一道習(xí)題背后的反思

韓濤

[摘要]隨著科技的發(fā)展和網(wǎng)絡(luò)的普及，學(xué)生獲取知識的途徑更多，不再局限于課本，很多高科技如全息投影、5G網(wǎng)絡(luò)、云計(jì)算等開始應(yīng)用于生活，對于一些數(shù)學(xué)模型，學(xué)生可能得出超前超綱的解答。這時(shí)，教師不應(yīng)回避，而應(yīng)用有限的知識盡最大努力去探尋答案。這樣，即使學(xué)生沒有摘取最終的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，但在攀登的過程中就獲得成長。

[關(guān)鍵詞]容積;最大值;函數(shù);精確度;求導(dǎo)

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0039-02

偶然在期刊上看到一篇教學(xué)文章，談的是對于一道習(xí)題的探究：用一塊長10em、寬6cm的鋁膜可以做成一個(gè)敞口的長方體金屬盒，這個(gè)金屬盒的體積最大是多少？按照教師的引導(dǎo)，學(xué)生研究出三種方案，并意識到：“同一塊鋁膜，剪切的方式不同，得到的體積也不同。”

一、學(xué)生提出的超綱的解答

誰知幾天后有位學(xué)生利用3D作圖技術(shù)和計(jì)算機(jī)程序，算出了這個(gè)金屬盒的最大體積可達(dá)44cm'，并給出了施工圖。盡管鋁膜被整整分割成8塊碎片，但結(jié)果卻合情合理。筆者感慨之余不免泛起一絲疑惑：計(jì)算機(jī)是怎么推出答案的？如何驗(yàn)證44cm就是最大體積？計(jì)算機(jī)已經(jīng)推出科學(xué)結(jié)果，再反推需要哪些條件才能促成這種結(jié)論的發(fā)生（畫出施工圖，湊出長、寬、高），這似乎有些因果顛倒。難道以后所有問題，都從未知的結(jié)論倒逼得出充分條件？于是，筆者開始尋找合乎邏輯和先因后果的思考方法。

二、用有限的知識無限逼近真相

設(shè)鑄造成的金屬盒的長、寬、高分別為x，y，z，體積為V。依照題意可知：

依據(jù)題中現(xiàn)有的條件，僅能列出2個(gè)方程，推演到方程（4）就斷路了。所幸問題的目的是算出V的極大值，是一個(gè)動態(tài)的過程，筆者想到用試驗(yàn)法查驗(yàn)一下條件的特性。很快，筆者有了重大收獲——V的取值可以超出44。比如當(dāng)x=5，y=4時(shí)，V=（60-5x4）x_0≈44.4444。因?yàn)榭梢噪S意剪拼，所以長10em、寬6cm并沒有限制什么，起不到?jīng)Q定性作用，先決條件是5個(gè)面的面積之和不得大于60em2。隨后，又尋獲多個(gè)在計(jì)算機(jī)的速算功能下，舉例說明問題的方式顯得很蒼白，因?yàn)榕e例永遠(yuǎn)是有限的。為了查找證據(jù)，筆者在每組數(shù)據(jù)附近不斷提高精確度，一度精確到了四位小數(shù)。如x=5.0，y=4.2時(shí)，V～44.5109。當(dāng)x維持不變時(shí)，y在4.2上下波動，會使V值擴(kuò)大嗎？經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)算，筆者發(fā)現(xiàn)在四位小數(shù)范圍內(nèi)，y=4.2195時(shí)，V≈44.511388565最大。隨著最大體積不斷改變，筆者陷入迷茫：這些不斷刷新的數(shù)據(jù)只能推翻最大體積為44cm3的結(jié)論，但到底怎么揭開最大值的神秘面紗？筆者從這些反例中總結(jié)出一些規(guī)律：欲使V值最大，（x+y）的值一般在9上下波動，（60-xy）、xy和（x+y）三者的大小緊密關(guān)聯(lián)，相互牽制，x，y的值不能過大或者過小，應(yīng)該存在一個(gè)合理區(qū)間，使得x，y值在這個(gè)區(qū)間內(nèi)取值，V值剛好達(dá)到最大。由于存在兩個(gè)不定數(shù)，就不能一一舉例試驗(yàn)。

幾天后，筆者驀然回憶起一個(gè)結(jié)論：當(dāng)周長恒定時(shí)，圍成正方形比圍成長方形面積大。如一個(gè)矩形的周長固定為28cm，那么可推知長、寬的和是14cm，符合條件的長方形如下表所示（整數(shù)）。

顯然，長方形的長、寬差距越小，面積就越大，長和寬同時(shí)達(dá)到7cm時(shí)，正方形面積最大。換言之，當(dāng)（x+y）恒定時(shí)，xy存在最大值，并且可以確定其大小。如此一來，兩個(gè)未知數(shù)緊緊捆綁，合體成為一個(gè)未知量，解題思路峰回路轉(zhuǎn)。設(shè)x+y=t，無論i取何值，

只要保證t取最大值，V就能達(dá)到最大值。并且因?yàn)榉帜甘?2，所以V值可能是分?jǐn)?shù)形式，這就避免了“四舍五人”帶來的爭議。很快，隨著t值的變化，V的最大值浮出水面：

將t近似到個(gè)位，即t=9時(shí)，V=44.71875;

將t近似到十分位，即t=8.9時(shí)，V=44.71971875;

將t近似到百分位，即t=8.94時(shí)，V=44.72134425;

……

隨著t值精確度的不斷提高，V值也不斷增大。但小數(shù)數(shù)位是無窮多的，每把t提高一個(gè)精確度，計(jì)算起來就會愈加困難。照這樣算下去，無窮無盡，顯然這不是長久之計(jì)，也不是一勞永逸之法。

三、函數(shù)求導(dǎo)讓教師站位更高

Va+240t一t3欲使V值最大，取決于分子（240t-到最大=32t）也要達(dá)到最大值。設(shè)y（t）=240t-t=-t+240t，這是一個(gè)三次函數(shù)。對該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值為0則有y（t）=-3t2+240=0，解得t=80，t=+45?；乜搭}意，t的定義域是0《t《16，所以t取4V5時(shí)函數(shù)達(dá)到極大值。因?yàn)樵冢?，4V5）中，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，在（4V5，16）中，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，所以t=4√5時(shí)有最大值。此時(shí)：

這與先前推算出的t=8.9和t=8.94時(shí)的V值極最為貼切。為保險(xiǎn)起見，筆者還向大學(xué)教授請教。教授給出了更為專業(yè)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯稹?/p>

首先對方程（1）和（2）進(jìn)行變形，并根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造函數(shù)：

對函數(shù)L求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們統(tǒng)一取值為0，把得到的3個(gè)新方程連同原始方程組成方程組：

求得方程的解為x=2v5，y=2v5，z=v5。同樣推出Va+=20v5cm'。教授還指出：根據(jù)均值不等式的成立條件（一正二定三相等），在“若x+y=t，則xy的最大值是一”這一過程中，不能默認(rèn)為（x+y）必須存在。

對于一個(gè)沒學(xué)過高等代數(shù)的教師來說，做這道題確實(shí)很懸，學(xué)生也同樣如此。人有長短，差異總是客觀存在，教師教學(xué)時(shí)要理性看待學(xué)生的差異，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)鉆研的積極性，使學(xué)生進(jìn)入“不憤不啟，不悱不發(fā)”的狀態(tài)。

（責(zé)編 吳美玲）