例談在高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中微專(zhuān)題的設(shè)計(jì)策略

◇ 廣東 張曉華

高三數(shù)學(xué)的二輪復(fù)習(xí)是使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化的關(guān)鍵時(shí)期,也是提升學(xué)生素質(zhì)、發(fā)展能力的關(guān)鍵時(shí)期,要提升效率就必須在細(xì)節(jié)上下功夫,經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)微專(zhuān)題是行之有效的方法.微專(zhuān)題是指立足于學(xué)情、教情、考情,選擇一些切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的微型復(fù)習(xí)專(zhuān)題,也可以是一個(gè)相關(guān)聯(lián)的、可以單獨(dú)研究的知識(shí)體系,或者某種數(shù)學(xué)思想方法,力求解決復(fù)習(xí)課中的真問(wèn)題、小問(wèn)題和實(shí)問(wèn)題,可以避免二輪復(fù)習(xí)中出現(xiàn)“一錯(cuò)再錯(cuò)”“一講再講”的低效狀況.

1 微專(zhuān)題設(shè)計(jì)原則

1)針對(duì)性.微專(zhuān)題解決的是學(xué)生遇到思維障礙或方法盲點(diǎn)中的共性問(wèn)題,或是高考試題中所出現(xiàn)的新熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題,因此,在專(zhuān)題設(shè)計(jì)前要有明確的目標(biāo)意識(shí),以問(wèn)題解決為導(dǎo)向,問(wèn)題目標(biāo)清晰、具體、易于落實(shí),精選典型例題,經(jīng)過(guò)層層鋪墊,逐漸深入,最終達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).

2)時(shí)效性.在二輪復(fù)習(xí)中學(xué)生會(huì)進(jìn)行大量的訓(xùn)練和測(cè)試,教師要做有心人,根據(jù)學(xué)生答題效果,及時(shí)發(fā)現(xiàn)班級(jí)共性問(wèn)題,及時(shí)分析、總結(jié),精心設(shè)計(jì)微專(zhuān)題,及時(shí)“介入”,趁熱打鐵,才不會(huì)“延誤病情”.如果教師對(duì)學(xué)生的共性問(wèn)題反應(yīng)遲緩,就會(huì)錯(cuò)過(guò)及時(shí)糾偏的好時(shí)機(jī),即使亡羊補(bǔ)牢,效果也會(huì)大打折扣.

3)小型性.微專(zhuān)題強(qiáng)調(diào)微小,但“小而精”,知微見(jiàn)著.微專(zhuān)題入口小、容量小,以適合一節(jié)或兩節(jié)課解決的問(wèn)題為主,例題選擇不求多但求精,常常要對(duì)例題適當(dāng)“瘦身”,只有這樣才能達(dá)到高效和實(shí)用的效果,一定要注意與二輪大專(zhuān)題復(fù)習(xí)的區(qū)別.

4)可發(fā)展性.在滿(mǎn)足了前三點(diǎn)后,微專(zhuān)題的意義基本實(shí)現(xiàn).但在二輪復(fù)習(xí)階段,小目標(biāo)解決后的反思和升華顯得尤為重要.從2019年高考試題不難發(fā)現(xiàn),高考不僅要求學(xué)生具備基礎(chǔ)知識(shí)和解題能力,還應(yīng)該在思維上有一些創(chuàng)造性和創(chuàng)新性的發(fā)展.因此,在例題的設(shè)置和順序的編排上,需從單一到綜合,將對(duì)比、變式、多解等方法靈活運(yùn)用,使我們微專(zhuān)題的目標(biāo)體現(xiàn)更突出、更多維,能啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想、提煉與高中數(shù)學(xué)其他知識(shí)的橫向聯(lián)系,分析在高中數(shù)學(xué)思想方法中的位置等,不斷升華.

