緊扣核心知識，精準(zhǔn)指導(dǎo)備考

溫紅春 農(nóng)學(xué)寧

【摘要】本文以中考備考專題復(fù)習(xí)“一次函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)為例，闡述以廣西特級教師戴啟猛提出的“四度六步”教學(xué)法為主體框架設(shè)計中考復(fù)習(xí)課的途徑，以期讓中考備考復(fù)習(xí)更精準(zhǔn)高效。

【關(guān)鍵詞】“四度六步”教學(xué)法 應(yīng)用題 中考備考

一次函數(shù)的應(yīng)用

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）25-0139-05

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課是初中備考中常見的課型，是畢業(yè)班教師和學(xué)生都要經(jīng)歷的一個備考環(huán)節(jié)。“如何讓中考備考的復(fù)習(xí)精準(zhǔn)高效”是大多數(shù)畢業(yè)班教師課堂教學(xué)中面臨的一大問題。本文筆者以中考應(yīng)用類問題的課例研究為基礎(chǔ)，對中考備考的教學(xué)模式和主要難點的突破方法進(jìn)行探討。

一、“四度六步”教學(xué)法簡述

“四度六步”教學(xué)法是廣西特級教師戴啟猛依據(jù)多年的課堂教學(xué)實踐總結(jié)出的一套創(chuàng)造更加精彩數(shù)學(xué)課堂教學(xué)法。這套教學(xué)法以追求有溫度、梯度、深度、寬度課堂為目標(biāo)，通過“溫故”——復(fù)習(xí)提問、溫故孕新，“引新”——創(chuàng)設(shè)情境、引入課題，“探究”——合作探究、活動領(lǐng)悟，“變式”——師生互動、變式深化，“嘗試”——嘗試練習(xí)、鞏固提高，“提升”——適時小結(jié)、興趣延伸這六步教學(xué)環(huán)節(jié)來完成有效教學(xué)。本節(jié)課例雖為中考備考復(fù)習(xí)課，但也是以這個教學(xué)法為主體框架進(jìn)行設(shè)計的，取得了較好的實踐效果。

二、教學(xué)過程精要記錄

（一）“溫故”——復(fù)習(xí)提問、溫故孕新

1.知識溫故

師：一次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的重要模型，其建模和知識結(jié)構(gòu)可以通過以下框圖體現(xiàn)。

設(shè)計意圖：回顧一次函數(shù)的核心知識，梳理函數(shù)模型解決實際問題的過程。

2.例題溫故：回顧課本一次函數(shù)的應(yīng)用——19.3課題學(xué)習(xí) 選擇方案

提問：這兩道題的題目背景是什么？

師生活動1：學(xué)生回顧課本，問題1是上網(wǎng)收費問題，問題2是租車問題。

追問：題目是如何考查一次函數(shù)的？

師生活動2：根據(jù)題目所給條件，列出一次函數(shù)解析式，通過數(shù)形結(jié)合，觀察一次函數(shù)的圖象，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步回顧課本中的重點例題，回想解決這類問題的方法，引起學(xué)生對課本內(nèi)容的重視，也為后續(xù)的“引新”鋪墊，從課本題到中考題，讓學(xué)生體會這一過程的考查梯度的變化。

（二）“引新”——創(chuàng)設(shè)情境、引入課題

教師帶領(lǐng)學(xué)生聚焦中考，回顧近5年中考實際問題的考法及知識點。

2015年：面積造價問題;考查的形式是代數(shù)式+一元二次方程+一次函數(shù);

2016年：工程問題;考查形式是分式方程+一次函數(shù)+反比例函數(shù);

2017年：圖書借閱增長率問題;考查形式是一元二次方程 +一元一次不等式;

2018年：貨物運費問題;考查形式是二元一次方程組+一次函數(shù);

2019年：購物配套問題;考查形式是分式方程+一元一次方程、代數(shù)式+一次函數(shù)。

師：比較發(fā)現(xiàn)，2015年至2019年中考中有四年考查了一次函數(shù)的內(nèi)容，一次函數(shù)是中考應(yīng)用題中的高頻考查知識點。結(jié)合對課本例題和中考題的分析，你獲得怎樣的啟發(fā)？現(xiàn)在我們一起進(jìn)行專題復(fù)習(xí)——實際問題與一次函數(shù)。

