一道高中數(shù)學(xué)畢業(yè)會(huì)考題的多種解法與教學(xué)建議

夏順友，王常春，陳治友，汪少祖，劉益波

(1.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018；2. 遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006；3.貴陽學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550005)

0 引言

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)學(xué)理論，是培養(yǎng)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)的重要內(nèi)容之一。高中數(shù)學(xué)的解析幾何內(nèi)容主要以五種曲線(直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線)的定義(滿足某種性質(zhì)的動(dòng)點(diǎn)集合)、代數(shù)形式(各種形式的方程表示)、性質(zhì)(利用方程中系數(shù)特征進(jìn)行分析)以及各種曲線之間關(guān)系(利用方程系數(shù)或方程組解情況研究)作為核心研究內(nèi)容。但是由于該部分內(nèi)容關(guān)鍵是從幾何到代數(shù)的方程(組)建立和由方程來確定幾何性質(zhì)、幾何關(guān)系等，需要較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思維，因此是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難題之一。

高中解析幾何所包含的基本知識(shí)涵蓋五種曲線的定義表述、方程表述、性質(zhì)特征，以及直線、圓與圓錐曲線綜合問題。另外還涉及五種曲線的極坐標(biāo)和參數(shù)方程。在綜合考核中該部分內(nèi)容常與平面幾何、函數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容、思想方法結(jié)合考查，增加了難度。

下面先簡述解析幾何的核心知識(shí)，然后給出2019年12月貴州省高中數(shù)學(xué)畢業(yè)會(huì)考數(shù)學(xué)第43題(解析幾何綜合題)的多種解法，接下來提出關(guān)于解析幾何教學(xué)的幾點(diǎn)建議。

1 解析幾何的核心知識(shí)概要

1.1 直線的核心知識(shí)

直線的核心知識(shí)包括：直線的傾斜角、斜率概念、范圍，斜率計(jì)算公式，以及兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系，要注意的特殊情形；直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程、斜截式方程、兩點(diǎn)式方程和截距式方程以及參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程；兩直線平行、垂直的關(guān)系判定及其逆問題；點(diǎn)到直線距離、相交直線夾角和平行線間距離計(jì)算公式；直線族問題等。

注：確定直線一般需要兩個(gè)獨(dú)立條件。如已知其過已知點(diǎn)加上斜率兩個(gè)條件等；特殊直線：垂直于坐標(biāo)軸、過原點(diǎn)的特征。

1.2 圓的核心知識(shí)

圓的核心知識(shí)包括：圓的定義、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。確定圓的關(guān)鍵是圓心與半徑;直線與圓、圓與圓的關(guān)系以及德爾塔方法，圓心與直線距離及圓心與圓心之間的距離同半徑關(guān)系判定方法;另外是圓的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程。

注：解題中要特別注意圓的一些幾何特征，如垂徑定理等等。還要注意恰當(dāng)方程的選取。

1.3 圓錐曲線的核心知識(shí)

圓錐曲線的核心知識(shí)包括：圓錐曲線的第一、二定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，頂點(diǎn)、焦點(diǎn)，準(zhǔn)線、漸近線，長短軸、實(shí)虛軸，切線、割線，切線長、弦長，中點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦等問題。

注：確定方程需要兩個(gè)獨(dú)立條件(拋物線僅一個(gè))。切線問題對(duì)圓、橢圓與雙曲線、拋物線差別(封閉曲線的切線的特殊性)。割線與弦長、中點(diǎn)弦和焦點(diǎn)弦特征和一般計(jì)算方法及公式。

2 學(xué)生答題基本情況和該題的分析及多種解法

2019年貴州省高中數(shù)學(xué)畢業(yè)會(huì)考第43題是關(guān)于解析幾何中直線與圓的方程及直線與圓的關(guān)系，并綜合不等式、平面幾何、參數(shù)方程、三角函數(shù)和函數(shù)最值的題目。其題目如下：

