證券投資組合的非線性規(guī)劃案例分析

（安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230000）

1.引言

隨著我國資本市場的不斷完善和經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展，“投資”“理財(cái)”等觀念越來越得到大眾的認(rèn)可，大多數(shù)人紛紛進(jìn)入股市以期所持資產(chǎn)能夠增值。市場是多變的存在著許多不確定因素，單一資產(chǎn)投資常常不能滿足投資者的預(yù)期，因此許多投資者開始選擇構(gòu)建投資組合進(jìn)行資產(chǎn)的配置[1]。在構(gòu)建投資組合進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，考慮如何使組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益滿足投資者的需求以獲取預(yù)期回報(bào)至關(guān)重要。不論是在投資收益很好還是很壞的時(shí)候，都應(yīng)該始終堅(jiān)持一種正確的投資策略，只有這樣才能使長期投資回報(bào)最大化。想要在長期投資中回報(bào)最大化風(fēng)險(xiǎn)最小化，就需要堅(jiān)持正確的投資方法，合理的構(gòu)建投資組合。投資者大都是理性的經(jīng)濟(jì)人，他們的目的均是在獲取最大收益的同時(shí)兼顧可承受的風(fēng)險(xiǎn)水平，即均遵循馬科維茲投資組合理論進(jìn)行資產(chǎn)配置[2]。根據(jù)前人的實(shí)證研究結(jié)果：在一個(gè)投資組合當(dāng)中若資產(chǎn)的數(shù)目小于5，隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加，組合的整體風(fēng)險(xiǎn)會(huì)明顯下降；而資產(chǎn)數(shù)量超過5并繼續(xù)增加時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)下降的速度將越來越慢；當(dāng)加入組合中的資產(chǎn)數(shù)量超過20時(shí)，組合的風(fēng)險(xiǎn)幾乎不會(huì)再下降[3]。考慮到這種影響，為了盡可能在分散風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)簡化計(jì)算，本文認(rèn)為投資組合中包含10支證券是比較合適的。這里首先選取10個(gè)不同行業(yè)，然后在每一行業(yè)中各選取一種收益率排名靠前的資產(chǎn)，最終在上交所以及深交所上市的股票中選取了以下10支股票作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，分別為老鳳祥（600612）、上汽集團(tuán)（600104）、貴州茅臺(tái)（600519）、歐菲光（002456）、保利地產(chǎn)（600048）、博信股份（600083）、民和股份 （002234）、中國平安 （601318）、三全食品（002216）、海爾智家（600690）。 所選的股票均屬于不同的行業(yè)、具有不同的交易規(guī)模，流通性較好，具有一定的代表性，最重要的是每支股票的數(shù)據(jù)均比較完整。

2.理論介紹

2.1 基本思路

馬柯維茨投資理論認(rèn)為單一資產(chǎn)的總風(fēng)險(xiǎn)是固定的，僅依靠其自身無法達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)的效果，而資產(chǎn)組合則不同，只要組合中包含任意兩種收益呈負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)，組合的整體風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)下降。這一理論可以很好的解釋為何要進(jìn)行組合投資的問題[3]。其基本思路包括均值-方差分析方法和投資組合有效邊界模型。這里依據(jù)均值—方差分析方法，即在投資組合中把價(jià)格視為隨機(jī)變量，用它的均值來衡量收益，用它的方差來衡量風(fēng)險(xiǎn)，篩選出能夠最大程度分散組合風(fēng)險(xiǎn)并保持較高收益率的資產(chǎn)組合，再根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益的約束條件把組合中各證券所占比例作為變量，那么求解各資產(chǎn)的占比問題就被歸結(jié)為一個(gè)線性約束下的二次規(guī)劃問題。

2.2 單一證券的收益與風(fēng)險(xiǎn)

在資本市場中，每個(gè)金融資產(chǎn)都具有能代表其收益率和風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)。這里定義單個(gè)證券的收益率為 Rt，風(fēng)險(xiǎn)為,則,這里 Pt代表資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，Pt-1代表資產(chǎn)在t-1時(shí)刻的價(jià)格，D0代表資產(chǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的紅利。σt則可用該證券未來收益的可能值與期望收益的離散程度來表示。

2.3 組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)

