電場(chǎng)和溫度對(duì)施主中心量子點(diǎn)中束縛極化子基態(tài)壽命的影響

烏云其木格連永強(qiáng)李紅敏額爾敦朝魯

(1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028043； 2.北京航天萬(wàn)鴻高科技有限公司秦皇島分公司，河北秦皇島 066004；3.河北科技師范學(xué)院凝聚態(tài)物理研究所，河北秦皇島 066004)

1 引 言

固態(tài)量子計(jì)算被國(guó)內(nèi)外公認(rèn)為未來(lái)量子信息的發(fā)展方向。量子信息的載體可以是任意兩態(tài)的微觀體系，在可選擇的多種固態(tài)量子計(jì)算方案中，以半導(dǎo)體量子點(diǎn)為基本載體的方案最為誘人[1]。不過(guò)，要真正實(shí)現(xiàn)用半導(dǎo)體量子點(diǎn)載體對(duì)量子信息進(jìn)行存儲(chǔ)和處理還有漫長(zhǎng)的路要走，許多基本的物理問(wèn)題尚待解決，譬如本文所關(guān)注的半導(dǎo)體量子點(diǎn)信息載體中的消相干問(wèn)題。這是因?yàn)樵诹孔有畔⒅袩o(wú)論是量子的并行運(yùn)算還是量子模擬，都基于量子態(tài)的相干性。然而，半導(dǎo)體量子點(diǎn)信息載體的相干性是不穩(wěn)定的，極容易受到聲子效應(yīng)的影響，其結(jié)果將導(dǎo)致量子相干性的衰減，稱為量子比特的退相干。失去了相干性，量子計(jì)算的優(yōu)越性就消失殆盡[2-4]。因此，聲子效應(yīng)導(dǎo)致的退相干問(wèn)題已經(jīng)成為半導(dǎo)體量子點(diǎn)載體信息發(fā)展中的一個(gè)重大障礙。于是，近年來(lái)，學(xué)術(shù)界關(guān)于半導(dǎo)體量子點(diǎn)中極化子態(tài)衰變的研究日趨活躍。Sun等[5]研究了磁場(chǎng)對(duì)拋物勢(shì)量子點(diǎn)中磁極化子態(tài)的躍遷速率的影響。Fotue等[6]研究了氫化雜質(zhì)束縛極化子態(tài)的躍遷速率。Xiao等[7]研究了溫度和電場(chǎng)對(duì)RbCl拋物勢(shì)量子點(diǎn)中極化子態(tài)的躍遷速率的影響。在考慮存在外磁場(chǎng)時(shí)，Sun等[8]研究了溫度對(duì)RbCl拋物勢(shì)量子點(diǎn)中極化子態(tài)的躍遷速率的影響。Bai等[9]研究了非對(duì)稱高斯勢(shì)量子點(diǎn)中LO聲子自發(fā)輻射率。然而，不難看出，上述關(guān)于聲子效應(yīng)對(duì)半導(dǎo)體量子點(diǎn)量子比特相干性的影響的研究，仍存在不夠充分的方面，亟待完善。首先，上述工作都著眼于用兩態(tài)極化子激發(fā)態(tài)的躍遷速率(其倒數(shù)被定義為激發(fā)態(tài)的衰變時(shí)間或壽命)來(lái)量化量子比特的退相干時(shí)間。然而，迄今為止，人們對(duì)兩態(tài)極化子基態(tài)的衰變時(shí)間或壽命如何影響量子比特的相干性的問(wèn)題研究甚少。毋庸置疑，這是一個(gè)具有同等重要意義的研究課題。因?yàn)?，?duì)于極化子量子態(tài)的相干性而言，無(wú)論是其激發(fā)態(tài)的衰變，還是其基態(tài)的衰變，同樣都將破壞或衰減量子比特的相干性。其次，上述工作都采用拋物勢(shì)描述量子點(diǎn)中電子的限定勢(shì)。其實(shí)，拋物勢(shì)是一種過(guò)于簡(jiǎn)化的模型。一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)真實(shí)的限定勢(shì)應(yīng)是非拋物形的阱狀勢(shì)[10]，如密度矩陣勢(shì)或非對(duì)稱三角勢(shì)、高斯函數(shù)限定勢(shì)等，其中高斯函數(shù)限定勢(shì)阱是一個(gè)很好的近似[11]。再次，近年來(lái)，引入高斯限定勢(shì)阱研究低維結(jié)構(gòu)電子態(tài)的性質(zhì)在量子阱結(jié)構(gòu)中已有不少出色的工作報(bào)道[12-15]，但是，相關(guān)研究在量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域甚少，尤其是研究電場(chǎng)下施主中心量子點(diǎn)中束縛極化子態(tài)衰變的工作尚未報(bào)道。本工作將填補(bǔ)該領(lǐng)域的某些研究空白。

