極值Ⅰ型分布求矩適線法在設(shè)計潮水位中的應(yīng)用

許弘 程素珍 尹艷青

(1.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730107；2.山東省水利科學(xué)研究院，山東 濟南 250013；3.北京市水務(wù)工程建設(shè)與管理事務(wù)中心，北京 100036)

我國是海洋大國，擁有漫長的海岸線，山東省陸域岸線長度3122km，已建大陸海堤1184km，海堤與岸線比值為38%，且現(xiàn)有海堤破損嚴(yán)重，因此山東省已經(jīng)明確提出要加大海堤建設(shè)，提高沿海重點地區(qū)的防風(fēng)暴潮能力，而潮水位是確定海堤規(guī)模的關(guān)鍵性參數(shù)?！逗５坦こ淘O(shè)計規(guī)范》(SL 435—2008)(以下簡稱《規(guī)范》)提出在海岸地區(qū)設(shè)計潮水位頻率分析的線型可采用極值Ⅰ型分布曲線[1-2]，但《規(guī)范》僅列出了頻率、數(shù)據(jù)序列項數(shù)等相關(guān)系數(shù)的表格，通過查表求解相應(yīng)設(shè)計頻率的潮水位。查表法計算簡單、應(yīng)用方便，但其方法的局限性和成果的缺陷明顯，在大中型工程中的應(yīng)用受到較大的限制。適線法在水文頻率分析中已經(jīng)普遍和成熟應(yīng)用，但主要基于皮爾遜Ⅲ型分布的應(yīng)用[3-9]，有關(guān)極限Ⅰ型分布的工程應(yīng)用很少，現(xiàn)有規(guī)范、相關(guān)文獻(xiàn)也缺少極限Ⅰ型分布適線法的計算程序、適線方法和成果合理性判斷標(biāo)準(zhǔn)，使該方法在潮水位頻率分析應(yīng)用中受到較大的限制。本文基于matlab計算軟件，結(jié)合山東省榮成市石島灣海堤設(shè)計，開發(fā)了極值Ⅰ型分布求矩適線法程序，并與規(guī)范表格系數(shù)查算、理論曲線成果進(jìn)行比較，驗證了該法的合理性、便利性，以期對類似工程提供借鑒。

1 極值Ⅰ型分布原理和適線求解方法

根據(jù)《規(guī)范》規(guī)定，設(shè)計潮水位計算應(yīng)采用頻率分析法，在海岸地區(qū)頻率曲線的線型可采用極值Ⅰ型分布。

潮水位觀測站歷年最高潮水位觀測值為h1，h2，…h(huán)n，觀測值呈極值Ⅰ型分布，則某一設(shè)計潮位hP對應(yīng)的設(shè)計頻率值P為

P=P(h≥hP)=1-F(hP)=1-e-e-α(hP-β)

(1)

σ——潮水位序列均方差。

潮水位序列均值和均方差采用矩法進(jìn)行估算，見式(2)、式(3)。

(2)

(3)

式中hi——序列第i年的年最高潮水位；

n——年最高潮水位序列項數(shù)。

對式(1)兩邊取兩次對數(shù)，把α、β化簡代入得式(4)，得

(4)

令：λPn=-(0.45+0.78×ln(-ln(1-P)))，式(4)轉(zhuǎn)化為：

(5)

根據(jù)極值Ⅰ型分布理論對實測經(jīng)驗頻率曲線進(jìn)行適線擬合須借助數(shù)學(xué)工具。在matlab語句中，有evcdf、evpdf、evinv等函數(shù)，分別表示極值Ⅰ型分布的累計函數(shù)、密度函數(shù)和逆函數(shù)，可以通過P=evcdf(-hP,-b,1/a)、hP=-evinv(k,-b,1/a)實現(xiàn)對給定設(shè)計頻率和相應(yīng)設(shè)計頻率的設(shè)計水位進(jìn)行交互計算實現(xiàn)，實現(xiàn)頻率適線法。

2 資料分析

2.1 基本資料

圖1 設(shè)計潮水位極值Ⅰ型分布適線

2.2 表格法計算設(shè)計潮水位

根據(jù)《規(guī)范》，對石島海陽觀測站35年連續(xù)的年最高潮水位序列的均值、均方差及年頻率為0.1%、0.2%、0.5%、1%、2%、4%、5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%、97%、99%、99.9%的最高潮水位分別按式(2)、式(3)和式(5)計算，系數(shù)λPn按《規(guī)范》表A.0.2查取，不同頻率下的設(shè)計潮水位見表1，不同頻率及相應(yīng)潮水位點繪在海森概率格紙上并連成曲線(見圖1)。

表1 不同頻率下設(shè)計潮水位計算成果 單位：m

2.3 理論計算設(shè)計潮水位

通過理論計算知，曲線形狀由均值、均方差兩個參數(shù)決定。調(diào)整均值僅使頻率曲線平行上下移動，偏移經(jīng)驗點，通過調(diào)整均值進(jìn)行適線法是不合適的(見圖2)。但當(dāng)驗潮零點高程的標(biāo)準(zhǔn)不一致時，可以通過調(diào)整序列均值實現(xiàn)。

圖2 調(diào)整均值的極值Ⅰ型適線

設(shè)定理論頻率曲線P=42.97%為分界點，該點的設(shè)計潮水位等于序列均值，高于該頻率的設(shè)計潮水位均大于序列均值，小于該頻率的設(shè)計潮水位均小于序列均值。由于理論曲線以分界點旋轉(zhuǎn)，因此通過調(diào)整均方差，能夠適配出合理的曲線。

