物理題“圓”來可以這樣解

◇ 江蘇 陳宏奎

《普通高中物理課程標準(2017年版)》明確指出,高中物理課程應在義務教育的基礎上,進一步促進學生物理學科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展.通過高中物理課程的學習,學生應具有建構(gòu)模型的意識和能力;能運用科學思維方法,從定性和定量兩個方面對相關(guān)問題進行科學推理、找出規(guī)律、形成結(jié)論.在日常教學過程中,教師應有意識地強化物理問題的輔助線構(gòu)建,提升學生科學思維能力.從發(fā)展學生物理學科核心素養(yǎng)的角度看,培養(yǎng)這種意識是必要的.

輔助線不僅僅局限于作直線,還包括作圓.“圓”是一個完美的圖形,高中生基本上對圓知識做到了深入理解,一旦解題時涉及或符合建圓條件,構(gòu)建輔助圓往往能獲得事半功倍的效果.下面結(jié)合實例,談談如何突破物理問題中的圓輔助線思維.

1 從矢量方向可變的角度切入,構(gòu)建輔助圓

例1已知力F的一個分力F1與F成30°角,大小未知,另一分力F2的大小為,方向未知.則F1大小可能有幾種解( ).

A.無解 B.唯一解

C.兩種解 D.不能確定

分析學生都知道用三角形定則(或平行四邊形定則)來解決力的合成與分解問題,但本題容易形成漏解.考慮到分力F2大小確定而方向未知的情況,從矢量方向可變的角度切入,可知把所有可能滿足條件的F2矢量一端連起來應該正好構(gòu)成一個圓,一旦想到和畫出這條輔助線,即構(gòu)建輔助圓(如圖1),就能看出符合要求的有兩種解,問題得以完美解決.

圖1

2 從圓周角定理角度切入,構(gòu)建輔助圓

例2如圖2所示,重力為mg的物體用兩根繩子OA、OB懸掛,開始時繩OA水平,現(xiàn)將兩繩同時順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°,始終保持α角大小不變且物體始終靜止,繩OA的拉力為FT1,繩OB的拉力為FT2,則在此旋轉(zhuǎn)過程中不可能發(fā)生的是( ).

A.FT1先減小后增大

B.FT1先增大后減小

C.FT2逐漸減小

D.FT2最終變?yōu)榱?/p>

圖2

分析分析結(jié)點O受力,總有三力合力為零,始終構(gòu)成一個首尾順次相連的封閉三角形.注意到矢量三角形一條邊固定,即重力大小方向不變,相當于一條弦固定,而兩繩同時順時針緩慢轉(zhuǎn)動變化過程中,矢量三角形另外兩條邊所夾角度始終保持大小不變,可以由圓周角定理及其推論(一條弦或弧同一側(cè)有相等的圓周角)切入,在初狀態(tài)的矢量直角三角形的基礎上,以表示繩OB的拉力FT2矢量為直徑構(gòu)建輔助圓,再畫出后續(xù)動態(tài)矢量三角形如圖3所示,由圖看出,FT1先增大后減小,FT2逐漸減小,直到為零,故選項A 正確.

圖3

3 從求解微小位移的角度切入,構(gòu)建輔助圓

例3如圖4所示,用一根輕繩拉住一置于水平地面上的物體,繩的另一端通過定滑輪系在一輛小車上,則當小車勻速水平向左拉繩時,物體將做( ).

A.勻速運動

B.減速運動

C.加速運動

D.不能確定

圖4

分析本題考查連接體速度關(guān)系,即繩(輕桿)兩端連接的物體在沿繩(輕桿)方向上的分速度相等.先明確繩兩端兩物體運動方向.物體的實際運動是水平向左,它的速度可以產(chǎn)生兩個效果：一是使定滑輪右側(cè)繩子縮短;二是使定滑輪右側(cè)繩子與豎直方向的夾角減小.所以將物體速度沿繩方向和垂直繩方向進行正交分解,設小車勻速向左拉繩速度為v,得物體速度而α逐漸增大,則物體速度v1逐漸增大,選項C正確.

