定理熟掌握，變式巧應用

◇ 山東 張 暉

正弦定理揭示了任意三角形邊與角之間的客觀規(guī)律，是研究三角形問題的重要工具.正弦定理的變形形式，在實際應用過程中往往能直接應用.在不同的問題中，我們經常根據具體情況選用正弦定理的變式進行應用.

1 正弦定理的變形形式

2 正弦定理變形形式的應用

利用正弦定理的變形形式，可以進行三角形的邊、角及外接圓半徑之間的互化，以解決一些有關的三角形問題.

2.1 三角形幾何量的計算

利用正弦定理的變式可以進行三角形的邊長、角度、面積等問題的計算.

例1已知△ABC 中，三個內角的正弦之比為4∶5∶6，且其周長為求△ABC 的三邊長.

利用正弦定理的變式a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，可設a＝4k，b＝5k，c＝6k，則有故△ABC 的三邊長分別為

求解有關幾何計算的問題時，要注意將問題轉到三角形的邊角關系之中.

2.2 三角形形狀的判斷

判斷三角形的形狀，實質是判斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關系.由于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數量關系，所以可利用正弦定理的變式實現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關系式.

例2在△ABC 中，有sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC 為三角形.

解決此類問題時，應根據所給的邊角條件，合理選用定理的變形形式.另外應熟悉特殊三角形(如直角三角形、等邊三角形等)的邊角條件.

2.3 取值范圍的求解

在解決三角形的一些參數或代數式的取值范圍問題中，往往要通過正弦定理及其相應的變形，把問題轉化為三角函數或對應的函數問題，再利用相應的知識來求解.

例3在△ABC 中，若C ＝3B，求的取值范圍.

由正弦定理的變式，可知

又因為A＋B＋C＝180°，C＝3B，所以0°＜B＜45°，則，所以1＜4cos2B－1＜3，故1＜

在解決此類問題時，一定要注意不能忽略了三角形自身的隱含條件，本題包含三角形的內角和定理及A，B，C 均為正角這一條件，在解決問題過程中要注意加以綜合應用.

正確掌握正弦定理及其對應的變式，可以非常有效地破解一些相應的三角形問題.在具體應用時，經常會借助三角形的相關性質、三角恒等變換公式等，綜合余弦定理或三角形的面積公式等加以處理，使問題快速獲解.