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    關(guān)于伯努利多項(xiàng)式和Dirichlet L-函數(shù)的均值問(wèn)題

    2020-08-17 07:55:04張藝雪
    關(guān)鍵詞:伯努利正整數(shù)等式

    張藝雪

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西西安710127)

    0 引 言

    q> 1 是一個(gè)整數(shù),s=σ+it是一個(gè)復(fù)數(shù),χ表示任意模q的Dirichlet 特征。著名的DirichletL-函數(shù)L(s,χ)由級(jí)數(shù)形式定義:

    事實(shí)上,對(duì)于模q的主特征χ0,L(s,χ0)除了s=1 時(shí)留數(shù)為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)之外都是處處解析的,其中φ(q)為歐拉函數(shù)。如果χ≠χ0,那么L(s,χ)是一個(gè)關(guān)于s的整函數(shù)。

    L(s,χ)函數(shù)在解析數(shù)論中具有重要地位,許多問(wèn)題都與其密切相關(guān)。例如,哥德巴赫猜想、素?cái)?shù)的分布、Dirichlet 除數(shù)問(wèn)題以及其他著名的數(shù)論問(wèn)題。所以,該領(lǐng)域的任何實(shí)質(zhì)性研究進(jìn)展都將促進(jìn)數(shù)論的進(jìn)一步發(fā)展。正因如此,學(xué)者們展開(kāi)了對(duì)L(s,χ)性質(zhì)的研究,并獲得了一系列有趣的結(jié)果[1-11]。例如, WALUM[1]證明了等式:

    ZHANG[2-3]研究發(fā)現(xiàn),對(duì)于任意奇數(shù)q≥ 3,有等式

    同時(shí), DirichletL-函數(shù)與廣義伯努利多項(xiàng)式Bn,χ密切相關(guān)。事實(shí)上,對(duì)任意q> 1 的整數(shù),χ是模q的 Dirichlet 特征,可得[12-15]

    若取x=0,那么Bn(0) =Bn為伯努利數(shù)。它們與Riemann zeta-函數(shù)ζ(s)密切相關(guān)。

    最近,BAYAD 等[14]研究了L-函數(shù)與伯努利多項(xiàng)式乘積的均方值,并證明了一系列有趣的等式。

    受文獻(xiàn)[14]啟發(fā),本文將考慮涉及伯努利多項(xiàng)式的卷積和的計(jì)算問(wèn)題:

    關(guān)于此類(lèi)型和的研究有很多,如斐波那契數(shù)列、加泰羅尼亞數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式、Fubini 多項(xiàng)式、歐拉數(shù)和歐拉多項(xiàng)式等[16-24],但尚未見(jiàn)到有關(guān)伯努利多項(xiàng)式的研究結(jié)果。

    本文用初等方法研究式(4)的計(jì)算問(wèn)題,并在k=3 時(shí)給出一個(gè)新的有趣的恒等式。在應(yīng)用方面,給出一系列包含伯努利數(shù)的等式。經(jīng)推廣,獲得了2 個(gè)與DirichletL-函數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單結(jié)果。

    方便起見(jiàn),首先介紹經(jīng)典高斯和的定義。

    假設(shè)q和m是整數(shù),且q> 1。對(duì)于任意模q的特征χ,定義[1]

    其中,e(y) =ey,如果χ是模q的原特征或(m,q)=1,那么有

    稱(chēng)G(χ,1) =τ(χ)為經(jīng)典高斯和。

    關(guān)于經(jīng)典高斯和的性質(zhì),可參考文獻(xiàn)[1-3,12-13]。

    1 定理及推論

    定理1設(shè)p為奇素?cái)?shù),對(duì)任意非負(fù)整數(shù)m和n,有等式

    定理2對(duì)任意整數(shù)n≥0,有等式

    取m=n=0,由及定理 1,可以推得文獻(xiàn)[1]中的公式。

    取m=1,n=0,由定理1及B3(x)=x3-可得到

    推論1設(shè)p為奇素?cái)?shù),有

    取x=0 和對(duì)于任意正整數(shù)n,有

    由定理2 還可得到以下5 個(gè)推論。

    推論2對(duì)任意整數(shù)n≥0,有

    推論3對(duì)任意整數(shù)n≥2,有

    推論4對(duì)任意整數(shù)n≥1,有

    推論5對(duì)任意整數(shù)n≥2,有

    推論6對(duì)任意整數(shù)n≥1,有

    作為推廣,本文還獲得了與DirichletL-函數(shù)相關(guān)的2 個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)果:

