四元數(shù)Hilbert空間上廣義內(nèi)積與Beckenbach不等式的推廣

李會平

(安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽 合肥 230601)

0 引言

內(nèi)積是泛函分析的重要研究對象,測不準原理是物理上的重要原理。早在1984年,Horwitz和Biedenharn已經(jīng)開始了測不準原理在四元數(shù)與物理問題上的研究[1]；最近,關(guān)于四元數(shù)信號的測不準原理得到關(guān)注[2-4]。Beckenbach 不等式與四元數(shù)Hilbert空間中的測不準原理有緊密的關(guān)系,是研究四元數(shù)測不準原理的重要工具[5],因此,為深入研究物理上的測不準原理,很有必要提出廣義內(nèi)積并把Beckenbach不等式推廣到廣義內(nèi)積的情形。

1 知識準備

1.1 四元數(shù)Hilbert空間

本文用H表示全體四元數(shù),H表示四元數(shù)Hilbert空間。先介紹一些四元數(shù)Hilbert空間[6]的知識。

設(shè)H表示非交換、可結(jié)合的四元數(shù)實代數(shù),標準基1、i、j、k滿足i2=j2=k2=ijk=-1,H中每一個元素可表示為q=x0+x1i+x2j+x3k,其中x0,x1,x2,x3,∈R,q的實部定義為:Re(q)=x0,q的虛部定義為:Im(q)=x1i+x2j+x3k,q的共軛定義為:

(1)〈u,vp+w〉=〈u,v〉p+〈u,w〉,?p∈ H,?u,v,w∈H；

(3)若u∈H,則〈u,u〉≥0,〈u,u〉=0當(dāng)且僅當(dāng)u=θ,θ為H中零元素,就稱此映射為H-模H上一個Hermitian四元數(shù)內(nèi)積。

范數(shù)‖·‖滿足三角不等式,即‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖,?u,v∈H.

由范數(shù)‖·‖的非負性與三角不等式可知

d(u,v):=‖u-v‖,?u,v∈H

在H上定義了一個距離。如果距離空間是完備的,就稱準Hilbert空間H為Hilbert空間。

注:u與v為H線性相關(guān)是指存在q∈H滿足u=vq.

Hermitian四元數(shù)內(nèi)積滿足標準的Cauchy-Schwarz不等式。

定理1.1 |〈u,v〉|≤‖u‖‖v‖,?u,v∈H,其中“=”成立，當(dāng)且僅當(dāng)u與v為H線性相關(guān)。

證： ?u,v∈H且‖v‖≠0,有u-v〈u,v‖v‖-1〉‖v‖-1⊥v‖v‖-1,

即得|〈u,v〉|≤‖u‖‖v‖.

‖v‖=0時,v=θ,即得|〈u,v〉|=0=‖u‖‖v‖.

如果當(dāng)u與v為H線性相關(guān),即?q∈H,u=vq, 那么‖u‖‖v‖=|q|‖v‖2=|〈u,v〉|,即“=”成立。

如果不等式“=”成立,易得u=v〈u,v‖v‖-1〉‖v‖-1或v=0,即u與v為H線性相關(guān)。

綜上可得不等式成立。

2 廣義內(nèi)積與Beckenbach不等式的推廣

2.1 向量數(shù)為3的情形

定義2.1.1 設(shè)f1,f2,v∈H,稱[f1,f2;v]=〈f1,f2〉〈v,v〉-〈f1,v〉〈v,f2〉為3向量f1,f2,v的廣義內(nèi)積。

定理2.1.1 設(shè)a1,a2,p∈H,f1,f2,g1,g2,f,v∈H,則下列結(jié)論成立,

(2)[f1+f2,g1+g2;v]=[f1,g1;v]+[f1,g2;v]+[f2,g1;v]+[f2,g2;v]；

(4)[f,v;v]=0,其中f,v∈H；

(5)[f,f;v]≥0,當(dāng)且僅當(dāng)f與v線性相關(guān)時“=”成立,其中f,v∈H；

證:(1)[f1a1,f2a2;vp]

=〈f1a1,f2a2〉〈vp,vp〉-〈f1a1,vp〉〈vp,f2a2〉

(2)[f1+f2,g1+g2;v]

=〈f1+f2,g1+g2〉〈v,v〉-〈f1+f2,v〉〈v,g1+g2〉

=(〈f1,g1〉+〈f1,g2〉+〈f2,g1〉+〈f2,g2〉)

〈v,v〉-(〈f1,v〉+〈f2,v〉)(〈v,g1〉+〈v,g2〉)

=〈f1,g1〉〈v,v〉-〈f1,v〉〈v,g1〉+〈f1,g2〉

〈v,v〉-〈f1,v〉〈v,g2〉+〈f2,g1〉〈v,v〉-〈f2,v〉

〈v,g1〉+〈f2,g2〉〈v,v〉-〈f2,v〉〈v,g2〉

=〈f1,g1;v〉+〈f1,g2;v〉+〈f2,g1;v〉+〈f2,g2;v〉.

