基于Blackman 窗六譜線插值FFT 諧波分析方法

汪旭明， 田 堃， 雷可君， 王向明， 楊 喜

（1.吉首大學(xué)a.物理與機電工程學(xué)院；b.信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南吉首416000；2.上交所技術(shù)有限責(zé)任公司，上海200120）

0 引 言

電網(wǎng)中大量非線性元件的存在導(dǎo)致諧波和間諧波的產(chǎn)生，并嚴(yán)重威脅到電網(wǎng)本身的安全運行。因此，諧波參數(shù)的準(zhǔn)確估計對于電力系統(tǒng)的監(jiān)控和保護有著重要的作用［1-3］。然而，由于非同步采樣及非整周期截斷等因素的影響［4］，如何準(zhǔn)確地估計諧波的頻率、幅值及相位等信息引起了研究者的廣泛關(guān)注。

現(xiàn)有的諧波分析方法有快速傅里葉變換（FFT）法［5-9］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［10-11］、小波變換法［12-13］、瞬時無功功率法［14］等。其中FFT方法由于工程實現(xiàn)的簡單而被廣泛研究，但是由于基波頻率處于波動狀態(tài)使得采樣處于非同步狀態(tài)，在進行FFT處理時將不可避免地引起頻譜泄露問題，從而導(dǎo)致諧波參數(shù)估計精度非常低。為此，許多學(xué)者提出了通過加窗插值的方法來減小頻譜泄露的負(fù)面影響，進而提高諧波參數(shù)估計的精度。主流的處理方法包括：采用加Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗等與單譜線、雙譜線插值相結(jié)合的方法等［5-8］。這些方法雖然一定程度上可以提高信號參數(shù)的估計精度，但其估計效果仍有待進一步提高。

本文利用主次譜線及其相鄰近譜線的信息，提出了一種基于Blackman窗的六譜線插值算法，并給出了諧波參數(shù)估計的修正公式。仿真實驗表明，該算法能有效地提高了信號參數(shù)估計的精度。

1 Blackman窗的特性

對信號加窗后進行FFT處理可以有效地抑制非同步采樣帶來的頻譜泄露，但是不同的窗函數(shù)對頻譜泄露的抑制效果并不相同，由于余弦窗具有良好的旁瓣特性和簡單的表達(dá)形式，故在實際的諧波分析處理過程中一般選擇余弦窗。余弦窗的時域表達(dá)式為

式中：M表示窗函數(shù)的項數(shù)；N表示窗函數(shù)的長度，n＝1，2，…，N －1，系數(shù)滿足經(jīng)典的3種窗都屬于余弦窗，其系數(shù)取值見表1。

表1 3種典型余弦窗的系數(shù)

本文比較了上述3種典型余弦窗函數(shù)的旁瓣峰值電平和旁瓣衰減情況，其對數(shù)頻譜圖如圖1所示。3種典型余弦窗的譜特征參數(shù)如表2所示。

圖1和表1的結(jié)果表明，盡管在上述3種窗中Hanning窗實現(xiàn)最為簡單，且具有最小的主瓣寬度，但其旁瓣峰值很大，不利于抑制頻譜泄露；而盡管Blackman-Harris窗具有最小的旁瓣峰值，但其主瓣較寬，同時實現(xiàn)復(fù)雜度也較高。相比較而言，Blackman窗具有較小的旁瓣峰值以及主瓣寬度，且其實現(xiàn)復(fù)雜度適中便于實時計算，因而本文采用Balckman窗作為諧波分析過程中采用的窗函數(shù)。由表1可知Blackman窗的時域表達(dá)式為：

圖1 3種余弦窗函數(shù)的對數(shù)頻譜圖

表2 3種典型余弦窗的旁瓣特性

相應(yīng)地，不難得到其頻譜函數(shù)為：

2 基于Blackman窗的六譜線插值算法

為簡化分析過程，這里僅以單頻信號為例進行分析，所得結(jié)果可以直接推廣到多頻復(fù)合信號的分析應(yīng)用場景［15］。假定單頻率信號表達(dá)式為

式中：A0、f0、θ0分別表示信號的幅值、頻率和相位參數(shù)。對x（t）離散化可得：

式中：fs為采樣頻率，n＝0，1，…，N －1，N 為采樣點數(shù)。對式（5）加窗后進行離散時間傅里葉變換得到：

式中：ω0＝2πf0／fs；W（ω）為窗函數(shù)的連續(xù)頻譜函數(shù)。由于復(fù)譜序列具有對稱性，在參數(shù)分析過程中通常忽略負(fù)頻點的影響，此時有：