設(shè)計意圖：通過呈現(xiàn)中考題型，梳理和對比這幾年中考實際問題的考查形式，讓學(xué)生了解到一次函數(shù)是中考應(yīng)用題考查的“核心知識”，從而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（三）“探究”——合作探究、活動領(lǐng)悟

探究題：某商店銷售一部A型手機(jī)比銷售一部B型手機(jī)獲得的利潤多50元，銷售相同數(shù)量A型手機(jī)和B型手機(jī)獲得的利潤分別為3000元和2000元。

（1）求每部A型手機(jī)和B型手機(jī)的銷售利潤分別為多少元？

（2）該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的手機(jī)共110部，其中A型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過B型手機(jī)進(jìn)貨量的2倍。設(shè)購進(jìn)B型手機(jī)n（n<110）部，這110部手機(jī)的銷售總利潤為w元。

①求w關(guān)于n的函數(shù)解析式;

②該商店購進(jìn)A型、B型手機(jī)各多少部時，才能使銷售總利潤最大？

1.探索審題方法，解決題目第（1）問

師生活動1：第一遍審題。通過讀題，了解題目背景，該題屬于銷售利潤問題。

師生活動2：第二遍審題。尋找題目數(shù)量，透過數(shù)量提煉出題目涉及的量，并尋找等量關(guān)系。

①“50元”：一部A型手機(jī)比一部B型手機(jī)多獲得的利潤，涉及的量是“單件銷售利潤”;

②“銷售相同數(shù)量”：銷售數(shù)量相同，涉及的量是“銷售數(shù)量”;

③“3000元和2000元”：A型手機(jī)和B型手機(jī)獲得的利潤，涉及的量是“總利潤”。

師（提問）：這三個量之間的關(guān)系是什么？

師生活動3：探究得出數(shù)量關(guān)系，單件銷售利潤×銷售數(shù)量=總利潤。

師生活動4：通過列表整理題目已知數(shù)據(jù)。

師（追問）：根據(jù)表格知道單件銷售利潤和銷售數(shù)量是未知的量，那么設(shè)其中哪個量為未知數(shù)呢？

師生活動5：學(xué)生獨立思考，得出兩種方法都可以，教師引導(dǎo)學(xué)生完成上述表格，讓學(xué)生體驗將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言的過程。

方法一：直接法，設(shè)每部B型手機(jī)利潤為x元，完善表格。

列出等量關(guān)系式：[3000/x+50]=[2000/x]。

方法二：間接法，設(shè)銷售A型手機(jī)數(shù)量為x部，完善表格。

列出等量關(guān)系式：[3000/x]=[2000/x]+50。

師生活動6：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第三遍審題，檢查題目數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，確定解題思路，之后學(xué)生自行解題，教師總結(jié)。

設(shè)計意圖：中考實際問題是綜合性問題的呈現(xiàn)，一般都不是單一的問題，本問設(shè)計的目的在于引導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系，為解決后面問題列式用到的數(shù)量關(guān)系鋪墊，以及讓學(xué)生掌握審題方法。

2.構(gòu)建函數(shù)模型，解決題目第（2）問

師生活動1：學(xué)生獨立思考，討論分析題目中涉及的量，并將題目的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言。

①表示出A型手機(jī)數(shù)量為110-n;

②分析數(shù)量關(guān)系：題目總利潤w=A型手機(jī)總利潤+B型手機(jī)總利潤，其中A型手機(jī)總利潤=每部A型手機(jī)利潤×A型手機(jī)銷售數(shù)量;類比可以得出B型手機(jī)總利潤;

③將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為符號語言：w=150（110-n）+100n=-50n+16500。

師（提問）：w是什么函數(shù)模型？

師（追問）：如何求函數(shù)w的最大值？

師生活動2：分析求一次函數(shù)w的最大值需要知道自變量n的取值范圍，教師指導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，把握關(guān)鍵詞“不超過”，求解出自變量的范圍。

師生活動3：教師引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)圖象草圖，利用一次函數(shù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，求解題目。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析題意，先是利用未知數(shù)表示題目涉及的量，再通過精細(xì)分析等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式，最后觀察函數(shù)模型，利用對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解題，強(qiáng)化函數(shù)類型的解題模型。