=〈f2,f1〉〈v,v〉-〈f2,v〉〈v,f1〉=[f2,f1;v].

(4)由定義顯然.

(5)由Cauchy-Schwarz 不等式有

當(dāng)且僅當(dāng)f與v線性相關(guān)時“=”成立。

政府公共服務(wù)必須面向大眾而與此同時大眾更是服務(wù)提供者的監(jiān)督主體，必須在社會上形成公眾參與公共服務(wù)的大氛圍，公眾要了解政府提供公共服務(wù)的標準、范圍及內(nèi)容，同時又支持促進公共服務(wù)的發(fā)展。政府往往提供單一、陳舊的公共服務(wù)，不能體察民眾之需求，提供的公共服務(wù)內(nèi)容和形式難以與公眾對公共服務(wù)需求日益增長和改變相適應(yīng)。

(6)當(dāng)v=θ時,[f1,f2;v]=[f1,f1;v]=[f2,f2;v]=0,“=”成立.

當(dāng)v≠θ時,設(shè)v‖v‖-1=e∈H,‖e‖=1.取p=〈e,f1〉∈H,q=〈e,f2〉∈H.

即得f1-ep⊥e,f2-eq⊥e.

此時,‖f1‖2=‖(f1-ep)+ep‖2=‖(f1-ep)‖2+‖ep‖2.

同理可得‖(f2-eq)‖2=[f2,f2;e].

注:定理2.1.1中(6)為Beckenbach不等式推廣到3向量廣義內(nèi)積的結(jié)論,也為3向量廣義內(nèi)積的Cauchy-Schwarz不等式。

定理2.1.2

2.2 向量數(shù)為4的情形

定義2.2.1設(shè)f1,f2,f3,v∈H,稱[f1,f2,f3;v]=[f1,f3;v][f2,f2;v]-[f1,f2;v][f2,f3;v]為4向量f1,f2,f3,v的廣義內(nèi)積.

定理2.2.1設(shè)a1,a2,a3,p∈H,f1,f2,f3,f,g1,g3,g,v∈H,下列結(jié)論成立,

[f1,f2,f3;v]a3；

(2)[f1+g1,f2,f3+g3;v]=[f1,f2,f3;v]+[f1,f2,g3;v]+[g1,f2,f3;v]+[g1,f2,g3;v]；

(4)[f,g,v;v]=0,其中f,g,v∈H；

(5)[f,g,f;v]≥0,當(dāng)且僅當(dāng)v=θ或f-v〈v,f〉‖v‖-2與g-v〈v,g〉‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立，其中f,g,v∈H；

證:(1)[f1a1,f2a2,f3a3;vp]=[f1a1,f3a3;vp]

[f2a2,f2a2;vp]-[f1a1,f2a2;vp][f2a2,f3a3;vp]

(2)[f1+g1,f2,f3+g3;v]=[f1+g1,f3+g3;v]

[f2,f2;v]-[f1+g1,f2;v][f2,f3+g3;v]

={[f1,f3;v]+[f1,g3;v]+[g1,f3;v]+[g1,g3;v]}[f2,f2;v]-{[f1,f2;v]+[g1,f2;v]}{[f2,f3;v]+[f2,g3;v]}

=[f1,f2,f3;v]+[f1,f2,g3;v]+[g1,f2,f3;v]+[g1,f2,g3;v].

=[f2,f2;v][f3,f1;v]-[f3,f2;v][f2,f1;v]

=[f3,f2,f1;v].

(4)由定義顯然.

(5)由定理2.1.1中(6)即得

僅當(dāng)v=θ或f-v〈v,f〉‖v‖-2與g-v〈v,g〉 ‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立,其中f,g,v∈H.

(6)由定理2.1.1中(6),對?p∈R,q∈H;f1,f2,f3,v∈H,有

[f1p+f3q,f1p+f3q;v][f2,f2;v]-[f1p+f3q,f2;v][f2,f1p+f3q;v]≥0.