本題滿分為10分，(1)與(2)分別為5分和5分?？傇嚲?萬多份，根據(jù)評(píng)卷系統(tǒng)的最后統(tǒng)計(jì)結(jié)果，本題平均得分在包含零分卷時(shí)是2.08，如果不包含零分卷時(shí)，則平均得分是4.31。具體說來，得分為8分至10分的考生比例是1.5%，而得分為4分至7分的考生比例是26.29%，得分為0.5分至3分的考生比例是16.69%，得分為0分的考生比例是51.79%。這說明考生總體上對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法掌握得不好，能拿到本題的優(yōu)良分?jǐn)?shù)的考生不到2%。接近半數(shù)考生雖然能答對(duì)問題的(1)部分，但是在準(zhǔn)確表達(dá)上還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，并且基本沒有利用直線與圓的平面幾何特征簡潔求解的。特別是問題(2)，絕大部分考生不能求解。還有半數(shù)以上的考生對(duì)直線與圓的方程等基本知識(shí)沒有掌握。

該題在考核直線與圓的概念、方程及關(guān)系的核心知識(shí)和方法之外，綜合考核了有約束條件下的函數(shù)的最值問題的建模和求解，考核了學(xué)生的綜合分析和解決問題能力，是此次考試中難度最大的題目。

下面先給出該題問題(1)的多種解法。其中解法一是命題者給出的參考解答。

圓心O到直線l的距離為:

注：命題者意圖是直線方程的點(diǎn)斜式，一般式，圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式. 直線與圓相切的判定方法.

因此，圓O的方程為x2+y2=4.

注：該法借助幾何性質(zhì)，比較直接簡單。

解法三：設(shè)直線l與圓O交點(diǎn)為C,D(左下右上)，C(x1,y1),D(x2,y2)，則

再設(shè)圓O的方程為x2+y2=r2，聯(lián)立直線方程得：

x2+3(x+2)2=r2，即4x2+12x+12-r2=0.

注：該法利用直線與二次曲線截得弦長的一般計(jì)算方法并結(jié)合幾何特征。

解法四：設(shè)直線l與圓O交點(diǎn)為C,D(左下右上)，C(x1,y1),D(x2,y2)，則

再設(shè)圓O的方程為x2+y2=r2，聯(lián)立直線方程得：

x2+3(x+2)2=r2，即4x2+12x+12-r2=0.

注：該法利用直線與二次曲線截得弦長的一般計(jì)算方法并結(jié)合待定系數(shù)法。

下面再給出該題問題(2)的多種解法。其中解法一是命題者給出的參考解答。

解法一：因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)(x≥0)在圓O上，所以

x2+y2=4.

又A(-2,0),B(4,0)，則

|PA|2=(x+2)2+y2=4x+8，

|PB|2=(x-4)2+y2=20-8x.

所以有

令u=8x+16,v=20-8x，則u+v=36.

因?yàn)?≤x≤2，所以16≤u≤32,4≤v≤20.

u=24,v=12

注：命題者意圖是考核化歸思想方法和均值不等式求解最值問題。

解法二：因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)(x≥0)在圓O上，所以

x2+y2=4.

又A(-2,0),B(4,0)，則有

|PA|2=(x+2)2+y2=4x+8，

|PB|2=(x-4)2+y2=20-8x.

于是由f′(x)=0得，x=1,x=7.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)(x≥0)在圓O上，所以0≤x≤2.

因此x=1是所求最小值點(diǎn)。

注：該法是化歸為函數(shù)最值問題。

|PA|2=(2cosθ+2)2+(2sinθ)2=8(cosθ+1)

|PB|2=(2cosθ-4)2+(2sinθ)2=4(5-4cosθ)所以有

注：該法是利用圓的參數(shù)方程，再化歸所求問題為含三角函數(shù)的函數(shù)的最值問題。

|PA|2=(2cosθ+2)2+(2sinθ)2=8(cosθ+1)

|PB|2=(2cosθ-4)2+(2sinθ)2=4(5-4cosθ)

所以有

令u=16cosθ+16,v=20-16cosθ，則有

u+v=36.

u=24,v=12.

