重“洋蔥”精神
——防圓錐曲線離心率“小題大做”

◎熊秧波 史日能 （余姚市第七中學，浙江 寧波 315450）

在歷年的浙江高考數(shù)學試卷中，圓錐曲線的離心率問題總是以選擇、填空的形式考查，考查學生的探索能力、推理求解能力，以及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，這是一個能充分體現(xiàn)學生綜合素養(yǎng)的問題，讓不少學生心生膽怯．在今年高三“七彩陽光聯(lián)盟”數(shù)學考試中，小題中也有一個雙曲線離心率問題，結(jié)合上課時的情形，學生和我一起收獲不少．

一、課堂實錄

題目：已知F2是雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點，若雙曲線的左支上存在一點P，使?jié)u近線上任一點Q 滿足QP＝QF2，求離心率e．

教師總結(jié)：思路清晰，簡單明了，方法傳統(tǒng)，但同時解方程組求P 點時確實出現(xiàn)計算量大的問題，有沒有同學能稍微改進一下？

學生2：（法二）由雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，知道PF2⊥OQ，即直線PF2的方程為，與PF1的方程聯(lián)立，得點將點P 代入雙曲線方程得，同上．

學生3：老師，受學生2 的方法影響，采用聯(lián)立直線PF2與OQ 的方程求PF2的中點N 的思想，從而得到點P，代入雙曲線方程得，同上，這樣得到P 的坐標還要快一點，計算量小一點．

老師總結(jié)：不錯，確實計算簡單不少，同學們有沒有發(fā)現(xiàn)，改良的方法只是改良了求點P，做到后面還是將點P 代入雙曲線方程，方法一樣．能不能再動動腦筋，繼續(xù)探索一下？ 抓住圖形本質(zhì)，一層一層剝下去，像剝“洋蔥”一樣，越到里面，肉質(zhì)越美味，一路探底．

我的這些話，大大引起了學生的探索欲望，個個低頭“尋路”．

學生4：（法三）在法二的基礎(chǔ)上進一步探究得PF1⊥PF2，在焦點三角形PF1F2中，PF2＝2b，F(xiàn)1F2＝2c，又漸近線可得ON ＝a，∴PF1＝2a．由雙曲線定義得故2b-2a ＝2a，易得，此時教室內(nèi)響起一片掌聲！

二、方法總結(jié)

抓牢數(shù)學圖形的特征，與雙曲線定義結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)換直角含義，確實是一良方，讓人如釋重負，一身輕松，小題當如是．一般圓錐曲線中若出現(xiàn)焦點三角形，往往跟定義有關(guān)，若涉及角度，還會跟正、余弦定理、三角形面積有關(guān)，或余弦定理里面用基本不等式的知識來解決相關(guān)范圍、最值問題．當然，也可能根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)，比如，橢圓中的橫、縱坐標范圍，｜PF1｜或｜PF2｜的范圍為［a-c，a＋c］，雙曲線左支上的點到左、右焦點的距離｜PF1｜≥c-a，｜PF2｜≥c＋a，到右頂點的距離｜PA｜≥2a 等．

三、探討洋蔥教學的應(yīng)用特點及現(xiàn)狀

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學模式下，數(shù)學教師一直扮演著課堂主導者的角色，教師成為課堂的主體，學生僅是課堂中的一個客體，他們的學習主動性和課堂主體性被大大限制．在這種教學模式下，一些自律的學生可以堅持聽講并自主學習，但大部分的高中生都有著容易走神、自制力較差的特點，久而久之就會出現(xiàn)兩極分化的情況．而在信息化教育背景下，各類教學資源都涌入了高中數(shù)學課堂中，教師開始不斷研究探索更高效的教學方法，以此尋求高質(zhì)量的課堂．洋蔥教學更加重視學生自主學習能力的培養(yǎng)，注重將抽象的數(shù)學知識點和理論轉(zhuǎn)化為直觀、具體的視覺圖像，這對幫助學生更好地理解和掌握數(shù)學知識，提高自身的自主學習能力有著非常積極的作用．將“洋蔥”數(shù)學教學方法引入高中數(shù)學課堂教學中，不僅可以有效解決傳統(tǒng)課堂的弊端，還能為教師提供更方便、更豐富的教學資料，將學生真正放到課堂的主體位置上，有利于激發(fā)起他們的主動性和積極性．

四、感悟

新課改下，《數(shù)學課程標準》提出了“數(shù)學教學要根據(jù)具體的實際教學內(nèi)容，讓學生在學習過程中獲取間接解題經(jīng)驗，或有效的直接經(jīng)驗．這就需要數(shù)學教師從學生實際情況出發(fā)，為學生創(chuàng)設(shè)自主學習的數(shù)學問題情境，引導學生通過交流、合作、實踐、思考等途徑不斷獲取數(shù)學問題解答能力、數(shù)學基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)技能、數(shù)學思維、基本活動經(jīng)驗等，促進學生主動、個性地開展數(shù)學學習，使其不斷提升自身的思考數(shù)學問題和解答的能力”．而通過洋蔥式的教學模式，將其適當引入高中數(shù)學問題解答教學過程中，也能為數(shù)學教師提供適合數(shù)學章節(jié)教學內(nèi)容的情境素材，幫助學生在洋蔥式學習中自主、積極探索、參加解答數(shù)學問題活動，掌握重難點知識，以此提高學生自身的數(shù)學學習能力．洋蔥式的數(shù)學教學還能幫助學生克服“形象到抽象”的思維障礙．學生在學習數(shù)學知識時，可以依托一個數(shù)學圖像或視頻來直觀理解數(shù)學教材中的每一個知識點，圖像與視頻刺激著學生的感官，讓他們真實感受數(shù)學知識的特點，明白數(shù)學在生活中的作用，學會用數(shù)學的思維和眼光來思考和解決生活中的問題．