3.答題小結(jié)，注重書寫規(guī)范

師生活動：學(xué)生分享答題過程中需要注意的細(xì)節(jié)，不足之處教師補(bǔ)充。

解：（1）設(shè)每部B型手機(jī)利潤為x元，列式得……（寫完整設(shè)什么量為未知數(shù)及其單位）

[3000/x+50]=[2000/x]……（所列方程等式兩邊的量要具有實際意義，例如左邊代表A型手機(jī)數(shù)量，不能列成[x+50/3000]）

方程兩邊同乘x（x+50），化簡得

3000x=2000（x+50）

解得 x=100

檢驗：當(dāng)x=100時，x（x+50）≠0……（1.檢驗是否是方程的解、是否符合實際意義;2.檢驗格式要規(guī)范）

所以x=100是原分式方程的解

每部A型手機(jī)利潤：100+50=150（元）

答：每部A型手機(jī)利潤為150元，每部B型手機(jī)利潤為100元?！ù痤}要完整）

（2）①由題意知，購進(jìn)B型手機(jī)n部，則A型手機(jī)（110-n）部

w=150（110-n）+100n……（列出“原”式子，并簡化）

=-50n+16500

②由題意知：110-n≤2n 解得n≥36[23]

∵n為整數(shù) ∴37≤n<110……（注意自變量的實際取值）

∵-50<0，

∴w隨n的增大而減小……（函數(shù)性質(zhì)要書寫規(guī)范）

∴當(dāng)n=37時，w有最大值

此時，A型手機(jī)有110-37=73（部）

答：當(dāng)A型手機(jī)購進(jìn)73部，B型手機(jī)購進(jìn)37部時，銷售總利潤最大。

設(shè)計意圖：在答題過程中，許多學(xué)生會解題，但是因為書寫不規(guī)范或者表達(dá)不到位被扣分。教師結(jié)合中考改卷要點強(qiáng)調(diào)答題規(guī)范的重要性，避免學(xué)生被扣分。

（四）“變式”——師生互動、變式深化

變式：若在實際進(jìn)貨時，廠家對B型手機(jī)出廠價下調(diào)m（30

1.變式提升，分析變化量

師（提問）：題目中涉及了一個新的量——“出廠價”，什么是出廠價？

師生活動1：學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗理解“出廠價”，對于廠家來說是出廠價，那么對于商店來說這個就是進(jìn)貨價，是同一個數(shù)量。

師（追問1）：出廠價下降m元，對于商家來說，利潤出現(xiàn)了什么變化？

師生活動2：分析數(shù)量關(guān)系

得出結(jié)論：商店銷售每部B型手機(jī)的利潤增加了m元。

類比例題得出：w=150（110-n）+100n+mn=-50n+16500+mn。

師（追問2）：函數(shù)中涉及m與n，那么w是什么類型的函數(shù)？

師生活動3：分析題目的問題部分，自變量仍是n，它的指數(shù)是1，所以w是一次函數(shù)，可以化簡為w=（m-50）n+16500。

師（追問3）：此時，函數(shù)w的最大值受什么因素影響？

師生活動4：探究一次函數(shù)性質(zhì)，w受到自變量n的范圍及比例系數(shù)（m-50）的影響，對（m-50）分類討論，引導(dǎo)學(xué)生分類不重不漏。

學(xué)生活動：學(xué)生自行完成剩下的解題。

設(shè)計意圖：題目變式引入一個參數(shù)，增加題目難度，這個參數(shù)會讓學(xué)生混淆。所列的函數(shù)解析式是什么類型的模型？學(xué)生通過交流討論，結(jié)合已學(xué)的知識，辨析出函數(shù)類型，從而利用函數(shù)性質(zhì)解題，在這過程中體會將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，以及強(qiáng)化函數(shù)型問題的解題思路。

2.小結(jié)核心思路及解題步驟

①解題步驟：審、設(shè)、列、解、答;

注意審題三步驟：第一步，了解題目背景，聯(lián)系生活實際;第二步，找等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化語言;第三步，探解決辦法，核對所求數(shù)量和數(shù)量關(guān)系。

②判斷函數(shù)解析式的類型，數(shù)形結(jié)合觀察函數(shù)圖象，并分析函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)行解題。