由于諧波信號的基波頻率處于波動狀態(tài)，故采樣時很難做到同步采樣。當(dāng)對諧波非同步采樣時，會造成頻譜泄露從而使得真實峰值很難處于離散的頻點上，此時k0可以用一個非整數(shù)來表示。設(shè)k＝k0－δ－0.5，這里δ∈（－0.5，0.5）。假設(shè)kd和kd＋1為真實峰值譜線附近幅值最大的兩根譜線，其中kd＜k＜kd＋1，kd＋1＝ kd＋1。取這兩根譜線鄰近的4 條譜線kd－2、kd－1、kd＋2和kd＋3。因為kd和kd＋1最靠近真實峰值頻率，對參數(shù)估計的影響最大，所以在頻譜參數(shù)分析過程中對這兩根譜線賦予最大的權(quán)值6，而對第kd－2、kd－1、kd＋2、kd＋3根譜線賦予的權(quán)值分別為1、2、2、1［15］。由式（3）得到［16］：

標(biāo)記式（18）為λ＝g（δ），則從理論上可以通過求反函數(shù)得到偏移量的計算表達(dá)式δ＝g－1（λ），其中，g－1（λ）表示λ的反函數(shù)。由于表達(dá)式過于復(fù)雜，因此要獲得δ的閉式解非常困難。為了降低實現(xiàn)的復(fù)雜度，本文提出一種基于多項式擬合求解表達(dá)式g－1（λ）的方法。具體而言，在區(qū)間（－0.5，0.5）內(nèi)取δ的一組具體值，并利用式（18）計算得到相應(yīng)的函數(shù)值，在此基礎(chǔ)上利用多項式曲線擬合方法即可得到δ＝g－1（λ）的函數(shù)逼近式，進而得到信號參數(shù)的修正公式?？紤]到精度和復(fù)雜度問題，本文設(shè)定擬合多項式的最高冪次數(shù)為7。將式（16）和（17）代入式（18），則利用數(shù)值計算軟件可方便地得到g－1（λ）的多項式擬合表達(dá)式：

相應(yīng)地，信號頻率的修正公式為：

幅值修正公式為：

式中，

設(shè)f（δ）＝2N／（G ＋H），類似地利用多項式擬合方法可以得到f（δ）的表達(dá)式為：

由此幅值修正公式可以簡化地表示為：

相應(yīng)地，信號相位的修正公式為：

3 仿真實驗分析

為了驗證本文所提算法的有效性，對信號用本文算法、直接FFT分析和加Hanning窗分析3種方法進行實驗對比。假定一個由基波、間諧波和諧波組成的復(fù)合信號：

式中，基波頻率f0＝50.2 Hz；采樣點數(shù)N ＝1 024；采樣頻率fs＝1.5 kHz。幅值和相位的具體參數(shù)如表3所示。

表3 仿真實驗參數(shù)設(shè)置

對信號分別進行FFT處理和加Blackman窗后信號的幅度譜如圖2和圖3所示。從圖2中不難看出，對諧波直接進行FFT處理會出現(xiàn)較嚴(yán)重的頻譜泄露。而從圖3不難看出，對信號預(yù)先進行加Blackman窗處理后再進行FFT頻譜分析，其幅度譜中具有較大幅值的譜線分量僅集中在真實頻率附近的少數(shù)幾根譜線上，而遠(yuǎn)離真實頻率的譜線幅值迅速衰減為很小的值，故加Blackman窗對頻譜泄露的抑制效果明顯。

圖2 利用FFT算法得到的幅度譜

圖3 利用本文算法得到的幅度譜

利用FFT算法、加Hanning窗算法、本文算法對信號進行參數(shù)估計的結(jié)果如表3～6所示。不難看出，在上述3種算法中，基于FFT的方法具有最差的參數(shù)估計精度。與此同時，對信號中的諧波和間諧波的參數(shù)進行估計時，盡管加Hanning窗方法和本文所提算法都可以提高其精度，但是總的來說本文算法相比加Hanning窗方法具有更高的諧波參數(shù)估計精度。

表4 頻率估計相對誤差對比

表5 幅值估計相對誤差對比

表6 相位估計相對誤差對比

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于Blackman窗的六譜線諧波分析算法，該算法利用Blackman窗和六譜線插值結(jié)合的方法來抑制頻譜泄露和減小柵欄效應(yīng)帶來的影響，在此基礎(chǔ)上給出了信號頻率、幅值和相位參數(shù)的估計公式。經(jīng)過仿真實驗對比，新算法可以有效提高諧波和間諧波的參數(shù)估計精度，其精度比FFT算法和加Hanning窗算法的精度有了顯著提高，在算法的實現(xiàn)復(fù)雜度和估計精度上達(dá)到了較好的平衡。