即得

即得

當(dāng)[f1,f1;v][f2,f2;v]-[f1,f2;v][f2,f1;v]>0時,由上式對?p∈R成立有

Re2{[f1,f3;v][f2,f2;v]q-[f1,f2;v][f2,f3;v]q}≤{[f1,f1;v][f2,f2;v]-[f1,f2;v][f2,f1;v]}

當(dāng)[f1,f1;v][f2,f2;v]-[f1,f2;v][f2,f1;v]=0時,即[f1,f2,f1;v]=0,由定理2.1.1有v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與f2-v〈v,f2〉‖v‖-2線性相關(guān)。

[f1,f2,f3;v]=[f1,(f1-v〈v,f1〉‖v‖-2)k+v〈v,f2〉‖v‖-2,f3;v]=0,

當(dāng)v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與f3-v〈v,f3〉

‖v‖-2線性相關(guān)時,設(shè)

f3=(f1-v〈v,f1〉‖v‖-2)k+v〈v,f3〉

‖v‖-2,k∈H,

經(jīng)計算可得

注:定理2.2.1中(6)為Beckenbach不等式推廣到4向量廣義內(nèi)積的結(jié)論,也為4向量廣義內(nèi)積的Cauchy-Schwarz不等式。

證:

其中f1,f2,…,fm,g1,g2,…,n,u,v∈H.

2.3 向量數(shù)為m(m>3)的情形

一般地可以給出n+2個向量的內(nèi)積。

定義2.3.1設(shè)n>1且n∈N+,f1,f2,…,fn,fn+1,v∈H,稱

[f1,f2,…,fn,fn+1;v]=[f1,f2,…,fn-1,fn+1;v][fn,f2,…,fn-1,fn;v]-[f1,f2,…,fn-1,fn;v][fn,f2,…,fn-1,fn+1;v]

為n+2個向量f1,f2,…,fn,fn+1,v的廣義內(nèi)積。

n∈N+,n≥1,n+2個向量內(nèi)積都稱為廣義內(nèi)積。

定理2.3.1設(shè)n>1且n∈N+,a1,a2,…,an,p∈H,f1,f2,…,fn,g1,gn,v∈H,下列結(jié)論成立,

(1)[f1a1,f2a2,…,fn-1an-1,fnan;vp]

(2)[f1+g1,f2,…,fn-1,fn+gn;v]

=[f1,f2,…,fn-1,fn;v]+[f1,f2,…,fn-1,gn;v]+[g1,f2,…,fn-1,fn;v]+[g1,f2,…,fn-1,gn;v]；

(4)[f1,f2,…,fn-1,v;v]=0；

(5)[f1,f2,…,fn-1,f1;v]≥0；

≤[f1,f2,…,fn-1,f1;v][fn,f2,…,fn-1,fn;v],

當(dāng)v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fn-v

〈v,fn〉‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立。

證:n=2,由定理2.1.1得結(jié)論成立；

n=3,由定理2.2.1得結(jié)論成立；

假設(shè)n=k>1且k∈N+時，結(jié)論成立,即假設(shè)以下(1)′—(6)′成立,

(1)′[f1a1,f2a2,…,fk-1ak-1,fkak;vp]

(2)′[f1+g1,f2,…,fk-1,fk+gk;v]

=[f1,f2,…,fk-1,fk;v]+[f1,f2,…,fk-1,gk;v]+[g1,f2,…,fk-1,fk;v]+[g1,f2,…,fk-1,gk;v]；

(4)′[f1,f2,…,fk-1,v;v]=0；

(5)′[f1,f2,…,fk-1,f1;v]≥0；

[fk,f2,…,fk-1,fk;v]，當(dāng)且僅當(dāng)v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fk-v〈v,fk〉‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立。

以下證當(dāng)n=k+1時,(1)—(6)成立。

當(dāng)n=k+1時,[f1a1,f2a2,…,fkak,fk+1ak+1;vp]

=[f1a1,f2a2,…,fk-1ak-1,fk+1ak+1;vp][fkak,f2a2,…,fk-1ak-1,fkak;vp]-[f1a1,f2a2,…,fk-1ak-1,fkak;vp][fkak,f2a2,…,fk-1ak-1,fk+1ak+1;vp]

即對n>1,(1)成立。

當(dāng)n=k+1時,

[f1+g1,f2,…,fk,fk+1+gk+1;v]

=[f1+g1,f2,…,fk-1,fk+1+gk+1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]-[f1+g1,f2,…,fk-1,fk;v][fk,f2,…,fk-1,fk+1+gk+1;v]

=([f1,f2,…,fk-1,fk+1;v]+[f1,f2,…,fk-1,gk+1;v]+[g1,f2,…,fk-1,fk+1;v]+[g1,f2,…,fk-1,gk+1;v])