2 微專(zhuān)題設(shè)計(jì)方法

1)從學(xué)生遇到的難點(diǎn)中設(shè)計(jì)微專(zhuān)題

解決學(xué)生解題中的難點(diǎn)是設(shè)計(jì)微專(zhuān)題的一個(gè)著力點(diǎn).確定目標(biāo)后,需要設(shè)計(jì)微專(zhuān)題的選例,一般采取由易到難的原則.選擇一個(gè)相對(duì)起點(diǎn)低的例題,讓學(xué)生理解相應(yīng)知識(shí)和方法,層層遞進(jìn),逐步達(dá)到難點(diǎn)解決所需要的高度.

例1在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝4,點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),且PA＝2,PC＝21,則PB→·＝________.

這是一道筆者用過(guò)的月考試題,該題難度系數(shù)只有0.2,但學(xué)生反映花了很多時(shí)間進(jìn)行求解,部分學(xué)生似乎有思路卻又算不出來(lái).很多學(xué)生看到矩形馬上建立坐標(biāo)系用向量坐標(biāo)化的方法求解,但發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P坐標(biāo)無(wú)法確定,從而部分學(xué)生又用兩點(diǎn)距離公式求P的坐標(biāo),部分學(xué)生還想到以A和C為圓心建立圓的方程求交點(diǎn)P,還有學(xué)生想到用向量間線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化PB→·,但由于涉及的向量太多而放棄.

該題是以極化恒等式為背景的一道向量綜合題,在高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽和模擬考試中常常能看到它的身影,在二輪復(fù)習(xí)時(shí)有必要設(shè)計(jì)一個(gè)微專(zhuān)題進(jìn)行講解.例如,選3道例題,分別取自于高考試題和模擬試題,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從有中點(diǎn)到題中沒(méi)有直接給中點(diǎn),再到形如例1的試題.運(yùn)用極化恒等式求解,難度逐級(jí)抬升,學(xué)生能較好地理解這個(gè)定理,并能自覺(jué)地運(yùn)用定理,還能總結(jié)什么時(shí)候用該定理,對(duì)向量數(shù)量積的求法有了一個(gè)更完整的體系,能力得到升華.

例1的選例(1)：(2012年浙江卷)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM＝3,BC＝10,則·的值是________.

例1 的 選 例 ( 2)：(2016 年 江 蘇 卷)如 圖1 ,在△ABC中,D_是BC的中點(diǎn),E,F是AD_上的兩個(gè)三等分點(diǎn)的值是________.

例1的選例(3)：如圖2,正△ABC內(nèi)接于_半徑為1的圓O,點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA→·PB→的取值范圍是________.

圖1

圖2

2)從高考創(chuàng)新題型中設(shè)計(jì)微專(zhuān)題

每年高考的創(chuàng)新題型總能引起熱議,會(huì)出現(xiàn)各種新穎的解法和思想背景的分析.根據(jù)筆者多年的經(jīng)驗(yàn),創(chuàng)新題型的再次出現(xiàn)是大概率事件.例如,2012年全國(guó)卷中出現(xiàn)的“光線(xiàn)反射”問(wèn)題,緊接著在2013年湖南卷中再次出現(xiàn),而且都是壓軸題.

例2(2012年全國(guó)卷)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E是AB邊上的一定點(diǎn),點(diǎn)F是BC邊上一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P自點(diǎn)E開(kāi)始沿著直線(xiàn)往點(diǎn)F運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí),P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為.

例3(2013年湖南卷)在等腰直角△ABC中,AB＝AC＝4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn),光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA發(fā)射后又回到點(diǎn)P(如圖3).若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心,則AP為( ).

