“代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響

何聲清

“代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響

何聲清

（上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

以754名七~九年級(jí)學(xué)生為被試，考查其持有的“代表性啟發(fā)”對(duì)古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響機(jī)制．結(jié)果表明：（1）初中生概率認(rèn)知中的“代表性啟發(fā)”隨年級(jí)遞增呈現(xiàn)消退態(tài)勢(shì)；（2）男生持有的“代表性啟發(fā)”比女生程度更深；（3）學(xué)生持有的“代表性啟發(fā)”與其對(duì)古典概率的認(rèn)知之間存在顯著性負(fù)相關(guān)；（4）“代表性啟發(fā)”對(duì)學(xué)生古典概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階有顯著的消極影響，在學(xué)生進(jìn)行概率比較、概率計(jì)算時(shí)均產(chǎn)生直接干擾．對(duì)有效消除“代表性啟發(fā)”這類不良直覺提出3點(diǎn)建議：（1）僅依靠樣本空間概念的學(xué)習(xí)尚不足以有效消除“代表性啟發(fā)”；（2）只有掌握了概率的計(jì)算法則，學(xué)生才可能有效消除“代表性啟發(fā)”；（3）借助極端案例幫助學(xué)生造成認(rèn)知沖突，引導(dǎo)其在概率決策時(shí)摒棄主觀臆斷．

代表性啟發(fā)；古典概率；樣本空間；學(xué)習(xí)進(jìn)階；中介效應(yīng)

1 問題提出

概率素養(yǎng)（probability literacy）日漸成為大數(shù)據(jù)時(shí)代世界公民必備的一項(xiàng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]，例如Freudenthal數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)Lange在梳理“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”概念譜系時(shí)就明確將“不確定性”納入其中[2]．自20世紀(jì)80年代以來，諸如美國(guó)、加拿大、澳大利亞等歐美國(guó)家的教育部門陸續(xù)將概率內(nèi)容納入基礎(chǔ)教育階段的課程標(biāo)準(zhǔn)之中[3]．中國(guó)教育部于2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》也首次讓概率內(nèi)容“飛入尋常百姓家”[4]，并于2012年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中進(jìn)一步調(diào)整了其在各學(xué)段的認(rèn)知要求[5]．

中小學(xué)階段的概率內(nèi)容主要涉及古典概率（classic probability）和頻率概率（frequentist probability），其中古典概率是從理論出發(fā)的概率，它要求學(xué)生在理解隨機(jī)性概念的基礎(chǔ)上構(gòu)造樣本空間進(jìn)而進(jìn)行概率計(jì)算、概率比較等．Jones等人提出了一個(gè)描述兒童古典概率概念的發(fā)展框架，將該內(nèi)容解構(gòu)為樣本空間、事件的概率、概率比較及條件概率4個(gè)維度[6]．這不僅得到了國(guó)內(nèi)新近研究的支撐[7]，事實(shí)上當(dāng)前國(guó)際范圍內(nèi)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)于該部分內(nèi)容也大都有類似的解構(gòu)[3]．例如，美國(guó)《共同核心州立標(biāo)準(zhǔn)》（，簡(jiǎn)稱CCSSM）在七年級(jí)的課程目標(biāo)中明確提出“學(xué)會(huì)利用列表、樹形圖等手段計(jì)算復(fù)合事件的概率；理解復(fù)合事件中的樣本空間，并將其應(yīng)用到概率計(jì)算當(dāng)中”．

從學(xué)習(xí)進(jìn)階的邏輯來看，對(duì)隨機(jī)性概念的學(xué)習(xí)應(yīng)走在古典概率知識(shí)鏈的最前端，即首先要厘清必然事件和隨機(jī)事件．其次，學(xué)生需要認(rèn)識(shí)等可能性和樣本空間的概念，即能夠弄清隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果．最后，學(xué)生才能夠據(jù)此進(jìn)行概率計(jì)算、概率比較等．事實(shí)上，上述學(xué)習(xí)進(jìn)階假設(shè)也得到了已有研究的支撐．張?jiān)鼋艿热碎_展的“5~15歲兒童掌握概率概念的實(shí)驗(yàn)研究”表明：兒童的概率概念是按照“理解可能性→認(rèn)識(shí)樣本空間→認(rèn)識(shí)概率的相對(duì)大小→概率大小的定量化”的步次向前推進(jìn)的[8-9]．但也有新近的研究表明：理解樣本空間對(duì)兒童而言并非易事[10]，他們的概率概念更傾向于從“定性感知”向“定量計(jì)算”發(fā)展，即按照“認(rèn)識(shí)隨機(jī)性→定性認(rèn)識(shí)概率的相對(duì)大小→概率大小的整數(shù)表征→認(rèn)識(shí)樣本空間→概率大小的分?jǐn)?shù)表征”這一宏觀序列逐步進(jìn)階[11]．然而事實(shí)上，學(xué)生概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階并非總是如此順暢．他們?cè)诮佑|學(xué)校的概率課程前，已然具備了有關(guān)概率的非正式知識(shí)（informally acquired knowledge），這些非正式知識(shí)或多或少地影響他們對(duì)正式課程的學(xué)習(xí)[12]．因此即便在上述知識(shí)鏈中，兒童概率概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階也會(huì)不可避免地受到不良直覺或錯(cuò)誤觀念的影響．

