特殊的題型，特殊的解法

◇ 山東 張 輝

處理有關(guān)線性規(guī)劃問題時(shí)，常常會(huì)遇到一些特殊的題型，正是因?yàn)轭}型的特殊性，自然也會(huì)出現(xiàn)一些特殊的解法.本文通過歸類解析，幫助同學(xué)們拓寬解題思維和視野，提升解題技能.

1 借助“分解因式”變形，巧畫不等式組表示的平面區(qū)域

例1已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋4，則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)? ).

因?yàn)閒(x)＝x2－5x ＋4，所以f(x)－f(y)＝x2－5x－y2＋5y＝(x－y)(x＋y)－5(x－y)＝(x－y)(x ＋y－5)，所 以 不 等 式 組故其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域應(yīng)為圖C.

通過對(duì)f(x)－f(y)的分解變形，有利于將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

2 借助“換元”變形，巧求動(dòng)點(diǎn)表示的平面區(qū)域的面積

例2若變量x，y 滿足則點(diǎn)P(2x－y，x＋y)表示平面區(qū)域的面積是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1

本題先借助換元變形得到動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)滿足的不等式組，再畫出該不等式組表示的平面區(qū)域，最后求面積即可.

3 借助“解方程組思想”，巧解給定目標(biāo)函數(shù)的最值問題

例3已 知x，y 滿 足且目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y 的最大值為7，最小值為1，則為( ).

A.2 B.1 C.－1 D.－2

圖2

本題的設(shè)計(jì)比較新穎，求解的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用解方程組的思想求出目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)最優(yōu)解.

4 借助“平面幾何”分析，巧求參數(shù)的最值

例4已知s 是正實(shí)數(shù)，若不等式組表示的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)半徑為1的圓，則s 的最小值為( ).

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖3所示.當(dāng)s 最小時(shí)，已知不等式組所表示的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜囊粋€(gè)等腰直角三角形區(qū)域，且半徑為1 的圓與各邊界相切.

設(shè)三角形直角邊邊長(zhǎng)為a＋1，則由直線與圓相切可知斜邊長(zhǎng)為2a，所以(a＋1)2＋(a＋1)2＝(2a)2，解得，從而，smin＝，故選C.

圖3

本題先借助s 的幾何意義分析何時(shí)s 會(huì)取得最小值，然后再借助平面幾何知識(shí)分析此時(shí)的圖形特點(diǎn)，最后進(jìn)行運(yùn)算即可.

綜上，求解有關(guān)線性規(guī)劃問題時(shí)，需要靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，以便將不熟悉的數(shù)學(xué)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題.同時(shí)還要注意“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的運(yùn)用，有利于強(qiáng)化“數(shù)”與“形”之間的互化意識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).一言以蔽之，且學(xué)且悟且提升.