例如，數(shù)學小題盡量小做，那么必須找到一條簡便明了的路徑，這就得靠平時養(yǎng)成積極探索的“洋蔥”精神，不滿足于題中圖形的表面含義，努力理解，深入思考，合理轉(zhuǎn)化，徹底讓圖形“活”起來，把圖形語言徹底轉(zhuǎn)換，讓含義體現(xiàn)得淋漓盡致．我們要學會數(shù)學上的聯(lián)想，最終化歸為最原始的定義、本質(zhì)等，需要“洋蔥”精神，層層剖析．數(shù)學學習是一個不斷思考、不斷分析、不斷反思總結(jié)、不斷概括應(yīng)用的過程，可使人聰明，提升學生的核心素養(yǎng)．在平時的教學過程中，教師要隨時抓住機遇，引導學生思考探究，親身體驗探究的樂趣、探究成功的味道，即使探究未果，也有收獲，起碼學生動腦筋思考過，注重思維活躍的形成，培養(yǎng)學生愿意學數(shù)學、會學數(shù)學的能力．

五、“洋蔥”精神培養(yǎng)策略

第一，應(yīng)夯實數(shù)學基本知識，基本技能，基本方法．學生的基礎(chǔ)發(fā)展領(lǐng)域中，除了知識和技能外，還包括一項更為重要的內(nèi)容，即學會學習和使用知識的技能，這是更重要的學習．扎實的基礎(chǔ)是技能發(fā)揮的必要條件，要在老師平時的教學和學生的學習中穩(wěn)步前進．教師要注重數(shù)學文字語言、符號語言、圖形語言的教學，靈活轉(zhuǎn)化；注重概念清晰、思路清晰、語言輕快、板書清楚．

第二，教學過程中的知識要螺旋式上升．數(shù)學知識分塊教學，但是最終高考多以綜合題出現(xiàn)，一個題目內(nèi)含有多個知識點的運用，各種知識穿插在一起發(fā)生“化學作用”，體現(xiàn)數(shù)學的簡捷，數(shù)學的優(yōu)美，數(shù)學的豐富．

第三，數(shù)學思想的培養(yǎng)．高中數(shù)學主要蘊含分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸三大思想，平時要滲透在每堂數(shù)學課中．學生在學習過程中逐漸體會，逐漸重視，逐漸嘗試應(yīng)用，以至最后養(yǎng)成習慣．學生會用數(shù)學的思維發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題，感受自己分析成功的喜悅，激起濃厚的想學數(shù)學的興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學無窮的魅力．此外，在高中數(shù)學教學中引入洋蔥式教學理念，數(shù)學教師還可以引導學生在課下開展數(shù)學學習．例如，洋蔥教學視頻可用于學生對數(shù)學知識的預覽和復習，這將有助于培養(yǎng)學生的自學技能，并提高學生的自主學習能力．

第四，回歸教材，重組素材．《新課程標準》中明確提出在數(shù)學教學中，學生的數(shù)學學習必須要具備挑戰(zhàn)性，其內(nèi)容也要有意義和現(xiàn)實性，這對幫助學生主動參與、積極觀察、探索、思考、實驗、推理與交流有著重要作用．將洋蔥式數(shù)學教學模式引入數(shù)學問題解答和知識學習中，一些有效的學習素材學生無法完全消化和解決，這就需要教師回歸高中數(shù)學教材，重組教學素材，仔細研究教材內(nèi)容，從實踐中做到大膽創(chuàng)新．

第五，創(chuàng)建“洋蔥”教學技術(shù)平臺，加強師生交流．在高中數(shù)學課堂教學中，要想更好地達到洋蔥數(shù)學教學的預期目標，數(shù)學教師除了要轉(zhuǎn)變觀念，培養(yǎng)數(shù)學思想，接受洋蔥教學方式外，還需要加強學生與教師之間的溝通交流，使得數(shù)學教師掌握學生的實際需求和學習特點，從而適當?shù)卣{(diào)整課堂教學的進度與內(nèi)容．因此，要想讓“洋蔥”數(shù)學教學方法高效地應(yīng)用到高中數(shù)學教學中，就需要教師與學生加強溝通與合作，共同努力來創(chuàng)建高效的數(shù)學課堂．學校還需要大力宣傳，積極引進這一教學技術(shù)，例如，可以聘請專業(yè)的計算機人才為師生構(gòu)建交流平臺，這對實現(xiàn)師生互動、溝通有著積極作用．學生也可以依托該平臺向教師提出學習建議，教師在整理學生建議時，能夠真正了解學生的所思所想，從而吸納意見，更好地優(yōu)化數(shù)學課堂教學，這會讓“洋蔥”教學在課堂中的應(yīng)用更為充分與生動．