迄今為止，已有一些研究極化子基態(tài)壽命方面的實(shí)驗(yàn)工作[16-17]和理論工作[18-20]報(bào)道，結(jié)果表明，研究極化子態(tài)的衰變不僅具有基礎(chǔ)理論意義，也具有重要的應(yīng)用前景。本文通過(guò)對(duì)非對(duì)稱高斯勢(shì)施主中心量子點(diǎn)中束縛極化子基態(tài)壽命的研究，進(jìn)一步完善了聲子及其關(guān)聯(lián)效應(yīng)導(dǎo)致量子點(diǎn)量子比特退相干的內(nèi)涵。

2 理論模型與方法

施主中心量子點(diǎn)體系由一個(gè)電子和位于量子點(diǎn)中心的一個(gè)帶正電的施主雜質(zhì)構(gòu)成。這里我們考慮電子同時(shí)受到量子點(diǎn)局域限定勢(shì)和施主雜質(zhì)庫(kù)倫勢(shì)作用，并與介質(zhì)中體縱光學(xué)(LO)聲子場(chǎng)相互作用。用非對(duì)稱高斯限定勢(shì)VG(z)和拋物限定勢(shì)VP(x，y)分別描寫(xiě)電子在沿量子點(diǎn)生長(zhǎng)方向(z軸方向)及其垂直方向(O-xy平面)的受限。施加沿z軸方向的電場(chǎng)F，則電場(chǎng)-施主雜質(zhì)-電子-LO聲子場(chǎng)四體相互作用體系的哈密頓量可以寫(xiě)成[9]：

其中

VC(r)=-e2/(ε∞r(nóng))表示電子與施主雜質(zhì)間的庫(kù)倫作用能。mb是電子的帶質(zhì)量，r和p分別表示電子的空間位矢和動(dòng)量，ω0為拋物勢(shì)受限強(qiáng)度，V0表示非對(duì)稱高斯限定勢(shì)阱的阱深且V0＞0，L表示其阱寬，亦稱量子點(diǎn)的有效厚度。公式(1)中其他物理量的意義與文獻(xiàn)[9]相同。

其中

是Lee-Low-Pines幺正變換[21]，其中fk(f*k)為變分參數(shù)。依據(jù)Pekar類(lèi)型的變分法[22]，體系的基態(tài)和激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)分別選為

其中，λ0和λ1為變分參數(shù)，是LO聲子的真空態(tài)，由=0確定。 將公式(1)、(3)～(5)分別代入公式(2)中，可確定變分參數(shù) fk、λ0和λ1。利用這些變分參數(shù)并經(jīng)冗長(zhǎng)計(jì)算，可分別得到束縛極化子基態(tài)的聲子平均數(shù)N0及激發(fā)態(tài)與基態(tài)能隙ΔE=E1-E0：

