基于散亂點的多元樣條擬插值逼近階估計

黃 芳 張永立 范志勇

（焦作師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000）

為了處理一元模型中的數(shù)據(jù)擬合,樣條函數(shù)的理論首先于1946年由Schoenbrg[1]給出,從而使得一元數(shù)據(jù)擬合得到了有效處理。Strang和Fix[2]將Schoenbrg的結(jié)果推廣到了多維情形，并利用緊支撐有限次線性組合做逼近。Dahmen和Micchelli[3]證明了換位子的階數(shù)等價于Strang-Fix條件。后續(xù)的許多學(xué)者研究了多元樣條擬插值[4-6], 并且得到了很好的結(jié)論。

整數(shù)點上的樣條函數(shù)逼近已被廣泛研究,我們的目的是討論散亂點上多元樣條擬插值的逼近性質(zhì)。為此,我們將討論散亂擬插值算子 對 的再生性,并且構(gòu)造了滿足本文要求的線性泛函。最后，我們研究了該散亂擬插值的逼近階。

1. 預(yù)備知識

而插值系數(shù) 是由插值條件（1）所決定的。這就是說, 需要求解如下線性系統(tǒng)。

為避免處理大數(shù)據(jù)時的復(fù)雜計算,便引入擬插值：

但是，在許多實際問題中,整數(shù)點處的數(shù)據(jù)是不可得的,或者是存在測量誤差的。因此,考慮散亂點上的擬插值問題是很有必要的。給定散亂點集 , 以及對應(yīng)的函數(shù)值表示由 的平移所生成的樣條空間，繼而給出散亂點上的樣條擬插值為

其中，線性泛函為

其中， 是散亂點集 的有限子集。在實際應(yīng)用中，通常將樣條函數(shù) 規(guī)范化, 即滿足：

由于線性泛函僅依賴于 上的點態(tài)值,那么擬插值也可寫成

考慮 關(guān)于連續(xù)函數(shù) 的換位子

2. 多項式再生性[7]

3. 逼近階估計

近年來,基于樣條函數(shù)的擬插值逼近階估計已被眾多學(xué)者廣泛研究[3,8], 散亂數(shù)據(jù)的擬插值也在文獻(xiàn)[9]中做了一些討論。在本研究中, 我們借助多元泰勒展開來得到散亂數(shù)據(jù)多元樣條擬插值的逼近階估計。

為研究多尺度擬插值逼近階估計的問題, 我們首先考慮由(2)式所定義的擬插值的逼近階,為此,我們構(gòu)造最佳近似逼近,事實上：