“代表性啟發(fā)”（representativeness heuristic）就是學(xué)生概率認(rèn)知過程中的一個(gè)典型錯(cuò)誤觀念[13-15]，這也得到了新近數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究的證實(shí)[16]．Kahneman與Tversky較早地將“代表性啟發(fā)”界定為：人們?cè)诟怕蕸Q策時(shí)常常從結(jié)果的特征出發(fā)，傾向于認(rèn)為具有與“母體”（parent population）相似特征的結(jié)果更容易發(fā)生[17]．例如在“拋硬幣”試驗(yàn)中，若前5次拋出的結(jié)果都是“正面”，有人會(huì)認(rèn)為第6次拋出的結(jié)果更可能是“反面”，因?yàn)樗麄儍A向于認(rèn)為“正正正正正反”比“正正正正正正”更具有“一般性”．再例如，從裝有1個(gè)黑球和3個(gè)白球的不透明盒子里同時(shí)摸出2個(gè)球，有人會(huì)認(rèn)為“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”這種“混合結(jié)果”更加具有“一般性”，而“兩個(gè)恰好都是白球”則顯得十分“極端”或“特殊”，因此摸出前者的概率更大．新近一項(xiàng)有關(guān)學(xué)生概率比較策略的研究表明：在古典概率問題情境中，學(xué)生并非總是如預(yù)期那樣——即通過構(gòu)造樣本空間來計(jì)算概率并據(jù)此進(jìn)行概率比較，而是常常會(huì)訴諸各類不良直覺進(jìn)行決策[18]．這在上述兩個(gè)案例中也可見一斑．

那么，“代表性啟發(fā)”對(duì)學(xué)生古典概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階有多大程度的影響？影響機(jī)制是什么？研究著眼于上述兩個(gè)問題的探索，以期為古典概率內(nèi)容的教學(xué)提供有益參考．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 被試

采用分層隨機(jī)取樣，從山東省青島市辦學(xué)水平為“優(yōu)秀”“良好”及“一般”的3所學(xué)校抽取七~九年級(jí)被試共754名，其中七、八及九年級(jí)被試分別為276名、243名及235名，男生、女生分別為376名和375名（缺失3名被試性別信息）．

2.2 測(cè)查材料

2.2.1 古典概率測(cè)試

測(cè)試共涉及5個(gè)“摸球”問題．問題情境均是“在一個(gè)不透明的盒子里，有×個(gè)黑球、×個(gè)白球、×個(gè)綠球，它們除顏色外均相同．閉上眼睛，從盒子里同時(shí)摸出2個(gè)球”．之所以不再設(shè)計(jì)“摸出1個(gè)球”的問題，是由于高年級(jí)學(xué)生在該情境中的作答大都良好，常常出現(xiàn)“天花板效應(yīng)”[19]．借鑒前研究的經(jīng)驗(yàn)，一方面通過控制“球的個(gè)數(shù)”“顏色種類”等變量對(duì)問題進(jìn)行遞進(jìn)設(shè)置[20]，一方面針對(duì)每個(gè)問題設(shè)計(jì)進(jìn)階式的概率任務(wù)[11]．具體而言，每個(gè)問題均涉及3個(gè)不同的概率任務(wù)：T1考查學(xué)生對(duì)樣本空間的認(rèn)知，T2考查學(xué)生對(duì)概率大小的定性比較，T3考查學(xué)生對(duì)概率大小的定量計(jì)算．需要特別指出的是：第一，研究者并未設(shè)計(jì)有關(guān)條件概率的任務(wù)．其原因在于，國(guó)內(nèi)外的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材鮮有觸及這一內(nèi)容，并且實(shí)證研究也已然表明它對(duì)于中小學(xué)生而言難度頗大[21]．第二，研究者并未設(shè)計(jì)有關(guān)隨機(jī)性概念的任務(wù)．其原因在于，在“摸球”游戲等概率問題中，中學(xué)生對(duì)于隨機(jī)性概念的理解已然達(dá)到頗高水平[19]．另需補(bǔ)充說明的是，盡管“樣本空間”的書面概念在高中時(shí)才正式提及，但初中教材中“用列舉法求概率”等內(nèi)容已然涉及到這一概念，只是未明確提及概念術(shù)語而已．

