用材料力學(xué)方法分析懸臂疊層梁的應(yīng)力及試驗

吳 曉

(湖南文理學(xué)院機械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

為了提高梁的抗彎剛度，實際工程中經(jīng)常把幾根單梁通過螺栓、鉚釘或銷釘制作成疊層梁，這種疊層梁在機械工程、土木工程中得到了廣泛應(yīng)用。因此，材料力學(xué)、機械設(shè)計、鋼結(jié)構(gòu)等相關(guān)教材都對螺栓、鉚釘連接的構(gòu)件作了很大篇幅的闡述?！豆こ塘W(xué)實驗》教材[1]開發(fā)了綜合性、研究性的材料力學(xué)教學(xué)試驗，即懸臂疊層梁的應(yīng)力試驗?！恫牧狭W(xué)》教材[2]也把懸臂疊梁作為習(xí)題。這些都說明了疊層梁作為承力構(gòu)件，在實際工程應(yīng)用中的重要性。本文為了解決、完善材料力學(xué)教材存在的問題，指出了文獻[1]、文獻[2]存在的不足，并對懸臂疊層梁的彎曲變形進行了理論分析。

2 問題的提出

由文獻[1]可知，圖1所示銷釘連接懸臂疊層梁，其由兩個尺寸、材料完全相同的矩形截面梁構(gòu)成。

圖1 銷釘連接疊層梁

文獻[1]中給出，a=30mm。為了后面計算分析，本文取圖1所示懸臂梁的計算參數(shù)為：l=4m，b=20cm，h=20cm，P=30kN，E=210GPa。

文獻[1]把圖1所示銷釘連接的疊層鋼梁作為研究性的材料力學(xué)試驗，認(rèn)為銷釘連接后，上、下兩個梁趨于一個整體，會只有一個中性層。對此，筆者認(rèn)為值得商榷。

文獻[2]是螺栓連接的懸臂疊層木梁。當(dāng)圖1所示懸臂疊層梁的a=0時，即變?yōu)槲墨I[2]中的懸臂疊層梁。文獻[2]給出了懸臂疊層梁的計算參數(shù)：l=4m，b=20cm，h=20cm，P=15kN，E=10GPa，[τ]=80MPa。

文獻[2]提出了兩個求解問題：(1)兩根梁連接成整體時，梁接縫上的剪應(yīng)力τ及剪力T等于多少？(2)若兩根梁用螺栓連接，試求所需螺栓的橫截面積F。

當(dāng)疊層木梁是一整梁時，由材料力學(xué)可知，木梁中性層處最大剪應(yīng)力為：

(1)

式中，P為橫截面剪力，b為梁寬，h為上、下層疊梁的梁高。

由式(1)可知，梁接縫上的剪力為：

(2)

由式(2)可知，所需螺栓橫截面積為：

(3)

事實上，文獻[2]給出式(2)、式(3)的結(jié)果是錯誤的。圖1所示懸臂疊層梁是一次靜不定梁，上、下疊層梁都存在軸力與梁截面彎矩的共同作用。而文獻[1，2]把圖1所示懸臂疊層梁作為整梁時，實際上默認(rèn)了上、下疊層梁都不存在軸向力作用，梁橫截面僅存在彎矩的作用。

3 疊層梁的彎曲分析

由材料力學(xué)可知，圖2所示螺栓或銷釘連接構(gòu)件的橫截面平衡方程為：

圖2 疊層梁的內(nèi)力

(4)

M1+M2+Nh=P(l-x)

(5)

由于圖2所示螺栓或銷釘連接的疊層梁在上下疊梁接觸面的縱向伸長相等，可知：

(6)

利用式(4)-式(6)可以求得：

(7)

把式(5)寫為如下形式：

M=M1+M2=P(l-x)-Nh

(8)

參閱文獻[5]可知，在外載荷作用下，圖1所示懸臂疊層梁的上、下疊梁各自彎曲時的微分方程分別為：

(9)