設(shè)計意圖：通過探究例題和變式，適時小結(jié)解題步驟，引導(dǎo)學(xué)生反思解題。

（五）“嘗試”——嘗試練習(xí)、鞏固提高

練習(xí)（19年北部灣一模）：廣西“稻魚綜合養(yǎng)殖”符合生態(tài)養(yǎng)殖，綠色發(fā)展。某稻魚綜合養(yǎng)殖戶計劃購買甲、乙兩種禾花魚魚苗，經(jīng)調(diào)查，得到以下信息：

如果購買甲魚苗10kg和乙魚苗5kg需700元，如果購買甲魚苗20kg和的乙魚苗15kg需1600元。

（1）甲魚苗和乙魚苗的單價各是多少元？

（2）現(xiàn)決定購買甲、乙兩種魚苗共90kg，其中，乙魚苗的重量不大于甲魚苗重量的2倍，設(shè)購買甲魚苗akg（a≤50），求該養(yǎng)殖戶購買這批魚苗的總費用W與a之間的函數(shù)解析式;

（3）在（2）的條件下，請設(shè)計一種購買方案，使所需總費用最低，并求出最低費用。

學(xué)生活動：學(xué)生獨立完成練習(xí)。

師生活動1：教師點評部分學(xué)生答題情況。

第一類：自變量求解錯誤。

建議：一次函數(shù)的最大最小值由自變量取值范圍確定，認(rèn)真將題目中涉及的自變量取值的內(nèi)容勾畫出來，并翻譯成數(shù)學(xué)語言。

第二類：辨析不清函數(shù)形式。

建議：對分段函數(shù)加以區(qū)分，辨析題目所求的函數(shù)是同一個事物的量還是不同事物的量，如果是同一事物，則是分段函數(shù)，可以通過分段的最值進(jìn)行比較。

第三類：混淆分量之間的數(shù)量關(guān)系。

建議：列出數(shù)量關(guān)系，并用未知數(shù)表示出每個分量，思考它們之間的關(guān)系，再分別求出分量的取值范圍。

師（提問）：類比本節(jié)課運用到的一次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題，他們的相同之處和不同之處是什么？

設(shè)計意圖：教師放手讓學(xué)生獨立嘗試解題，通過分享學(xué)生的答題情況，總結(jié)此類問題的易錯點和難點，并給出答題建議，有助于提升學(xué)生解題能力。最后讓學(xué)生帶著問題回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，提高反思的針對性，突出解決問題的關(guān)鍵點，幫助學(xué)生概括一次函數(shù)解決問題的基本思路。

（六）“提升”——適時小結(jié)、興趣延伸

師：我們?nèi)绾芜M(jìn)行中考應(yīng)用題復(fù)習(xí)？

1.認(rèn)真審題，了解題目背景，聯(lián)系生活，弄清每一個名詞、概念，建立數(shù)學(xué)模型。

2.找數(shù)量關(guān)系，將實際問題的文字語言通過數(shù)學(xué)符號或記號轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，以此表示事物的狀態(tài)和特征。

3.利用方程（組）、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型去解決問題。

4.回顧課本例題和習(xí)題，研究近幾年中考題型，總結(jié)領(lǐng)悟解題思路和解題方法，提升分析問題和解決問題的能力。

設(shè)計意圖：透過一次函數(shù)應(yīng)用題的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)備考階段如何進(jìn)行應(yīng)用題題型的復(fù)習(xí)，以便學(xué)生能在課后根據(jù)自己的實際情況進(jìn)行有效復(fù)習(xí)。

三、教學(xué)反思與點評

（一）充分理解核心知識，提升核心能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在第三學(xué)段（7～9年級）“問題解決”中明確提出：“初步學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決簡單的實際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實踐能力?！逼渲小皯?yīng)用意識”作為十大核心概念之一，它有兩個方面的含義，一方面有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題;另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。中考應(yīng)用題的命題以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，以學(xué)生生活、社會生活實踐為背景，重視考查學(xué)生抽象概括能力，聯(lián)系實際生活分析問題、解決問題的能力，凸顯數(shù)學(xué)應(yīng)用意識及模型思想。

方程（組）、不等式及函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”知識領(lǐng)域的核心內(nèi)容，各知識體系之間聯(lián)系緊密，數(shù)學(xué)建模的過程也較為相似。實際上，方程、不等式、函數(shù)的知識聯(lián)系也可以理解為特殊到一般的過程，與方程、不等式相比，函數(shù)是更上位的知識，處于核心地位。因此，隨著問題的深入，對函數(shù)知識的考查占比就會更多一點，這也是學(xué)生在知識掌握方面的難點，所以在本節(jié)課的內(nèi)容講解中，教師通過問題解決體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用是一個關(guān)鍵點。