從知識(shí)邏輯上看，學(xué)生的概率概念是在“樣本空間→概率計(jì)算→概率比較”的序列中進(jìn)階的．以Q2為例，學(xué)生首先需要明晰摸出2個(gè)球的結(jié)果共有6種（任務(wù)1），即{兩個(gè)白球、兩個(gè)黑球、黑1白1、黑1白2、黑2白1、黑2白2}，它也叫做“基本事件”；其次需要分別計(jì)算“2個(gè)白球”和“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”的概率（任務(wù)3），即兩者的概率分別為1/6和4/6；最后根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，對(duì)兩者的概率進(jìn)行比較（任務(wù)2）．

值得提及的是，以往研究表明：學(xué)生在T1中常常遇到困難，原因一方面在于他們?nèi)狈Ρ匾慕M合知識(shí)[22]，一方面在于他們對(duì)基本事件的概念缺乏認(rèn)識(shí)[20]．仍以Q2為例，其基本事件為“黑1白1、黑1白2、黑2白1、黑2白2、黑1黑2、白1白2”，但以往研究表明：若不事先對(duì)各球進(jìn)行標(biāo)記，有92.6%的初中生會(huì)認(rèn)為“摸出2個(gè)球”共有3種可能的情況，即“1個(gè)黑球和1個(gè)白球、2個(gè)白球、2個(gè)黑球”．盡管在給出上述作答的學(xué)生中，有11.1%的學(xué)生能夠列舉所有可能的結(jié)果——只是在作答時(shí)未對(duì)其做出區(qū)分，但學(xué)生構(gòu)造樣本空間的能力總體并不樂觀[23]．鑒于上述考慮，為避免被試受到不必要干擾，研究者在任務(wù)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)插圖中相同顏色的球進(jìn)行了標(biāo)記．事實(shí)上，中國(guó)初中教材在“概率初步”內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)也作此處理[24]．任務(wù)設(shè)計(jì)詳見表1．

表1 古典概率測(cè)試的任務(wù)設(shè)計(jì)

2.2.2 “代表性啟發(fā)”問卷

“代表性啟發(fā)”問卷共設(shè)置了3個(gè)問題．采用5級(jí)Likert量表形式，被試根據(jù)問題描述對(duì)其認(rèn)可程度進(jìn)行評(píng)估．層級(jí)“1”~“5”按程度遞增依次表示“完全不同意”~“完全同意”．以Q1為例：

美國(guó)的Kelly太太先后生了6個(gè)孩子，她先后生出“男孩、女孩、女孩、男孩、女孩、男孩”的可能性比先后生出“男孩、男孩、男孩、男孩、女孩、男孩”的可能性更大．

持有“代表性啟發(fā)”的被試通常會(huì)認(rèn)為前者的概率更大，因?yàn)椤八瓷先ニ坪醺哂幸话阈裕阂环矫?，男孩和女孩個(gè)數(shù)相當(dāng)；另一方面，兩個(gè)性別的出生順序沒有明顯的規(guī)律，且不存在連續(xù)生出某個(gè)性別的極端情況”．被試認(rèn)可程度越高表明其“代表性啟發(fā)”這一不良直覺程度越深．

2.2.3 信度

2.3 研究方法

在數(shù)據(jù)收集階段，采用調(diào)查法進(jìn)行古典概率測(cè)試和“代表性啟發(fā)”測(cè)試，采用訪談法對(duì)個(gè)別被試進(jìn)行事后訪談．在數(shù)據(jù)分析階段，首先采用相關(guān)分析初步厘清關(guān)涉變量間的關(guān)系，其次采用路徑分析對(duì)“代表性啟發(fā)”在學(xué)生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階中的影響機(jī)制進(jìn)行深入探索．

2.4 研究假設(shè)及模型建構(gòu)

如前文所述，若從知識(shí)邏輯來看，學(xué)生的概率概念是在“樣本空間→概率計(jì)算→概率比較”的序列中進(jìn)階的．就研究所涉及的測(cè)查問題而言，在上述學(xué)習(xí)進(jìn)階過程中，“代表性啟發(fā)”對(duì)于學(xué)生樣本空間概念學(xué)習(xí)的理論上影響不大：因?yàn)閷W(xué)生構(gòu)造樣本空間時(shí)主要依賴其組合知識(shí)的發(fā)展．在概率計(jì)算和概率比較任務(wù)中，學(xué)生持有的“代表性啟發(fā)”則對(duì)學(xué)生的作答存在潛在影響：學(xué)生有可能放棄理論推演和計(jì)算策略，轉(zhuǎn)而訴諸“代表性啟發(fā)”做出決策．仍以Q2為例，即便學(xué)生在T1中能夠正確構(gòu)造樣本空間，但在T2中常常卻會(huì)做出“因?yàn)槊龅?個(gè)球都是白球太難了，摸出黑白搭配更加容易”的判斷．鑒于以上假設(shè)，將“代表性啟發(fā)”作為影響概率比較和概率計(jì)算的中介變量，分別構(gòu)建如下模型：

