基于隴南鄉(xiāng)村振興的輸油管線布置中數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用

高婷婷 張明會

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?鄉(xiāng)村振興是國家戰(zhàn)略，鄉(xiāng)村振興最主要的是發(fā)展產(chǎn)業(yè)，而基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)就是重中之重，根據(jù)某油田計劃在隴南某鐵路一側(cè)建設(shè)兩家煉油廠，并在鐵路上增建一個車站，來運送成品油，使管線建設(shè)費用最省的問題，考慮兩家煉油廠和鐵路的各種位置關(guān)系以及管線是否共用等多種情況，建立了該問題的多元函數(shù)模型，將費用的最省問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的最小值問題。通過判斷多元函數(shù)在駐點處Hesse矩陣的正定性，獲得了該模型最小值存在的充分條件，得到了最佳管線布置方案。在兩家煉油廠位置完全確定的情況下，利用Matlab軟件，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)，在費用最省的情況下模擬出了兩家煉油廠及車站間管線的分布，從而驗證了所建數(shù)學(xué)模型是比較可靠的。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?函數(shù)模型;最小值;偏導(dǎo)數(shù);Hesse矩陣;正定矩陣

[中圖分類號] ?TU990.3 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2020）50-0088-02

一、問題的提出

隨著隴南市經(jīng)濟社會的不斷發(fā)展，尤其是電子商務(wù)助推隴南鄉(xiāng)村振興的關(guān)鍵時刻，各行各業(yè)對石油的需求量也越來越大。為在隴南某鐵路沿線建造煉油廠并增建火車站，來生產(chǎn)成品油和增加成品油的運送量將顯得十分必要?，F(xiàn)今某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運輸生產(chǎn)的成品油。對此，設(shè)計院要考慮這兩家煉油廠和增建的車站選在何處、輸油管線如何鋪設(shè)，才會使輸油管線建設(shè)費用最省。

1.針對A、B兩家煉油廠到鐵路距離和兩煉油廠間距離的不同情形，以及是否共用輸油管，設(shè)計輸油管線布置的最佳方案。

2.針對A、B兩家煉油廠選址分別選在郊區(qū)與城區(qū)，并且在城區(qū)鋪設(shè)輸油管時還需考慮拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M的情形，在所有管線建設(shè)費用均相同的情況下，設(shè)計輸油管線布置的最佳方案。

3.在問題2的基礎(chǔ)上，根據(jù)A、B兩家煉油廠生產(chǎn)能力不同而選用不同的輸油管線，且共同管線費用也不同的情形，設(shè)計輸油管線布置的最佳方案。

二、假設(shè)與符號說明

（一）必要的假設(shè)

為使問題簡化，討論方便，現(xiàn)做如下假設(shè)：

1.不考慮地形、地貌對管線鋪設(shè)的影響，認(rèn)為煉油廠A、B和鐵路線在同一水平面上。

2.不考慮鐵路線和輸油管線的彎曲程度，認(rèn)為在煉油廠的附近鐵路線和輸油管線都是直線型，可以看作幾何中的線段處理。

3.不考慮煉油廠和車站的建設(shè)費用。

（二）符號說明

在文中如無特殊說明，以下字母具有特定含義。

1.大寫字母A、B表示擬建修的煉油廠的位置，也表示煉油廠，不再區(qū)分。

2.大寫字母P表示擬增建的車站位置，也表示車站，不再區(qū)分。

3.小寫字母a、b表示煉油廠A和B到鐵路線的垂直距離。

4.字母組AC、BD表示煉油廠A和B到鐵路線的垂線段。

5.小寫字母l表示兩煉油廠在鐵路線上的垂足C和D間的距離。

6.字母kA、kB表示單獨向A和B兩煉油廠鋪設(shè)輸油管線時，每千米輸油管線的費用，kAB表示A和B兩煉油廠共同鋪設(shè)輸油管線時每千米輸油管線的費用，kC表示在城區(qū)鋪設(shè)輸油管線時的附加費用。

三、模型的建立與求解

（一）簡單環(huán)境，管線費用相同

簡單環(huán)境，就是不考慮兩煉油廠的周邊環(huán)境和其他附加費用。下面分別討論兩種情況。

1.垂直

若兩煉油廠的連線與鐵路線垂直，如圖1。

由“點到直線，垂線段最短”的幾何知識，可將AB與鐵路的交點C作為擬建車站P的選址，下面分別討論共用輸油管線和不共用輸油管線時的費用。

（1）若兩煉油廠的輸油管線不共用，各自單獨鋪設(shè)，并設(shè)kA=kB，則總費用表示為f1=akA+bkB=（a+b）kA

（2）若兩煉油廠共用長度為s（s∈[0，a]）的輸油管線，其余輸油管線單獨鋪設(shè)，則總費用表示為f2=（a-s）kA+（b-s）kB+skAB=（a+b）kA+（kAB-2kA）s

為比較兩種鋪設(shè)方案費用的多少，取F=f2-f1=（kAB-2kA）s

2.不垂直

若兩煉油廠的連線與鐵路線不垂直，如圖2。

下面分別討論共用輸油管線和不共用輸油管線時的費用。

★若A、B兩煉油廠的輸油管線單獨鋪設(shè)，不共用輸油管線，且設(shè)kA=kB.

以鐵路CD為x軸，以CA為y軸，建立坐標(biāo)系。則A（0，a），C（0，0），B（l，b），D（l，0），設(shè)P（x，0），則由兩點距離公式有PA=，PB=

（1）當(dāng)a、b同時為0時，即兩個煉油廠均建在鐵路邊，且相距l(xiāng)時，其費用表示為：g（x）=PAkA+PBkB=xkA+（l-x）kB=lkA

車站可建在CD的任一點，費用均相同。

（2）當(dāng)a、b不同時為0時，則輸油管線費用函數(shù)表示為：g（x）=PAkA+PBkB=kA+kB=（+）kA

要使費用最少，即函數(shù)g（x）取最小值。

由一元函數(shù)取最小值的條件：

①g′（x0）=0，②g"（x0）>0.

令g′（x0）=0，得x0=，容易驗證g"〔〕>0，

即當(dāng)車站建在距離C點為時費用最省，最省費用為：g〔〕=kA=kA

此時管線的鋪設(shè)方案見圖2。

若兩煉油廠A和B共用部分輸油管線，仍設(shè)車站為P（x，0），共用輸油管線的長度為y，如圖3。

即當(dāng)車站建在距離C點為6.732千米，共用輸油管線的長度為0.14千米，點Q到鐵路線的距離為7.282千米時費用最省，最省費用為：252.474萬元。

參考文獻：

[1]王汝發(fā).數(shù)學(xué)模型[M].蘭州：甘肅教育出版社，2000.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊，等.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

編輯 馬燕萍

①基金項目：2018年度隴南市哲學(xué)社會科學(xué)研究項目“利用數(shù)學(xué)建模思想對隴南電商助力鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略的分析與模式研究”（項目編號：18LNSK20）的研究成果。

作者簡介：高婷婷（1979—），女，漢族，甘肅禮縣人，本科，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。