質(zhì)量不等“三星”問題的分析方法

◇ 山東 曲開菊

天體運動中涉及的“三星”問題，通常情況下以三顆星體質(zhì)量相等為前提，以兩種運動形式呈現(xiàn).第一種形式是三顆星在同一條直線上，兩邊的兩顆星繞著中間一顆星做勻速圓周運動；第二種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點，繞等邊三角形的中心做勻速圓周運動.如果三顆星質(zhì)量不等，又該如何分析解決呢?

1 直線型質(zhì)量不等三星問題

例1在宇宙中，單獨存在的恒星占少數(shù)，更多的是雙星、三星甚至多星系統(tǒng).如圖1所示為一個簡化的直線三星系統(tǒng)模型：其中a、b 星球質(zhì)量為m，c 星球質(zhì)量為2m，a、b 兩個星球繞處于二者中心的c 星球做半徑為r 的勻速圓周運動.已知引力常量為G，忽略其他星體的引力作用，則下列說法正確的是( ).

圖1

D.若因某種原因c 星球的質(zhì)量緩慢減小，則星球a、b 的線速度均將緩慢增大

a 星球所受的c、b 兩星體萬有引力的合力提供了其做圓周運動的向心力，則有解得故選項A 錯誤；對a 星球有故選項B錯誤；對b 星球有解得T＝故選項C正確；若因某種原因c 星球的質(zhì)量緩慢減小，則星球a、b 做離心運動，軌道半徑變大，所以線速度均將緩慢減小，故選項D 錯誤.

2 正三角形質(zhì)量不等三星問題

例2由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，其中有一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于一等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同圓心O 在等邊三角形所在的平面內(nèi)做角速度相同的圓周運動，如圖2所示.已知A 星體質(zhì)量為2m，B、C 兩星體質(zhì)量均為m，AD 為BC 邊的中垂線，三角形的邊長為a.下列說法正確的是( ).

A.圓心O 在中垂線AD 中點處

圖2

圓心位置的確定：由于B、C 兩星體質(zhì)量相等，則A 星體所受B、C 兩星體萬有引力的合力必定在AD 線上.再對B 星體進行受力分析，假設(shè)C 星體對B 星體的萬有引力為F，則A 星體對B星體的萬有引力為2F，由力的合成，作出平行四邊形如圖3所示，平行四邊形對角線與AD 交于點O，根據(jù)平行四邊形的規(guī)律可知兩對角線的交點就是對角線的中點，故圓心O 在中垂線AD 的中點處.選項A 正確.B、C 兩 星 體 對A 的 引 力FBA＝所受合力為選項B 錯誤.在Rt△OCD 中，由勾股定理得其中選項C錯誤.A 星體所受的B、C 兩星體萬有引力的合力提供了其做圓周運動的向心力，則選項D 正確.

圖3

對于不等質(zhì)量的三星問題，解題的思路依然為找到每個星體的向心力來源，再結(jié)合力的合成、牛頓運動定律、幾何關(guān)系進行求解.