模型1．將“樣本空間”作為影響“概率比較”的直接變量（），將“代表性啟發(fā)”作為影響“概率比較”的中介變量（）．“樣本空間”對(duì)“概率比較”的直接效果（→）記為；“樣本空間”對(duì)中介變量的直接效果（→M）記為；中介變量對(duì)“概率比較”的直接效果（→）記為．

模型2．將“樣本空間”作為影響“概率計(jì)算”的直接變量（），將“代表性啟發(fā)”作為影響“概率計(jì)算”的中介變量（）．“樣本空間”對(duì)“概率計(jì)算”的直接效果（→）記為；“樣本空間”對(duì)中介變量的直接效果（→）記為；中介變量對(duì)“概率計(jì)算”的直接效果（→）記為．

模型3．將“概率計(jì)算”作為影響“概率比較”的直接變量（），將“代表性啟發(fā)”作為影響“概率比較”的中介變量（）．“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”的直接效果（→）記為；“概率計(jì)算”對(duì)中介變量的直接效果（→）記為；中介變量對(duì)“概率比較”的直接效果（→）記為．

對(duì)于上述模型均有：

3 結(jié)果與分析

3.1 初中生概率認(rèn)知中“代表性啟發(fā)”的表現(xiàn)

對(duì)各年級(jí)學(xué)生概率認(rèn)知中“代表性啟發(fā)”的表現(xiàn)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)．結(jié)果顯示：七~九年級(jí)學(xué)生“代表性啟發(fā)”的得分隨年級(jí)遞增逐級(jí)降低（七年級(jí)=2.58，=1.05；八年級(jí)=2.29，=1.05；九年級(jí)=2.03，=0.98）．Welch (2, 497.003)=18.722，＜0.001，表明不同年級(jí)間“代表性啟發(fā)”的得分存在顯著性差異．Dunnett T3多重比較顯示，各年級(jí)學(xué)生“代表性啟發(fā)”得分差異顯著（Δ七年級(jí)-八年級(jí)=0.29，＜0.01；Δ七年級(jí)-九年級(jí)=0.55，＜0.001；Δ八年級(jí)-九年級(jí)=0.26，＜0.05）．表明隨年級(jí)遞增，初中生概率認(rèn)知中的“代表性啟發(fā)”呈消退態(tài)勢(shì)．

對(duì)不同性別學(xué)生“代表性啟發(fā)”得分進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)．結(jié)果顯示：男生“代表性啟發(fā)”得分高于女生（男生=2.40，男生=1.08；女生=2.24，女生=1.01；Δ男生-女生=0.16），且上述差異達(dá)到顯著（=2.187，＜0.05，Cohen’s=0.153）．

3.2 關(guān)涉變量的描述性統(tǒng)計(jì)及相關(guān)分析

若不考慮人口學(xué)變量“性別”，學(xué)生“代表性啟發(fā)”的得分與其3個(gè)概率任務(wù)的得分之間均存在顯著性負(fù)相關(guān)（-0.261≤≤-0.211；所有＜0.001），學(xué)生3個(gè)概率任務(wù)的得分兩兩之間均存在顯著性正相關(guān)（0.497≤≤0.747；所有＜0.001），這符合理論預(yù)期和研究的假設(shè)．此外，學(xué)生性別與“代表性啟發(fā)”之間存在顯著性負(fù)相關(guān)（=-0.08，＜0.05），與各個(gè)概率任務(wù)得分之間均存在顯著性正相關(guān)（0.098≤≤0.127，所有＜0.01），在后續(xù)分析中將其作為控制變量．關(guān)涉變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差及相關(guān)系數(shù)詳見表2．

表2 關(guān)涉變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差及相關(guān)系數(shù)

注：*表示＜0.05，**表示＜0.01，***表示＜0.001

3.3 “代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響機(jī)制

（1）“代表性啟發(fā)”在“樣本空間→概率比較”進(jìn)階序列中的中介效應(yīng)．

以性別為控制變量，以“樣本空間”為自變量，以“代表性啟發(fā)”為中介變量，以“概率比較”為因變量，采用Bootstrap方法重復(fù)抽樣5?000次進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，模型的標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表3所示．

表3 模型1中“代表性啟發(fā)”的中介效應(yīng)分析

注：表示“樣本空間”

