，為此圖8(a)～(c)中交通流演化成阻塞交通流；當τ0=0.9時,上述穩(wěn)定性條件(8)得以滿足，圖8(d)中走停波幾乎消失，此時交通流重新恢復到均勻流.

圖5 在不同參數(shù)γ 下密度波隨時間的演化情況Fig.5 Evolution of traffic flow density under different parameter γ

圖6 在不同參數(shù)γ 下道路上各格點在t= 10 300 s時的瞬時密度分布情況Fig.6 Instantaneous distribution of traffic flow density with different values of parameter γ under t=10 300 s

圖9為圖8在t=10 300 s時刻下的瞬時密度分布情況.隨著參數(shù)τ0的不斷增大，密度震蕩幅度逐漸消失，在圖9(d)中密度震蕩幅度為0，此時交通流滿足穩(wěn)定.

圖7 不同參數(shù)γ 下新模型的磁滯回線曲線Fig.7 Hysteresis loop curve of new lattice model under different values of parameter γ

圖8 在不同參數(shù)τ0 下密度波隨時間的演化情況Fig.8 Evolution of traffic flow density under difference parameter

圖10為不同參數(shù)τ0下格點j=50在時間區(qū)間t= 60 000～70 000 s 內磁滯回線曲線情況.隨著參數(shù)τ0的不斷增大，磁滯環(huán)逐漸向內回縮，在圖10(d)磁滯環(huán)收斂于一點,綜合圖8～圖10可得，參數(shù)τ0對交通流的穩(wěn)定性存在顯著影響，且該影響是正向的.

圖9 在不同參數(shù)τ0 下道路上各格點在t=10 300 s時的瞬時密度分布情況Fig.9 Instantaneous distribution of traffic flow density with difference parameter τ0 under t=10 300 s

圖10 不同參數(shù)τ0 下新模型的磁滯回線曲線Fig.10 Hysteresis loop curve of new lattice model under difference parameter τ0

5 結 論

本文通過考慮駕駛員的預測時長和匝道流率對主路交通流的影響，構建新的格點流體動力學模型，基于線性穩(wěn)定性理論獲得新格點模型滿足穩(wěn)定的充分條件，同時基于非線性穩(wěn)定性分析方法獲得關于臨界點附近的mKdV 方程，通過求解該方程得到可用于描述交通擁擠演化特性的扭結-反扭結孤立波解，最后以仿真算例驗證理論分析的主要結論，即增大匝道流率系數(shù)γ會破壞交通流的穩(wěn)定性，而駕駛員的預測時間τ0與交通流穩(wěn)定性呈現(xiàn)正比例關系，參數(shù)τ0越大，交通流的穩(wěn)定性越強，交通擁堵越不可能發(fā)生.因此，參數(shù)γ、τ0對于高速公路主路交通流穩(wěn)定具有重要影響.

本文研究仍存在一些可拓展之處，例如研究假定所有車輛是同質的，沒有分析車輛差異性的影響，因此后續(xù)研究可探究異質交通流；另外，研究主要基于仿真算例，缺乏實際數(shù)據(jù)進行驗證，未來將著重對這兩點問題進行深入研究.