假設(shè)n種不同證券構(gòu)成投資組合X，其中投入第i種證券的資金在總投資金額中所占的比例 Xi，i=1,2,…，n，可稱為第 i種證券的投資權(quán)重[3]。則組合的收益率可用組合的收益除以投資總額。在數(shù)值上，證券組合收益率等于其組合中各個(gè)證券收益率的加權(quán)平均值[4],根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可以得到投資組合的預(yù)期收益為

風(fēng)險(xiǎn)為

3.基于lingo的實(shí)證分析

3.1 選取有效市場組合

收集整理上文中選定的十支股票在2014年11月至2016年11月（共25個(gè)月）期間每個(gè)月最后一個(gè)交易日的收盤價(jià)，用Pit表示第i種（i=1,2，…，10）證券在第 t（t=1,2，…，25）月的收盤價(jià)，數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫和東方財(cái)富[6]。計(jì)算出十支股票每個(gè)月的對(duì)數(shù)收益率。從中可以看出保利地產(chǎn)、三全食品、民和股份、貴州茅臺(tái)和老鳳祥的對(duì)數(shù)收益率相對(duì)較高；從對(duì)數(shù)收益率的平穩(wěn)性來看，三全食品和貴州茅臺(tái)的對(duì)數(shù)收益率變化相對(duì)平緩。接下來，可以用圖形進(jìn)行具體的直觀判斷分析：

圖1 對(duì)數(shù)收益率

可以從圖1中看出，貴州茅臺(tái)和老鳳祥收益率的月份波動(dòng)不大，收益率增幅較穩(wěn)定，多為正值，表明它們的收益增長平穩(wěn)，市場占有率較高。根據(jù)波士頓矩陣原理，可將這兩只股票列為明星產(chǎn)品，具有較大的投資價(jià)值。因此可以考慮將這兩只股票納入投資組合當(dāng)中。民和股份、保利地產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率相對(duì)較高，基本為正值，而歐菲光和上汽集團(tuán)的對(duì)數(shù)收益率相對(duì)較低且浮動(dòng)較大，這就說明前兩只股票收益率更平穩(wěn)且更高，投資價(jià)值也更大，在構(gòu)建投資組合時(shí)可以考慮。

針對(duì)選取的十支股票，利用Eviews10計(jì)算了它們之間的相關(guān)系數(shù)，從表1中可以看出，三全食品和保利地產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)為-0.0995,三全食品和貴州茅臺(tái)的相關(guān)系數(shù)為-0.0979，民和股份和老鳳祥之間的相關(guān)系數(shù)為-0.0302，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)，在一個(gè)投資組合中若存在相關(guān)系數(shù)為負(fù)的兩支股票，則整體組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)降低，從而起到分散總風(fēng)險(xiǎn)的作用。這些負(fù)的相關(guān)系數(shù)表明這些股票之間存在著風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)，故股票可以納入構(gòu)建組合的考慮范圍。除此之外，保利地產(chǎn)和民和股份之間的相關(guān)系數(shù)為0.07494，中國平安和民和股份的相關(guān)系數(shù)為0.02924，它們之間的相關(guān)系數(shù)較小，也可以構(gòu)建投資組合，起到分散風(fēng)險(xiǎn)的作用。綜上考慮，我們選取保利地產(chǎn)、貴州茅臺(tái)、民和股份、三全食品、中國平安和老鳳祥這六只股票來構(gòu)建投資組合。

3.2 機(jī)會(huì)約束下建立多元非線性規(guī)劃

投資組合的構(gòu)建遵循馬科維茨投資組合理論，這里可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題：

（1）給定收益的情況下風(fēng)險(xiǎn)最小化[8]

（2）給定風(fēng)險(xiǎn)的情況下收益最大化[8]

在上述論述中，我們已經(jīng)挑選了六支有效股，在證券組合中，證券組合的權(quán)重可正可負(fù)。當(dāng)證券權(quán)重xi>0時(shí)，一個(gè)正的權(quán)重表示買入這種證券[7]；當(dāng)證券權(quán)重xi<0時(shí)，一個(gè)負(fù)的權(quán)重表示賣空此種證券，賣空是指投資者從別處借來一定數(shù)量的某種證券，并在規(guī)定時(shí)期歸還同樣數(shù)量的某種證券。結(jié)合我國實(shí)際，滬深證券交易所都禁止買空和賣空的交易行為，因此，我們令權(quán)重X均大于等于0。在已知六支股票的組合收益rx、方差協(xié)方差矩陣 Λ＝（σik）6×6以及組合中各個(gè)資產(chǎn)的期望收益向量（r1,r2,…r6）后，求解組合中資產(chǎn)的權(quán)重向量可以建立下述多元非線性規(guī)劃：minσ2＝XTΛX