“樣本空間”對(duì)“代表性啟發(fā)”有顯著的直接負(fù)向影響（=-0.098，-0.131≤≤-0.064），對(duì)“概率比較”有顯著的直接正向影響（=0.444，0.383≤≤0.504）；“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”有顯著的直接負(fù)向影響（=-0.333，-0.460≤≤-0.206）；“樣本空間”通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”有間接的正向影響，且達(dá)顯著（=0.032，0.018≤≤0.052）；“樣本空間”對(duì)“概率比較”的直接影響效應(yīng)量為93.2%，通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”的間接影響效應(yīng)量為6.8%；該模型能夠解釋因變量25.1%的變異（＜0.001），總體效果達(dá)到顯著（=0.476，0.416≤≤0.537）．

（2）“代表性啟發(fā)”在“樣本空間→概率計(jì)算”進(jìn)階序列中的中介效應(yīng)．

以性別為控制變量，以“樣本空間”為自變量，以“代表性啟發(fā)”為中介變量，以“概率計(jì)算”為因變量，采用Bootstrap方法重復(fù)抽樣5?000次進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，模型的標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表4所示．

表4 模型2中“代表性啟發(fā)”的中介效應(yīng)分析

注：表示“樣本空間”

“樣本空間”對(duì)“代表性啟發(fā)”有顯著的直接負(fù)向影響（=-0.098，-0.131≤≤-0.064），對(duì)“概率計(jì)算”有顯著的直接正向影響（=0.414，0.364≤≤0.463）；“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率計(jì)算”有顯著的直接負(fù)向影響（=-0.205，-0.380≤≤-0.101）；“樣本空間”通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率計(jì)算”有間接的正向影響，且達(dá)顯著（=0.020，0.009≤≤0.033）；“樣本空間”對(duì)“概率計(jì)算”的直接影響效應(yīng)量為95.4%，通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率計(jì)算”的間接影響效應(yīng)量為4.6%；模型能解釋因變量30.0%的變異（＜0.001），效果顯著（=0.434，0.385≤≤0.483）．

（3）“代表性啟發(fā)”在“概率計(jì)算→概率比較”進(jìn)階序列中的中介效應(yīng)．

以性別為控制變量，以“概率計(jì)算”為自變量，以“代表性啟發(fā)”為中介變量，以“概率比較”為因變量，采用Bootstrap方法重復(fù)抽樣5?000次進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，模型的標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表5所示．

表5 模型3中“代表性啟發(fā)”的中介效應(yīng)分析

注：表示“概率計(jì)算”

“概率計(jì)算”對(duì)“代表性啟發(fā)”有顯著的直接負(fù)向影響（=-0.133，-0.175≤≤-0.092），對(duì)“概率比較”有顯著的直接正向影響（=0.864，0.805≤≤0.923）；“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”有顯著的直接負(fù)向影響（=-0.193，-0.293≤≤-0.094）；“概率計(jì)算”通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”有間接的正向影響，且達(dá)顯著（=0.026，0.011≤≤0.044）；“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”的直接影響效應(yīng)量為97.1%，通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”的間接影響效應(yīng)量為2.9%；模型能解釋因變量55.6%的變異（＜0.001），效果顯著（=0.890，0.832≤≤0.947）．

3.4 “代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響機(jī)制質(zhì)性分析

以Q2為例，對(duì)某被試進(jìn)行了訪談．該被試在古典概率測(cè)試中的作答表現(xiàn)是：在所有問題的T2中均選擇“摸出‘1個(gè)黑球和1個(gè)白球’的可能性大”．

【訪談片段1：“代表性啟發(fā)”對(duì)被試概率比較任務(wù)的消極影響】

師：第二問，你認(rèn)為“‘1個(gè)黑球和1個(gè)白球’的可能性大”，能具體說一說理由嗎？

生：因?yàn)槲腋杏X黑白配概率更大．

師：你怎么知道黑白配概率最大？

生：只有黑白配是兩種顏色都有的，盒子里有黑球也有白球，摸到兩個(gè)都是黑的或者摸到兩個(gè)都是白的，都不太

合適．

師：你為什么會(huì)用“合適”這個(gè)詞？

生：（無作答）

師：我是說，你之所以認(rèn)為這個(gè)（摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”）概率大，那個(gè)（摸到“2個(gè)黑球”）概率小，是看哪個(gè)結(jié)果符合你心理的預(yù)期？

生：也不是心理的預(yù)期吧．就是感覺這種黑白球都有更像現(xiàn)實(shí)．

師：我大概明白你的意思了．我重復(fù)一下你的意思：你覺得摸到兩個(gè)黑球這種情況比較極端、比較難，而摸到一黑一白似乎比較容易，因?yàn)樗皇悄欠N極端的結(jié)果，對(duì)嗎？