式中，D=EI，ρ為下層疊層梁彎曲時的曲率半徑。

利用式(8)、式(9)可以得到上、下層疊梁橫截面上的彎矩分別為：

(10)

(11)

利用式(7)、式(10)可得上層疊梁的上表面及下表面的彎曲正應(yīng)力分別為：

(12)

利用式(7)、式(11)可得下層疊梁的上表面及下表面的彎曲正應(yīng)力分別為：

(13)

在式(12)、式(13)中，應(yīng)力計算結(jié)果為正值時代表拉應(yīng)力，應(yīng)力計算結(jié)果為負(fù)值時代表壓應(yīng)力。

利用式(7)、式(8)，且令M=0，可求得：

(14)

當(dāng)M>0時，由式(10)、式(11)可知：

M1>0,M2>0

(15)

結(jié)合式(12)、式(13)、式(15)可知，M>0時，上層疊梁上表面受到拉應(yīng)力作用，下層疊梁下表面受到壓應(yīng)力作用。

當(dāng)M<0時，由式(10)、式(11)可知：

M1<0，M2<0

(16)

4 算例分析

以文獻[1]銷釘連接的懸臂鋼質(zhì)疊層梁為例，把有關(guān)參數(shù)代入式(12)、式(13)中，可得疊梁截面應(yīng)力，具體數(shù)值見表1。把與文獻[1]尺寸、材料相同的懸臂整梁截面最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力列在表2中。

以文獻[2]螺栓連接的懸臂木質(zhì)疊層梁為例，把有關(guān)參數(shù)代入式(12)、式(13)中，可得疊梁截面應(yīng)力，具體數(shù)值見表3。把與文獻[2]尺寸、材料相同的懸臂整梁截面最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力列在表4中。

假設(shè)文獻[2]懸臂木質(zhì)疊層梁上、下層疊梁之間光滑沒有摩擦，可知螺栓受到剪力為：

(17)

由式(17)可知，所需螺栓橫截面積為：

(18)

表2 鋼質(zhì)整梁應(yīng)力MPa(a=30mm )

表4 木質(zhì)整梁應(yīng)力(MPa )(a=0)

由表1、表3可以看出，懸臂疊層梁上層疊梁下表面、下層疊梁上表面的應(yīng)力皆不為0。所以，文獻[1]把銷釘連接的懸臂疊層梁作為整梁來考查梁應(yīng)力試驗是不成功的。因為，銷釘或螺栓連接的懸臂疊層梁是一次靜不定梁，而把銷釘或螺栓連接的懸臂疊層梁作為整梁,則使銷釘或螺栓連接的懸臂疊層梁變成了靜定梁。

表3 木質(zhì)疊梁應(yīng)力(MPa )(a=0)

把式(2)、式(3)計算結(jié)果與式(17)、式(18)計算結(jié)果進行對比可知，兩種方法計算結(jié)果不一致，式(17)、式(18)計算結(jié)果與文獻[3]、文獻[4]方法的計算結(jié)果相同，顯然文獻[2]的計算結(jié)果是錯誤的。

5 結(jié)束語

由以上分析可知：懸臂整梁彎曲凸起時，凸起的梁段上表面會受到拉應(yīng)力，凸起的梁段下表面會受到壓應(yīng)力，這已成為材料力學(xué)教材中的常識。但是，自由端被螺栓或銷釘連接的懸臂疊層梁，在外載荷作用下彎曲凸起時會發(fā)生一個反?，F(xiàn)象，即在彎矩大的凸起梁段上表面受到拉應(yīng)力、下表面受到壓應(yīng)力，而在彎矩小的凸起梁段上有可能是上表面受到壓應(yīng)力、下表面受到拉應(yīng)力。計算分析表明，產(chǎn)生反?，F(xiàn)象的原因，是懸臂疊層梁的上層疊梁軸向拉力與懸臂疊層梁的下層疊梁軸向壓力形成力偶矩造成的。