這里的預(yù)期收益率參照大盤收益，僅將其定義為近似于大盤的收益率。通過對(duì)2014年至2016年上證指數(shù)的平均月收益率數(shù)據(jù)的查找以及計(jì)算得到上證指數(shù)的平均月收益率為0.013027，所以令上式中的預(yù)期收益率E(rx)=0.013027。

表1 方差—協(xié)方差矩陣

3.3 lingo求解最優(yōu)投資組合的資產(chǎn)權(quán)重

這里令 X1，X2，X3，X4，X5，X6分別代表保利地產(chǎn)，三全食品，民和股份，中國平安，貴州茅臺(tái)，老鳳祥，通過Lingo運(yùn)行上述多元非線性規(guī)劃[5]，運(yùn)行結(jié)果見表2，由表2可得出各資產(chǎn)投資權(quán)重，并按照該權(quán)重進(jìn)行投資所構(gòu)成的投資組合即為最優(yōu)投資組合[9]。由表可以看出，中國平安所占權(quán)重為0，因此在六支股的有效組合中，我們只選取其中的五只作為最優(yōu)股，其中投資于老鳳祥的金額最大，占初始投資金額的三分之一以上，投資于三全食品的金額最小，這些都是由其對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)以及收益決定的。

表2 運(yùn)行結(jié)果

4.績效評(píng)估

4.1 證券組合的投資回報(bào)率

自有資金3000萬，在2016年11月30日開始投資，計(jì)劃投資3年，2019年11月29日結(jié)束投資，投資期間不發(fā)生投資變動(dòng)。

根據(jù)馬科維茨投資組合理論計(jì)算得出證券組合中每股的權(quán)重，最終確定我們的投資組合包含5支股票：保利地產(chǎn)、三全食品、民和股份、貴州茅臺(tái)、老鳳祥，根據(jù)權(quán)重計(jì)算每支股票的投資金額，再確定每支股票的持倉量，最后得出持股總量為429627股，實(shí)際投入金額為：999.9709萬元。2019年11月29日投資結(jié)束，即按照29日的收盤價(jià)賣出股票。投資期內(nèi)證券組合的月平均收益率為1.11%，根據(jù)投資前后的股票價(jià)差可以計(jì)算得出構(gòu)建的投資組合收益約為772.11萬元，投資成本約為999.97萬元，則投資回報(bào)率約為77.21%。

4.2 證券組合的風(fēng)險(xiǎn)

圖2為證券組合與滬深300的收益率波動(dòng)情況，由圖可以看出，兩者的收益率波動(dòng)趨勢基本相同，但是證券組合的波動(dòng)相對(duì)平緩。分別計(jì)算兩者收益率的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，證券組合收益率的方差為0.00169，標(biāo)準(zhǔn)差為0.04113；滬深300收益率的方差為0.00228，標(biāo)準(zhǔn)差為0.04778。由此也可以看出來證券組合的風(fēng)險(xiǎn)比滬深300的小。

圖2 投資期內(nèi)收益率的波動(dòng)

4.3 結(jié)論

根據(jù)馬科維茲組合理論原理，運(yùn)用lingo進(jìn)行多元非線性規(guī)劃所夠構(gòu)建的證券投資組合是可行的。有上述分析可知，若投資者在2016年末進(jìn)行投資，他可以通過分析前3年各股票的收益率及風(fēng)險(xiǎn)情況，選擇構(gòu)建一個(gè)有效資產(chǎn)組合，在此基礎(chǔ)上通過均值—方差分析法選出最優(yōu)投資組合，再運(yùn)用lingo軟件回歸得出最優(yōu)組合中各資產(chǎn)的占比情況，由此確定投資金額。對(duì)于模型中E(rx)的選取則具有一定的主觀性,這里假定投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的理性人[10]，僅將其定義為近似于大盤的收益率，不同的選取方法對(duì)于模型回歸的結(jié)果可能會(huì)造成影響。由于模型中的變量選取有限，因此本文對(duì)資本市場中偏好投資規(guī)模較小的投資人選取有效投資組合、確定各資產(chǎn)投資金額具有一定的借鑒作用和實(shí)用價(jià)值。