其中，α為介質(zhì)的電聲耦合常數(shù)，η=ε∞/ε0為介質(zhì)的介電常數(shù)比稱為極化子的有效半徑。由于電子-聲子相互作用和溫度的影響，量子系統(tǒng)中會(huì)發(fā)生量子躍遷。根據(jù)費(fèi)米金定律，可以得到電子吸收一個(gè)LO聲子后從基態(tài)到激發(fā)態(tài)的躍遷幾率，躍遷速率為[19-20]：

其中，τ0為極化子基態(tài)壽命，N0為基態(tài)LO聲子數(shù)。在有限溫度下，電子-聲子體系不完全處于基態(tài)，晶格熱振動(dòng)不但激發(fā)實(shí)聲子，同時(shí)也使電子受到激發(fā)，極化子的性質(zhì)是由電子-聲子體系對(duì)各種可能狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值描述[23]。根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，公式(8)中N0可由LO聲子數(shù)統(tǒng)計(jì)平均值代替：

其中，T為絕對(duì)溫度，γ=?ωLO/(kBT)稱為溫度參數(shù)，kB為玻爾茲曼常數(shù)。

3 結(jié)果與討論

圖1～11分別給出了非對(duì)稱高斯勢(shì)量子點(diǎn)中施主中心束縛極化子基態(tài)LO聲子平均數(shù)N0、基態(tài)與激發(fā)態(tài)的能隙ΔE=E1-E0和吸收一個(gè)LO聲子后從基態(tài)到激發(fā)態(tài)的躍遷速率的數(shù)據(jù)曲線。

圖1描繪了束縛極化子基態(tài)LO聲子平均數(shù)N0在不同溫度系數(shù)γ下隨電聲耦合常數(shù)α的變化。由圖1可以看出，聲子平均數(shù)N0隨電聲耦合常數(shù)α的增加而增多，這是因?yàn)殡S著α的增加，電聲相互作用增強(qiáng)，導(dǎo)致電子周?chē)奂嗟穆曌?。由圖1還可以看出，當(dāng)α取定值時(shí)，N0隨γ的增加而減少，換言之，基態(tài)LO聲子平均數(shù)N0隨溫度T的升高而增多。這是因?yàn)榫Ц駸嵴駝?dòng)隨溫度的升高而增大，致使電子周?chē)曌訑?shù)量隨溫度的升高而增多。

圖1 聲子平均數(shù)N0在不同溫度參數(shù)γ下隨電聲耦合常數(shù)α的變化Fig.1 Mean number N0of phonons as a function of the electron-phonon coupling(EPC)constant α at different temperature parameter γ

圖2 束縛極化子基態(tài)能量E0及其各組成部分隨高斯勢(shì)阱寬L的變化Fig.2 Ground state energy E0of the bound polaron and its components versus the well width L of the asymmetric Gaussian(AG)potential

圖2 表示了束縛極化子基態(tài)能量E0及其組成部分隨高斯勢(shì)阱寬L的變化。由圖2可以看出，E0＜0，即極化子處于束縛態(tài)，這是因?yàn)镋0的組成部分對(duì)E0的貢獻(xiàn)都為負(fù)。由圖2還可以看出，能量隨L的減小而減小。但是E0的各組成部分隨阱寬L的變化有所不同，分別解釋如下：電子-LO聲子耦合能的絕對(duì)值隨L的減小而增大，是因?yàn)榱孔狱c(diǎn)中電子-聲子耦合能由于粒子縱向(z軸方向)運(yùn)動(dòng)空間L被壓縮而增大；電子在施主雜質(zhì)電場(chǎng)中的庫(kù)倫能的絕對(duì)值隨L的減小而增大，這是因?yàn)殡SL的減小，電子與施主中心的距離縮短，致使庫(kù)倫能的絕對(duì)值變大；電場(chǎng)引起的附加能量的絕對(duì)值隨L的減小而減小，這主要是隨L的減小，施主中心對(duì)電場(chǎng)的屏蔽作用增大，致使隨L的減小而減小；高斯勢(shì)能的絕對(duì)值隨L的減小而減小，這是因?yàn)殡SL的減小而減小。