    定理 3假設(shè)q和n是正整數(shù),q> 1,n≥ 3,χ為模q的任意偶的原特征,那么有恒等式

    定理 4假設(shè)q和n是正整數(shù),q> 1,n≥ 0,χ是任意模q的奇的原特征,那么有恒等式

    定理3 和定理4 的結(jié)果并不完美,它們只是一次嘗試。事實(shí)上,如果可以將這2 個(gè)定理的右邊表示為一些特殊的L-函數(shù),那么這2 個(gè)定理會(huì)更加完美,但需做進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

    2 引 理

    為證明本文的定理,需要以下3 個(gè)簡(jiǎn)單的引理。

    引理1令則有等式

    其中f'(t)表示f(t)關(guān)于t求導(dǎo)。

    證明由f(t) 關(guān)于t求導(dǎo)的定義可得

    結(jié)合式(5)、式(6)以及f(t)的定義,可得等式

    引理1 得證。

    引 理 2設(shè)q>1為正整數(shù),χ為任意模q的 原特征。若χ為偶特征,即χ(-1) =1,那么有

    若χ為奇特征,即χ(-1) =-1,那么有

    其中τ(χ)為經(jīng)典高斯和。

    證明由伯努利多項(xiàng)式的生成函數(shù)(3)可得

    如果χ為模q的原特征,且是偶特征,即χ(-1) =1,則有

    對(duì)任意整數(shù)n,如果n=1且0<x<1,或者n≥2,0≤x≤1,那么由文獻(xiàn)[1]定理 12.19,可得

    由式(9)以及經(jīng)典高斯和的定義和性質(zhì)得

    由式(10)以及經(jīng)典高斯和的定義和性質(zhì)得

    若χ是模q的原特征,且是奇特征,即χ(-1) =-1,由式(11)和式(12)的證明方法,可得

    如果χ為原特征且是偶特征,那么由式(7)、式(8)、式(11)和式(12),有

    如果χ為模q的原特征且是奇特征,那么由式(7)、式(8)、式(13)和式(14)以及等(15)的證明方法,有

    由式(15)和式(16),便可得到引理2。

    引理2 得證。

    引理 3設(shè)q為正整數(shù)且q> 1,χ為模q的任意本原特征,那么有等式:

    3 定理的證明

    先證定理1。對(duì)于任意整數(shù)n≥0,如果χ是模p的偶特征,那么有

    由模p的正交性特征,有

    由式(14)、式(22)及式(23),可得恒等式

    定理1 證畢。

    由式(3)和引理1,通過(guò)比較冪級(jí)數(shù)系數(shù),可推得定理2。

    下證定理3。如果χ為模q的偶特征,那么由引理 2、式(17)~式(21),通過(guò)比較引理 1 中冪級(jí)數(shù)的系數(shù),有

    定理3 證畢。

    再證定理4。如果χ為模q的奇特征,那么由引理 2、式(17)~式(21),通過(guò)比較引理 1 中冪級(jí)數(shù)的系數(shù),可得

    定理4 證畢。

    4 結(jié) 論

    本文的主要結(jié)果是4 個(gè)定理。定理1 得到一個(gè)新的關(guān)于素?cái)?shù)模p的DirichletL-函數(shù)的平方均值公式 ,當(dāng)m=0,n=1 或m=1,n=0 時(shí) 為 DirichletL-函數(shù)的一個(gè)非常有趣且美觀的平方均值公式。定理2 證明了一個(gè)包含伯努利多項(xiàng)式的新等式,特別是推論3 和推論5,十分簡(jiǎn)潔美觀,是有關(guān)伯努利數(shù)或黎曼ζ 函數(shù)的新結(jié)果。定理3 和定理4 給出了DirichletL-函數(shù)卷積和的2 種新表達(dá)式,揭示了L-函數(shù)之間的關(guān)系。但此2 定理看起來(lái)并不簡(jiǎn)單美觀,需要進(jìn)一步簡(jiǎn)化和改進(jìn),如果可以將這些定理中公式的右側(cè)表示為一些特殊的L-函數(shù),定理3 和定理4 就會(huì)更加完美。

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