注：該法是利用圓的參數(shù)方程，再把所求問題化歸為均值不等式求最值問題。

雖然題目涉及直線與圓，是解析幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是不能就認(rèn)為其簡單。因?yàn)橹本€方程的選取可以是幾種形式之一，圓的方程也可以是幾種形式之一，不同選取的組合會(huì)產(chǎn)生其它不同解答過程(在此略去)。

另外，在第二問解答中出現(xiàn)一些考生對(duì)

連續(xù)作兩次均值不等式，在第二次時(shí)斷定PA=PB時(shí)取得最小值。盡管結(jié)果會(huì)正確，但其解法有缺陷。原因是兩次均值不等式取等號(hào)的條件不同，僅用第二次取等號(hào)得出結(jié)論，需要證明沒有逾越第一次均值不等式成立的范圍。

3 關(guān)于高中解析幾何教學(xué)的幾點(diǎn)建議

高中解析幾何主要內(nèi)容是將直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線這五種曲線在合適的平面直角坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)化為二元一次方程(僅直線)或二元二次方程，然后通過研究方程(組)來研究曲線等具有的性質(zhì)和關(guān)系。因?yàn)榇鷶?shù)化以后，距離、夾角、面積和平行、垂直、相切以及弦長等問題都可以通過涉及方程系數(shù)的相關(guān)計(jì)算進(jìn)行。不僅由于各種曲線的方程表示有幾種情形，導(dǎo)致解決問題在選擇上不一定唯一，從而體現(xiàn)靈活性，而且由于平面幾何中計(jì)算和證明問題涉及較多點(diǎn)，如距離、面積和夾角等，從而容易與純幾何、函數(shù)、三角等內(nèi)容綜合考查。因此是考核綜合分析解決問題能力的重要內(nèi)容之一。

(1)重視平面幾何的基本知識(shí)的幾何集合表述到代數(shù)表述的理解與訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生從幾何到代數(shù)的建模思想方法和能力。

建議從平面直角坐標(biāo)系針對(duì)點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)開始使學(xué)生建立形與數(shù)的對(duì)應(yīng)方法。 然后針對(duì)五種曲線(除直線外)定義出發(fā)建立方程的思想方法。這樣重點(diǎn)培養(yǎng)由形到數(shù)(方程或方程組)的幾何問題之代數(shù)表示思想方法。

(2)在建立曲線的代數(shù)表示(方程)后，強(qiáng)化如何利用方程的系數(shù)研究平行、垂直、相切和相交關(guān)系以及距離、夾角、弦長等計(jì)算方法與分析能力。

建議以直線和圓的相關(guān)內(nèi)容為該要點(diǎn)的基礎(chǔ)，避免許多教師和學(xué)生誤以為此部分屬于比較簡單的知識(shí)。然后以圓錐曲線部分為強(qiáng)化與提高。重視思維誤區(qū)點(diǎn)的點(diǎn)撥，一般方法與特殊情況的不同對(duì)待，綜合問題的拆分與組合等訓(xùn)練與強(qiáng)化。

(3)對(duì)綜合問題要恰當(dāng)分類對(duì)待，如直線與二次曲線相切、相交中的問題以及分類，以便清楚常規(guī)類型和常規(guī)方法的深刻理解與應(yīng)用。

建議從直線與圓的三種關(guān)系開始，重點(diǎn)突出常規(guī)方法，如德爾塔法和距離法等，強(qiáng)調(diào)在方程、方法、關(guān)系等選取上的不同會(huì)導(dǎo)致各種不同的求解過程，培養(yǎng)發(fā)散的靈活的思維能力。在教授圓錐曲線與直線關(guān)系時(shí)，先在直線與橢圓的關(guān)系和圓與直線的關(guān)系的比較上下功夫，再研究雙曲線和拋物線與直線的關(guān)系處理的不同和相同之處。在“定”與“變”問題上下苦功夫。具體教學(xué)理論、策略和方法等可參考文獻(xiàn)[1-4]。