圖3

3)從學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)中設(shè)計(jì)微專(zhuān)題

二輪復(fù)習(xí)時(shí)在概念理解、定理運(yùn)用、方法步驟、隱含信息等方面都可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn).例如,在復(fù)習(xí)概率時(shí)學(xué)生在一些概念的認(rèn)識(shí)上仍然模糊,學(xué)生對(duì)于有放回與無(wú)放回、有序與無(wú)序等概率的計(jì)算模棱兩可,錯(cuò)誤率高,因此需針對(duì)該問(wèn)題仔細(xì)設(shè)計(jì)選例,突出具體概念上細(xì)微的差別,引導(dǎo)學(xué)生再次理解概念的本質(zhì)和區(qū)別,啟發(fā)學(xué)生抓關(guān)鍵字眼進(jìn)行分析.

例4從一批有10 個(gè)合格品與3 個(gè)次品的產(chǎn)品中,一個(gè)一個(gè)地抽取,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同,若每次取出的產(chǎn)品都不放回該產(chǎn)品中,試求取到合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)ξ的分布列.

例4的選例(1)：從一批有10 個(gè)合格品與3 個(gè)次品的產(chǎn)品中,一個(gè)一個(gè)地抽取,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同,若每次取出的產(chǎn)品都放回該產(chǎn)品中,試求3 次抽取中,前2 次取到次品,第3 次取到合格品的概率.

例4的選例(2)：從一批有10 個(gè)合格品與3 個(gè)次品的產(chǎn)品中,一個(gè)一個(gè)地抽取,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同,若每次取出的產(chǎn)品都放回該產(chǎn)品中,試求3 次抽取中,有2 次取到次品,1 次取到合格品的概率.

例4的選例(3)：從一批有10 個(gè)合格品與3 個(gè)次品的產(chǎn)品中,一個(gè)一個(gè)地抽取,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同,若每次取出的產(chǎn)品不放回該產(chǎn)品中,試求3 次抽取中,有2 次取到次品,1 次取到合格品的概率.

4)從教材習(xí)題中設(shè)計(jì)微專(zhuān)題

教材的習(xí)題是可以不斷挖掘的寶藏.2019年高考全國(guó)卷Ⅰ理科的第21 題是概率與數(shù)列綜合的壓軸題,知識(shí)跨度大,對(duì)遞推數(shù)列的化歸處理能力要求較高.縱觀教材,發(fā)現(xiàn)也有這樣的問(wèn)題(如例5,它是一個(gè)二階線(xiàn)性遞推數(shù)列求通項(xiàng)的經(jīng)典題目,考查整體運(yùn)算和化歸轉(zhuǎn)化思想).因此,設(shè)計(jì)微專(zhuān)題可以通過(guò)一題多解的方式學(xué)習(xí)湊配法、待定系數(shù)法、特征根法等.

例5(人教A 版數(shù)學(xué)《必修5》第二章復(fù)習(xí)參考題B組第6 題)已知數(shù)列 {an}中,a1＝5,a2＝2,an＝2an－1＋3an－2(n≥3),對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究,能否寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式?

例5的選例(1)：(2009年全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.

(1)設(shè)bn＝an＋1－2an,證明 {bn}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式.

例5的選例(2)：(2013年安徽卷)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2,a2＋a4＝8,且 對(duì) 任 意n∈N*,函數(shù)f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx滿(mǎn)足f′()＝0.

(1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式;(2)略.

例5的選例(3)：(2019年全國(guó)卷Ⅰ 理科第21 題刪減)已 知pi(i＝0,1,…,8),p0＝0,p8＝1.pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2,…,7).

(1)證明：{pi＋1－pi}(i＝1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(2)求p4.

微專(zhuān)題能較好地契合高考命題“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的四翼要求,能有效解決二輪大專(zhuān)題復(fù)習(xí)口徑大的問(wèn)題.教師應(yīng)做個(gè)“有心人”,時(shí)刻關(guān)注學(xué)生、關(guān)注高考,處處都有好“切口”,設(shè)計(jì)好題組,把教學(xué)內(nèi)容微專(zhuān)題化,把微專(zhuān)題講好練透,促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)體系、能力體系的建構(gòu),提升學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生的應(yīng)用能力.