圖3表示束縛極化子基態(tài)與激發(fā)態(tài)的能隙ΔE在高斯勢(shì)不同阱深V0下隨其阱寬L的變化。由圖3可以看出，ΔE隨L的變化規(guī)律在L的不同取值區(qū)間有所不同，呈現(xiàn)出一非對(duì)稱“高斯分布”的特點(diǎn)。這是由量子點(diǎn)的厚度變化引起的聲子效應(yīng)的具體表現(xiàn)。首先，當(dāng)L較大時(shí)，ΔE隨L的減小而增大至(在L0點(diǎn))一最大值。這是因?yàn)?，束縛極化子的基態(tài)能量E0和激發(fā)態(tài)能量E1都是負(fù)的，且另外，量子點(diǎn)中電子的動(dòng)能和電子-LO聲子耦合能由于粒子縱向(z軸方向)運(yùn)動(dòng)空間L被壓縮而增大，導(dǎo)致極化子能量的絕對(duì)值增大，其中，基態(tài)能量隨L的減小而增大的幅度大于激發(fā)態(tài)能量增大的幅度，致使能隙ΔE=E1-E0隨L的減小而增大。其次，當(dāng)L=L0時(shí)，ΔE的取值達(dá)到最大值，這意味著由量子點(diǎn)厚度的變化引起的LO聲子效應(yīng)達(dá)到峰值。再次，當(dāng)L＜L0時(shí)，ΔE從峰值開(kāi)始隨L的減小而迅速減小。這是因?yàn)楫?dāng)量子點(diǎn)的有效厚度L非常薄時(shí)，因其內(nèi)LO聲子數(shù)迅速減少，致使電子-LO聲子耦合能的貢獻(xiàn)迅速減小。從圖3還可以看出，當(dāng)L取一定值時(shí)，能隙ΔE隨高斯勢(shì)阱深V0的增加而增大。這是因?yàn)楦咚箘?shì)能VG(z)=-V0exp(z2/2L2)＜0且隨V0的增加而增大，致使束縛極化子能量的絕對(duì)值隨V0增加而增大。而且，基態(tài)能量隨V0的增加而增大的幅度大于激發(fā)態(tài)能量增大的幅度，導(dǎo)致能隙ΔE隨V0的增加而增大。

圖4描繪了能隙ΔE在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢(shì)阱寬L的變化。由圖4可以看出，ΔE隨η的增加而增大。這是因?yàn)槭┲髦行碾s質(zhì)電場(chǎng)中電子的庫(kù)倫勢(shì)VC∝-1/(1-η)隨η的增加而減小，使得對(duì)極化子能量的貢獻(xiàn)隨η的增加而增大。而且，體系基態(tài)能量隨η的增加而增大的幅度大于激發(fā)態(tài)能量增大的幅度，致使能隙ΔE隨η的增加而增大。

圖3 能隙ΔE在非對(duì)稱高斯勢(shì)不同阱深V0下隨其阱寬的變化Fig.3 Energy gap ΔE versus the well width L under different well depth V0of the AG potential

圖4 能隙ΔE在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢(shì)阱寬L的變化Fig.4 Energy gap ΔE versus the well width L of the AG potential under different dielectric constant(DC)ratio η

圖5 表示能隙ΔE在不同電聲耦合常數(shù)α下隨非對(duì)稱高斯勢(shì)阱深V0的變化。由圖5可以看出，在阱深V0給定時(shí)，能隙ΔE隨α的增加而增大。這是因?yàn)殡娐曬詈铣?shù)α越大，意味著電聲耦合越強(qiáng)。其中，激發(fā)態(tài)電聲耦合比基態(tài)電聲耦合強(qiáng)度弱，所以能隙ΔE隨耦合強(qiáng)度α的增大而增大。

圖5 能隙ΔE在不同電聲耦合常數(shù)α下隨非對(duì)稱高斯勢(shì)阱深V0的變化Fig.5 Energy gap ΔE versus the well depth V0of the AG potential under different EPC constant α