（二）精準(zhǔn)學(xué)法指導(dǎo)

1.審題指導(dǎo)

要解決實際問題，審題是一個十分重要的環(huán)節(jié)。而審題的過程實際上是學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，同時也是將具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程。這節(jié)課中，為了讓學(xué)生充分理解題意，教師給學(xué)生留出獨立讀題和審題的時間，引導(dǎo)學(xué)生閱讀文字、解讀信息，讓學(xué)生對所有條件一一分析、一一表示后，找出每段文字的關(guān)鍵詞，把“關(guān)鍵詞”“關(guān)鍵句”“翻譯”成數(shù)學(xué)符號語言，利用表格梳理量與量之間的關(guān)系，從而建立起數(shù)學(xué)模型。在解決問題的同時給出審題的具體策略，方便學(xué)生在以后的解題訓(xùn)練的過程中，提高分析問題的能力。

2.解題過程表達(dá)指導(dǎo)

學(xué)生獲得解題思路之后，往往不重視解題的書寫過程，教師要通過詳細(xì)展示解題過程，指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫表達(dá)，從而避免考試中“會做不得分”的情況。

3.高效教學(xué)反饋機(jī)制

本節(jié)課的一個亮點是錯題辨析。在應(yīng)用題的教學(xué)過程中，教師常常遇到的問題是學(xué)生因?qū)嶋H問題的理解存在偏差而導(dǎo)致一些錯誤，如數(shù)學(xué)模型應(yīng)用不對，分類討論的節(jié)點不對，因解題過程不規(guī)范而出現(xiàn)錯漏等。教師通過教學(xué)經(jīng)驗的積累，給出一些典型性錯誤解題情況，也是學(xué)生普遍出現(xiàn)的錯誤，其目的是使學(xué)生對函數(shù)模型的應(yīng)用有更深刻的認(rèn)識。對有教育價值的錯誤，適時分析錯誤原因，這樣建立在學(xué)生親身經(jīng)歷的基礎(chǔ)上的錯誤辨析才能真正起到辨析作用。

（三）利用優(yōu)秀模型成果，搭建完整教學(xué)框架

教師在專題復(fù)習(xí)課上，除了對專題知識與方法進(jìn)行鞏固，還應(yīng)在問題難點上有一定的突破。教師要想讓學(xué)生對專題內(nèi)容有更為深入的理解，還要對專題的內(nèi)容進(jìn)行更深入的挖掘，使“舊”課上出“新”意，從而有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量?；谝陨蟼湔n思路，本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計的基本框架上采用了“四度六步”教學(xué)法。這套教學(xué)法通過“溫故—引新—探究—變式—嘗試—提升”這六個精心設(shè)計的教學(xué)步驟體現(xiàn)出精彩課堂的四個維度，即在教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點上體現(xiàn)以學(xué)生為本的教學(xué)理念，這是教師課堂教學(xué)的溫度，在問題內(nèi)容的層次性上體現(xiàn)出梯度與難度，在思想方法的傳遞中體現(xiàn)出課堂教學(xué)的寬度。

（四）其他思考

受新冠肺炎疫情的影響，本節(jié)課是以“空中課堂”的形式完成的。這只是一種單向的傳授方式，課堂基本是教師的教學(xué)預(yù)設(shè)，缺乏學(xué)生的即時反饋，這是比較遺憾的。因此，一方面需要教師在線上練習(xí)和輔導(dǎo)中，及時掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù);另一方面，教與學(xué)本質(zhì)的雙邊關(guān)系使得課堂教學(xué)有更強(qiáng)的活力和吸引力，教師課堂教學(xué)的情感投入也應(yīng)在教學(xué)環(huán)節(jié)中有更為顯性的展示，盡可能地克服“空中課堂”帶來的交流障礙。

作者簡介：溫紅春（1984— ），女，壯族，廣西南寧人，一級教師，理學(xué)學(xué)士，研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及考試命題;農(nóng)學(xué)寧（1971— ），壯族，廣西天等人，高級教師，理學(xué)學(xué)士，廣西特級教師，研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及考試命題。

（責(zé)編 劉小瑗）