活用“動(dòng)態(tài)分析法”巧解題

◇ 甘肅 于海梅

“動(dòng)態(tài)分析法”是指將靜態(tài)的問(wèn)題放置到一系列運(yùn)動(dòng)變換的過(guò)程中進(jìn)行思考分析，其優(yōu)點(diǎn)是有利于從運(yùn)動(dòng)、變換的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，從而獲得簡(jiǎn)捷、新穎的解法.

1 借助繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析，巧解題

例1已知實(shí)數(shù)x，y 滿足線性約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y ＝1 時(shí) 取 得 最 小 值，則 實(shí) 數(shù)k 的 取 值 范 圍是.

分析目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y 中涉及參數(shù)k，且動(dòng)直線y＝－kx＋z(將z 看作常量)的斜率不是常數(shù)，故本題需要根據(jù)最優(yōu)解唯一以及動(dòng)直線的斜率與可行域中邊界直線的斜率的大小關(guān)系加以靈活分析.

如圖1所示，先畫出可行域，易求得點(diǎn)A(3，1)，B(4，2)，C(1，2).于 是，讓動(dòng)直線y＝－kx＋z(將z 看作常量)繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析，易知應(yīng)滿足kAC＜－k＜kAB.

圖1

一般地，根據(jù)x，y 滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解唯一，求參數(shù)的取值范圍，其關(guān)鍵是讓線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線繞著最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析，以便全面考慮.

2 借助上下平移分析，巧解題

例2如圖2所示，拋物線W：y2＝4x 與圓C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn)P 為劣弧上不同于A，B 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與x 軸平行的直線PQ 交拋物線W 于點(diǎn)Q，則△PQC 的周長(zhǎng)的取值范圍是( ).

A.(10，12) B.(12，14)

C.(10，14) D.(9，11)

圖2

由于圖形關(guān)于x 軸對(duì)稱，故只需考慮點(diǎn)P 在x 軸上方的運(yùn)動(dòng)情況.

方法1拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－1，過(guò)點(diǎn)Q 作QM ⊥l，垂足為M，則根據(jù)拋物線的定義及圖形可得△PQC 的周長(zhǎng)為

又隨直線PQ 上下平移分析易知|PM|∈(5，7).(注：當(dāng)點(diǎn)A 在直線PQ 上時(shí)，線段PM 的長(zhǎng)度取得臨界最小值5；當(dāng)直線PQ 與x 軸重合時(shí)，線段PM 的長(zhǎng)度取得臨界最大值7.)

于是，可得△PQC 的周長(zhǎng)的取值范圍是(5＋5，7＋5)，即(10，12).故選A.

方法2讓直線PQ 向上平移，當(dāng)點(diǎn)A 在直線PQ 上時(shí)，屬于臨界狀態(tài)，此時(shí)結(jié)合|CA|＝5 可知△PQC 的周長(zhǎng)趨于2×5＝10；讓直線PQ 向下平移，當(dāng)直線PQ 與x 軸重合時(shí)，屬于臨界狀態(tài)，此時(shí)結(jié)合圓心坐標(biāo)(1，0)及圓的半徑為5可知△PQC 的周長(zhǎng)趨于2×(1＋5)＝12.綜上，可得△PQC 的周長(zhǎng)的取值范圍是(10，12).故選A.

方法1求解的關(guān)鍵是利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)問(wèn)題；而方法2則是通過(guò)考查兩個(gè)臨界狀態(tài)獲得結(jié)論，具有一定的推測(cè)性，僅適合于非解答題.

3 借助角的變化趨勢(shì)，巧解題

例3雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

如圖3，先讓點(diǎn)P 在雙曲線上運(yùn)動(dòng)、變化，分析∠F1PF2的變化趨勢(shì).當(dāng)點(diǎn)P 由頂點(diǎn)B沿雙曲線向右上(或右下)逐步運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠F1PF2變化情況：平角→鈍角→直角→銳角.

當(dāng)點(diǎn)P 由頂點(diǎn)A 沿雙曲線向左上(或左下)逐步運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠F1PF2變化情況：平角→鈍角→直角→銳角.

圖3

顯然，當(dāng)點(diǎn)P 與P1，P2，P3，P4重合時(shí)為臨界位置，如圖3所示.又由雙曲線圖形本身的對(duì)稱性知：點(diǎn)P1，P2關(guān)于x 軸對(duì)稱，點(diǎn)P3，P4也關(guān)于x 軸對(duì)稱.從而所求xP∈(xP3，xA)∪(xB，xP1).

又易知xA＝－4，xB＝4，于是結(jié)合上述分析知，本題接下來(lái)的關(guān)鍵就是求點(diǎn)P3，P1的橫坐標(biāo).

因?yàn)辄c(diǎn)P3，P1就是以F1F2為直徑的圓C：x2＋y2＝25與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，所以聯(lián)立兩曲線方程，解方程組，即得

綜上，所求點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是

本題表面上并沒(méi)有直接涉及焦半徑互相垂直，但通過(guò)將靜態(tài)問(wèn)題動(dòng)態(tài)分析后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其關(guān)鍵是焦半徑互相垂直時(shí)的問(wèn)題分析.

總之，若將靜態(tài)問(wèn)題看作是某一系列運(yùn)動(dòng)變換過(guò)程中某一瞬間的相對(duì)狀態(tài)，往往有利于從整體上把握問(wèn)題，認(rèn)清實(shí)質(zhì).值得一提的是，活用“動(dòng)態(tài)分析法”解題時(shí)，需注意具體的“動(dòng)”的方式，通過(guò)在“動(dòng)”中關(guān)注、運(yùn)用題設(shè)條件，有助于迅速分析、解決目標(biāo)問(wèn)題.