生：（思考片刻）差不多是的．

【分析】被試在T2中認(rèn)為摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”的可能性更大．從給出的理由來看，該被試在概率比較時(shí)持有“代表性啟發(fā)”這一錯(cuò)誤觀念，并且被試認(rèn)為摸到這種混合結(jié)果更加“合適”或“更像現(xiàn)實(shí)”，上述觀點(diǎn)也得到了進(jìn)一步的確認(rèn)．綜上可見，該被試在概率比較時(shí)陷入了“代表性啟發(fā)”的迷霧，訴諸于一套自認(rèn)為合理的“法則”．

【訪談片段2：借助直觀圖示引導(dǎo)被試尋求可靠策略】

師：老師給你講講解題過程，你看看有沒有道理．（在稿紙畫出Q2的插圖）你看這個(gè)圖，現(xiàn)在你想象一下：搖一搖盒子，閉上眼睛從中同時(shí)摸出兩個(gè)球．老師覺得，有可能摸到1號(hào)黑球和1號(hào)白球（畫示意圖），有可能摸到……總的來說，摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”有4種可能的搭配．

生：明白．

師：也就是說，理論上有4種搭配都是“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”，而只有一種搭配是“2個(gè)白球”．對(duì)嗎？

生：對(duì)的．

【分析】研究者借助直觀示意圖向被試詳細(xì)列舉了摸球的所有可能結(jié)果，并向其強(qiáng)調(diào)了摸出“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”實(shí)則包含了其中的4種結(jié)果．被試對(duì)此表示認(rèn)同．

【訪談片段3：“代表性啟發(fā)”的消除及其對(duì)概率比較的積極影響】

師：老師再給你看一個(gè)例子．（邊畫插圖邊解釋題意）盒子里有1個(gè)黑球和3個(gè)白球，共4個(gè)球．還是一樣，搖一搖盒子，閉上眼睛從中同時(shí)摸出兩個(gè)球．你認(rèn)為摸到“2個(gè)白球”和“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”哪個(gè)可能性大？

生：（思考片刻）一樣大．（畫示意圖）摸到“2個(gè)白球”可以是這兩個(gè)，也可以是……摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”可以是這兩個(gè)，也可以是……它們都是3種情況，所以概率一樣大．

師：再來看一個(gè)題目．（邊畫插圖邊解釋題意）盒子里有1個(gè)黑球和99個(gè)白球，共100個(gè)球．還是一樣，搖一搖盒子，閉上眼睛從中同時(shí)摸出兩個(gè)球．你認(rèn)為摸到“2個(gè)白球”和“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”哪個(gè)可能性大？

生：兩個(gè)白球，白球太多了．

師：你的“黑白配”還管用嗎（原意是：你還認(rèn)為一黑一白這種“黑白配”的概率更大嗎）？

生：不管用了．

師：我給你解釋一下原因吧．首先摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”一共有……

生：99種情況．

師：摸到“2個(gè)白球”呢？

生：（努力思考）

師：這個(gè)你還沒學(xué)過，算起來比較難．但是你可以想象，摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”說明肯定要有黑球被摸到，對(duì)吧？100個(gè)球里只有1個(gè)黑球，摸到它談何容易？

生：對(duì)的．

【分析】為了更徹底地糾正被試持有的“代表性啟發(fā)”，研究者臨時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)極端案例以進(jìn)一步引起認(rèn)知沖突．被試能夠仿照研究者提供的策略，即借助“標(biāo)記法”構(gòu)建樣本空間，并在此基礎(chǔ)上對(duì)兩者的概率進(jìn)行比較，最終否定了自己之前持有的“代表性啟發(fā)”．盡管最后一個(gè)問題對(duì)于被試而言難度過大，但被試最終還是意識(shí)到了其持有的“代表性啟發(fā)”并不可靠．可見，上述兩個(gè)案例對(duì)糾正學(xué)生的“代表性啟發(fā)”初見成效．

4 討論與建議

4.1 初中生概率認(rèn)知中的“代表性啟發(fā)”隨年級(jí)遞增呈現(xiàn)消退態(tài)勢(shì)