[fk,f2,…,fk-1,fk;v]-([f1,f2,…,fk-1,fk;v]+

[g1,f2,…,fk-1,fk;v])([fk,f2,…,fk-1,fk+1;v]+

[fk,f2,…,fk-1,gk+1;v])

=[f1,f2,…,fk,fk+1;v]+[f1,f2,…,fk,gk+1;v]+[g1,f2,…,fk,fk+1;v]+[g1,f2,…,fk,gk+1;v]

即對n>1,(2)成立。

當(dāng)n=k+1時,

=[fk+1,f2,…,fk-1,f1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]-

[fk+1,f2,…,fk-1,fk;v][fk,f2,…,fk-1,f1;v]

=[fk+1,f2,…,fk-1,fk,f1;v]

即對n>1,(3)成立。

當(dāng)n=k+1時,

[f1,f2,…,fk-1,fk,v;v]

=[f1,f2,…,fk-1,v;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]-

[f1,f2,…,fk-1,fk;v][fk,f2,…,fk-1,v;v]

=0

即對n>1,(4)成立。

當(dāng)n=k+1時，

[f1,f2,…,fk-1,fk,f1;v]

=[f1,f2,…,fk-1,f1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]-

[f1,f2,…,fk-1,fk;v][fk,f2,…,fk-1,f1;v]

≥0

即對n>1,(5)成立。

當(dāng)n=k+1時,只要證

[fk+1,f2,…,fk,fk+1;v],當(dāng)且僅當(dāng)v=0或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fk+1-v〈v,fk+1〉‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立。

由歸納假設(shè),對?p∈R,q∈H;f1,f2,…,fk+1,v∈H,有

[f1p+fk+1q,f2,…,fk-1,f1p+fk+1q;v]

[fk,f2,…,fk-1,fk;v]-[f1p+fk+1q,f2,…,fk;v]

[fk,f2,…,fk-1,f1p+fk+1q;v]≥0,

即得

([fk,f2,…,fk-1,f1;v]p+[fk,f2,…,fk-1,fk+1;v]q)≥0，

即得

{[f1,f2,…,fk-1,f1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]

-[f1,f2,…,fk;v][fk,f2,…,fk,f1;v]}p2

+2Re{[f1,f2,…,fk-1,fk+1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]q

-[f1,f2,…,fk;v][fk,f2,…,fk-1,fk+1;v]q}p

+{[fk+1,f2,…,fk-1,fk+1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]

當(dāng)[f1,f2,…,fk-1,f1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]

>[f1,f2,…,fk-1,fk;v][fk,f2,…,fk,f1;v]時,

由上式對?p∈R成立有

Re2{[f1,f2,…,fk-1,fk+1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]q-[f1,f2,…,fk,;v][fk,f2,…,fk,fk+1;v]q}

≤{[f1,f2,…,fk-1,f1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]-

即得Re2{[f1,f2,…,fk,fk+1;v]q}

取q=[fk+1,f2,…,fk,f1;v]≠0,有

[fk+1,f2,…,fk,fk+1;v].

取q=[fk+1,f2,…,fk,f1;v]=0,有

[fk+1,f2,…,fk+1,fk+1;v].

當(dāng)[f1,f2,…,fk-1,f1;v][fk,f2,…,fk-1,fk;v]=[f1,f2,…,fk-1,fk;v][fk,f2,…,fk-1,f1;v]時,由歸納假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fk-v〈v,fk〉‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立。

即[f1,f2,…,fk,f1;v]=0,當(dāng)且僅當(dāng)v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fk-v〈v,fk〉‖v‖-2線性相關(guān)時“=”成立。

此時由廣義內(nèi)積定義與v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fk-v〈v,fk〉‖v‖-2線性相關(guān)經(jīng)計算得

[f1,f2,…,fk,fk+1;v]=0,

[fk+1,f2,…,fk,fk+1;v]=0.

當(dāng)v=θ或f1-v〈v,f1〉‖v‖-2與fk+1-v〈v,fk+1〉‖v‖-2線性相關(guān)時,設(shè)

fk+1=(f1-v〈v,f1〉‖v‖-2)λ+v〈v,fk+1〉 ‖v‖-2,λ∈H,經(jīng)計算可得

[fk+1,f2,…,fk,fk+1;v].

其中f1,f2,…,fk+1,v∈H.

即對n>1,(6)成立。

綜上可知定理成立。

注:定理2.3.1中(6)為Beckenbach不等式推廣到n向量廣義內(nèi)積的結(jié)論,也為n向量廣義內(nèi)積的Cauchy-Schwarz不等式。

其中f,f1,f2,…,fn,u1,u2,…,uk,v∈H.

v])|2,fi;v]).

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