2.4 求矩經(jīng)驗適線法計算設(shè)計潮水位

求矩經(jīng)驗適線法是在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗點據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計方法，可避免因觀測序列短而產(chǎn)生計算結(jié)果可靠性差等問題。采用矩法對觀測數(shù)據(jù)序列進(jìn)行統(tǒng)計，求出一組參數(shù)作為初值計算理論曲線，根據(jù)理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率點據(jù)的配合情況，通過經(jīng)驗判斷調(diào)整參數(shù)，選定一條與經(jīng)驗點據(jù)擬合良好的頻率曲線。經(jīng)驗頻率曲線選擇時，盡可能選擇擬合點據(jù)好、結(jié)果相對保守的曲線作為經(jīng)驗適線。適線要盡可能照顧點群的趨勢，使頻率曲線通過點群中心，點線配合不佳時，可重點考慮中上部點據(jù)，并應(yīng)分析經(jīng)驗點據(jù)的精度，使曲線盡可能接近或穿過比較可靠的點據(jù)。

通過初估、適線和綜合對比分析，可以得到比較合理的、能夠滿足海堤工程設(shè)計要求的潮水位經(jīng)驗頻率曲線。通過選定的經(jīng)驗適線，根據(jù)極值Ⅰ型理論計算相應(yīng)設(shè)計頻率的潮水位。借助經(jīng)驗頻率曲線予以延長，推求相應(yīng)稀遇頻率的設(shè)計值。

適線法計算通過matlab軟件中的evinv、evcdf函數(shù)實現(xiàn)，在軟件環(huán)境下編制程序，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計、分析、繪圖和曲線擬合同時完成，采用norminv函數(shù)生成海森概率格紙。根據(jù)理論曲線和經(jīng)驗點據(jù)的適配情況，調(diào)整均方差值為0.9σ、1.1σ、1.2σ、1.4σ倍的初值，進(jìn)行適配，曲線見圖1，根據(jù)每條適配線計算年頻率為0.1%、0.2%、0.5%、1%、2%、4%、5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%、97%、99%、99.9%的最高潮水位，結(jié)果見表1。

3 計算成果和方法的合理性選定

表格法是《規(guī)范》推薦采用的設(shè)計潮水位計算方法，根據(jù)極值Ⅰ型分布，編寫了P-n-λPn參數(shù)表，計算簡單，通過手算即可完成。極值Ⅰ型分布為全樣本理論曲線，為避免觀測系列較短對擬合計算結(jié)果的影響，采用觀測值序列項數(shù)多少調(diào)整λPn值，減小因系列短而產(chǎn)生的誤差。由圖1知，表格法計算成果和1.15倍均方差初值擬合曲線一致，說明表格法由通過調(diào)整均方差初值計算生產(chǎn)，是適線中的一條經(jīng)驗頻率曲線成果。

表格法把復(fù)雜的計算過程簡化為查表計算，并把樣本序列長度的影響考慮在內(nèi)，其計算成果能夠滿足小型工程的需要，但規(guī)范表格是在特定序列項數(shù)n、頻率P下查算相應(yīng)λPn值，對于表格中沒有列出的n、P對應(yīng)的λPn值，只能通過內(nèi)插求解，存在一定的誤差，同時由于成果是根據(jù)固定適配線確定，其合理性、與經(jīng)驗點據(jù)的適配性存在較大的局限。

表格法計算的設(shè)計潮水位受序列長度的影響較大，觀測序列的長度不同，其λPn值不同，時間越短，其系數(shù)越大。為驗證計算成果受時間序列長短的影響程度，選取該工程20年、25年、30年、35年最大潮水位系列資料，同時計算20年一遇設(shè)計潮水位，其計算成果見表2，根據(jù)計算成果繪制的序列項數(shù)n與潮水位關(guān)系曲線見圖3。從圖3可知，序列長度為25年的計算設(shè)計潮水位值最大，說明表格法并不能保證序列長度越小選定的成果越保守，這是該方法的局限性。

表2 表格法計算20年一遇潮水位成果 單位：m

圖3 序列項數(shù)n與潮水位關(guān)系曲線

適線法根據(jù)極值Ⅰ型分布和觀測資料統(tǒng)計參數(shù)進(jìn)行理論分析和經(jīng)驗判斷，通過調(diào)整參數(shù)，適配出與經(jīng)驗頻率點據(jù)擬合最好的曲線，得到滿足工程設(shè)計要求的不同設(shè)計頻率下的潮水位設(shè)計值，計算成果包含了表格法。它是基于matlab軟件環(huán)境編制的程序，能夠完成數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，多條適配曲線擬合，圖表自動生成，計算速度快，功能強大，能夠把經(jīng)驗點據(jù)、規(guī)范表格計算值、適配曲線同時繪制在同一張海森概率格紙上，并把成果匯總于同一表格中，便于設(shè)計人員比較和分析，確定適合設(shè)計要求的設(shè)計潮水位計算值。

4 結(jié) 論

本文采用極值Ⅰ型分布，結(jié)合工程設(shè)計潮水位實例計算，得出以下結(jié)論：

a.規(guī)范表格法簡單依靠參數(shù)表查算完成，過程機械，結(jié)果受資料序列長度影響，且不能確定與經(jīng)驗頻率點據(jù)的擬合程度，具有較大的局限性。

b.表格法計算成果與特定倍數(shù)均方差適線成果一致，能夠通過適線法計算完成。

c.適線法基于matlab軟件的極值Ⅰ型分布函數(shù)完成，計算理論符合《規(guī)范》要求，計算功能強大，能夠把經(jīng)驗點據(jù)、《規(guī)范》表格計算值、適配曲線同時繪制在同一張海森概率格紙上，并把成果匯總于同一個表格中，便于設(shè)計人員比較和分析，確定適合設(shè)計要求的設(shè)計潮水位計算值。