人們對(duì)于概率概念的不良直覺常常十分頑固．諸多研究一再表明：無論是學(xué)齡前兒童[25]、小學(xué)生[26]、中學(xué)生[27]等青少年群體，亦或是大學(xué)生[28]、教師[29]等成人群體，他們?cè)诟怕蕸Q策時(shí)大都表現(xiàn)出不同程度的不良直覺．Garfield在其研究中更明確地指出：關(guān)于概率的不良直覺在不同年齡層之間廣泛存在且十分頑固[30]．新近的研究也表明：初中生對(duì)于概率概念的不良直覺通常隨著年級(jí)的遞增呈現(xiàn)此消彼長(zhǎng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)，有的能夠逐漸消除（例如“認(rèn)為概率無法量化”），有的則十分頑固（例如“等可能性偏見”）[31]．研究則進(jìn)一步表明：對(duì)于初中生而言，他們概率認(rèn)知中的“代表性啟發(fā)”一般會(huì)隨著年級(jí)的遞增呈現(xiàn)消退態(tài)勢(shì)．關(guān)于它是否會(huì)在高中階段得到更徹底的消除，尚待進(jìn)一步的研究．

4.2 “代表性啟發(fā)”是影響學(xué)生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的關(guān)鍵變量

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生持有的“代表性啟發(fā)”與其對(duì)古典概率的認(rèn)知之間存在顯著性負(fù)相關(guān)（＜0.001），其中與“概率比較”的負(fù)相關(guān)最強(qiáng)（=-0.261），與“概率計(jì)算”的負(fù)相關(guān)次之（=-0.231），與“樣本空間”的負(fù)相關(guān)最弱（=-0.211）．作為中介變量，“代表性啟發(fā)”顯著地阻礙了學(xué)生古典概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階．具體而言，“代表性啟發(fā)”在“樣本空間→概率比較”進(jìn)階序列中對(duì)“概率比較”的直接負(fù)向影響最強(qiáng)（=-0.333），在“樣本空間→概率計(jì)算”進(jìn)階序列中對(duì)“概率計(jì)算”的直接負(fù)向影響次之（=-0.205），在“概率計(jì)算→概率比較”進(jìn)階序列中對(duì)“概率比較”的直接負(fù)向影響略弱（=-0.193）．以上說明，“代表性啟發(fā)”在學(xué)生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階中，主要阻礙了學(xué)生概率比較的能力：第一，學(xué)生在面臨概率比較任務(wù)時(shí)，他們很容易陷入“代表性啟發(fā)”的迷霧，主觀地將其視作合理的“法則”；第二，即便學(xué)生能夠構(gòu)造樣本空間，但在面臨概率比較任務(wù)時(shí)依然有可能訴諸“代表性啟發(fā)”這類不良直覺；第三，即便學(xué)生能夠進(jìn)行概率計(jì)算，但在面臨概率比較任務(wù)時(shí)也有可能忽視上述量化結(jié)果轉(zhuǎn)而基于“代表性啟發(fā)”加以判斷．值得提及的是，“代表性啟發(fā)”甚至對(duì)于學(xué)生的概率計(jì)算也會(huì)造成消極影響：即便他們能夠構(gòu)造樣本空間，但在概率計(jì)算時(shí)也有可能放棄可靠策略轉(zhuǎn)而訴諸“代表性啟發(fā)”．

4.3 消除學(xué)生“代表性啟發(fā)”不良直覺的建議

“代表性啟發(fā)”是學(xué)生概率概念學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出的一類典型不良直覺．盡管它隨著年級(jí)的遞增有所消除，但在教學(xué)中徹底消除它依然任重而道遠(yuǎn)．結(jié)合定量和定性兩方面的分析，研究者對(duì)有效消除“代表性啟發(fā)”這類不良直覺提出如下建議．

第一，僅僅依靠樣本空間概念的學(xué)習(xí)尚不足以有效幫助其消除“代表性啟發(fā)”．學(xué)生樣本空間概念的加深僅僅能夠微弱地消除其持有的“代表性啟發(fā)”，但“代表性啟發(fā)”對(duì)于學(xué)生概率比較和概率計(jì)算能力的消極影響則顯然強(qiáng)烈得多．具體而言，在“樣本空間→概率比較”進(jìn)階序列中，“樣本空間”對(duì)“代表性啟發(fā)”的路徑系數(shù)僅為-0.098，而“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”的路徑系數(shù)則高達(dá)-0.333；“樣本空間”通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率比較”的路徑系數(shù)僅為0.032，該間接影響路徑的效應(yīng)量?jī)H為6.8%．在“樣本空間→概率計(jì)算”進(jìn)階序列中，“樣本空間”對(duì)“代表性啟發(fā)”的路徑系數(shù)僅為-0.098，而“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率計(jì)算”的路徑系數(shù)則高達(dá)-0.205；“樣本空間”通過“代表性啟發(fā)”對(duì)“概率計(jì)算”的路徑系數(shù)僅為0.020，該間接影響路徑的效應(yīng)量?jī)H為4.6%．