圖6 能隙ΔE在不同電場(chǎng)強(qiáng)度F下隨拋物勢(shì)范圍R0的變化Fig.6 Energy gap ΔE as a function of the range R0of the parabolic potential under different electric field F

圖7 束縛極化子基態(tài)躍遷速率在高斯勢(shì)不同阱深V0下隨其阱寬L的變化Fig.7 Ground-state transition rateof the bound polaron as a function of the well width L at different well depth V0of the AG potential

圖8 基態(tài)躍遷速率在不同電聲耦合常數(shù)α下隨高斯勢(shì)阱寬L的變化Fig.8 Ground-state transition rateas a function of the well width L of the AG potential at different EPC constant α

圖9 基態(tài)躍遷速率在不同電聲耦合常數(shù)α下隨溫度參數(shù)γ的變化Fig.9 Ground-state transition rate as a function of the temperature parameter γ at different EPC constant α

圖10 基態(tài)躍遷速率在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢(shì)阱寬L的變化Fig.10 Ground-state transition rateas a function of the well width L of the AG potential at different DC ratio η

圖11 基態(tài)躍遷速率在不同電場(chǎng)強(qiáng)度F下隨拋物勢(shì)范圍R0的變化Fig.11 Ground-state transition rate as a function of the range R0of the parabolic potential at different electric field F

圖11 表示基態(tài)躍遷速率τ-10在不同電場(chǎng)強(qiáng)度F下隨拋物勢(shì)范圍R0的變化。由圖11可以看出，隨R0的減小而減小，即基態(tài)壽命τ0隨拋物勢(shì)范圍R0的減小而增大。這一結(jié)果與文獻(xiàn)[19]的拋物勢(shì)結(jié)論一致。根據(jù)圖6，這是因?yàn)槟芟鼎隨R0的減小而增大，致使壽命τ0隨R0的減小而增大。比較圖11和圖7可以看出，拋物勢(shì)和非對(duì)稱高斯勢(shì)對(duì)量子點(diǎn)中極化子基態(tài)壽命的影響明顯不同，這種不同既反映了電子在量子點(diǎn)生長(zhǎng)方向及其垂直方向的不同受限對(duì)壽命τ0的不同影響，也反映了量子點(diǎn)厚度對(duì)壽命τ0的特殊影響。由圖11還可以看出，隨F的增加而增大，即基態(tài)壽命τ0隨電場(chǎng)強(qiáng)度F的增加而縮短，這一結(jié)果與文獻(xiàn)[20]的結(jié)論一致。這是因?yàn)槟芟鼎隨F的增大而減小，導(dǎo)致壽命τ0隨電場(chǎng)F的增大而縮短。這意味著施加電場(chǎng)將對(duì)量子點(diǎn)量子比特相干性造成干擾。

4 結(jié) 論

研究了外電場(chǎng)、溫度、材料的介電常數(shù)比和電聲耦合常數(shù)等對(duì)非對(duì)稱高斯勢(shì)施主中心量子點(diǎn)中束縛極化子基態(tài)壽命的影響。數(shù)值結(jié)果表明：(1)量子點(diǎn)約束勢(shì)的高度和寬度對(duì)極化子基態(tài)壽命的影響較大，即束縛極化子基態(tài)壽命隨非對(duì)稱高斯勢(shì)阱深的增加而增大，隨非對(duì)稱高斯勢(shì)阱寬的變化呈非對(duì)稱“高斯分布”特點(diǎn)。(2)束縛極化子基態(tài)壽命隨材料的介電常數(shù)比的增加而增大、隨電聲耦合常數(shù)的增加而縮短、隨環(huán)境溫度的升高而減小、隨電場(chǎng)強(qiáng)度的增加而縮短。(3)環(huán)境溫度、施加電場(chǎng)和聲子效應(yīng)都將干擾量子點(diǎn)量子比特的相干性。