第二，只有當(dāng)學(xué)生掌握了概率的計(jì)算法則時(shí)，他們才可能有效地糾正其持有的“代表性啟發(fā)”．在“概率計(jì)算→概率比較”進(jìn)階序列中，“概率計(jì)算”對(duì)“代表性啟發(fā)”的路徑系數(shù)為-0.133，這明顯高于前兩個(gè)進(jìn)階序列中“樣本空間”對(duì)“代表性啟發(fā)”的路徑系數(shù)．通過比較模型1和模型3也可發(fā)現(xiàn)：模型1中“樣本空間”對(duì)“概率比較”的路徑系數(shù)為0.444，模型3中“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”的路徑系數(shù)則高達(dá)0.864；模型1中“樣本空間”對(duì)“概率比較”的總體路徑系數(shù)為0.476，模型3中“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”的總體路徑系數(shù)則高達(dá)0.890；模型1能夠解釋因變量25.1%的變異，模型3則能夠解釋因變量55.6%的變異．以上說明，只有當(dāng)學(xué)生能夠真正進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)——這意味著他們不僅能構(gòu)造樣本空間，還能基于樣本空間求概率——他們才有可能有效地糾正其持有的“代表性啟發(fā)”，也才有可能在進(jìn)行概率比較時(shí)徹底擺脫該類不良直覺．

第三，借助極端案例幫助學(xué)生造成認(rèn)知沖突，引導(dǎo)其在概率決策時(shí)摒棄主觀臆斷．學(xué)生在面臨概率計(jì)算、概率比較等問題情境時(shí)常常放棄理論推演，轉(zhuǎn)而訴諸主觀臆斷或?qū)で笠惶住白哉J(rèn)為合理的規(guī)則”．例如，“代表性啟發(fā)”這類不良直覺與“中庸思維”似有異曲同工之處[32-40]，學(xué)生在概率決策時(shí)信奉著“摸出黑白配更有一般性，兩個(gè)都是白球則顯得十分極端”這樣的“法則”．在實(shí)際教學(xué)中，訪談資料中的兩個(gè)極端案例不妨一試：如果盒子里有1個(gè)黑球和3個(gè)白球，摸出“1個(gè)白球和1個(gè)黑球”的概率仍然更大嗎？如果盒子里有1個(gè)黑球和99個(gè)白球，摸出“1個(gè)白球和1個(gè)黑球”又談何容易？這時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生反思：類似于“黑白配概率更大”的解釋是否顯得蒼白無力了呢？

5 研究結(jié)論

（1）初中生概率認(rèn)知中的“代表性啟發(fā)”隨年級(jí)遞增呈現(xiàn)消退態(tài)勢(shì)；男生持有的“代表性啟發(fā)”比女生程度更深．

（2）“代表性啟發(fā)”與概率認(rèn)知間均存在顯著性負(fù)相關(guān)．

（3）“代表性啟發(fā)”對(duì)學(xué)生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階有顯著的消極影響，尤其在學(xué)生進(jìn)行概率比較時(shí)產(chǎn)生的直接阻礙最強(qiáng)．

（4）樣本空間概念的加深僅能微弱地消除其持有的“代表性啟發(fā)”，但“代表性啟發(fā)”對(duì)概率比較和概率計(jì)算能力的消極影響則顯然強(qiáng)烈得多．只有當(dāng)學(xué)生掌握了概率的計(jì)算法則時(shí)，他們才可能有效地糾正其持有的“代表性啟發(fā)”．

（5）上述結(jié)論也得到了訪談資料的支撐．

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The Impact of the Representativeness Heuristic on Middle School Students’ Learning Progressions in Classic Probability

HE Sheng-qing

(Mathematics & Science College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

This study selected 754 seventh to ninth graders as the subjects and explored the impact of the representativeness heuristic on learning progressions in classic probability. It was found that: (1) students’ representativeness heuristic showed a decreasing trend with the increase in grade level; (2) the degree of the representativeness heuristic held by boys was larger than that of girls; (3) there was a significant negative correlation between the representativeness heuristic held by students and their cognition in classical probability; and, (4) students’ representativeness heuristic had a significant negative effect on their learning progression in classic probability, of which the impact of the representativeness heuristic on students’ ability in probability calculation and comparison was especially strong. Three suggestions are put forward for effective elimination of the representativeness heuristic. First, it is unlikely to effectively eliminate the representativeness heuristic by only relying on learning the concept of sample space. Second, only when students have mastered the rules of probability calculation can they effectively eliminate representative inspiration. Third, it is feasible to use extreme examples to help students experience cognitive conflict so as to guide them to discard subjective assumptions when making judgments in probabilistic situations.

representativeness heuristic; classic probability; sample space; learning progressions; mediating effect

G633.6

A

1004–9894（2020）04–0027–07

何聲清．“代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（4）：27-33．

2020–02–25

何聲清（1988—），男，安徽安慶人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]