連接體速度關(guān)系是高中物理知識難點,不少學生掌握不好,不清楚知識本質(zhì),導致解題錯誤.其實,根據(jù)速度等于位移除以時間,借助微元思想,依然可以有效求解.在極短時間t內(nèi),要找沿繩方向繩子縮短的速度(小車勻速向左拉繩速度)和物體向左運動速度之間的關(guān)系,只需要找到位移關(guān)系即可.從求解微小位移的角度入手,以定滑輪結(jié)點O為圓心,以縮短后繩長OB為半徑構(gòu)建圓輔助線如圖5,則小車速度而物體速度v1＝根據(jù)數(shù)學知識,在極短時間Δt內(nèi),∠COB極小的情況下,△ACB可視為直角三角形,易得sABcosα＝sAC,則得出一致結(jié)果.

圖5

4 從等時圓模型的角度切入,構(gòu)建輔助圓

例4如圖6所示,AB弧是半徑為R的1/4圓弧,在AB弧上放置一上表面光滑的木板DB.一質(zhì)量為m的木塊在DB板的上端由靜止下滑,然后沖上水平面BC,在BC上滑行L距離后停下(設在B點無能量損失).已知木塊m與BC間動摩擦因數(shù)為μ,求木塊m在DB板上運動過程中重力的平均功率.

圖6

分析本題難點不在于求木塊在木板上運動時重力做的功,而在于木塊在光滑木板上運動時間的求解.看似題給條件不充分,實則暗藏等時圓模型(附：物體沿位于同一豎直圓上所有光滑弦由靜止下滑,到達圓周最低點所用時間相等,這樣的豎直圓即簡稱為“等時圓”).該題立意新穎,出題角度獨特,對考生的模型構(gòu)建、知識遷移、分析綜合能力要求較高.

補全半徑為R的1/4圓弧形成一個“等時圓”,由“等時圓”結(jié)論可知：木塊在光滑木板上運動時間等于從圓最高點向下做自由落體運動2R距離到B點所用時間,即,由此問題得以突破.

圖7

5 從衛(wèi)星變軌問題的角度切入,構(gòu)建輔助圓

例5航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后,在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ,B為軌道Ⅱ上的一點,如圖8.航天飛機在軌道Ⅱ上經(jīng)過B的速度與在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度相比哪個大?

分析航天飛機運動在軌道Ⅱ上經(jīng)過B的速度是橢圓軌道近點的速度,大于在軌道Ⅱ上經(jīng)過A點的速度(遠點速度).由變軌知識知軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度也大于在軌道Ⅱ上經(jīng)過A點的速度.題給問題貌似無法比較,思路陷入僵局.

圖8

橢圓軌道與圓軌道比較線速度大小肯定要從衛(wèi)星變軌問題的角度切入,所以過B點構(gòu)建一與橢圓軌道相切的圓軌道Ⅲ,由變軌知識,即加速離心轉(zhuǎn)高軌推知航天飛機在軌道Ⅱ上經(jīng)過B的速度大于航天飛機在圓軌道Ⅲ上經(jīng)過B的速度,由圓周運動知識可知在圓軌道Ⅲ上經(jīng)過B的速度大于在圓軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度,則航天飛機在軌道Ⅱ上經(jīng)過B的速度大于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度.

圖9

6 從點電荷等勢面的角度切入,構(gòu)建輔助圓

例6某點電荷的電場線分布如圖10所示,同一電場線上有A、B、C三點,且滿足距離AB＝BC,試比較UAB與UBC的大小關(guān)系.

圖10

分析由題意判斷出點電荷帶正電,由點電荷等勢面的特征可知等勢面為同心球面,且離點電荷越遠等勢面越稀疏,從點電荷等勢面的角度切入,先畫出過A點與C點的等勢面輔助圓如圖11所示,再畫A、C兩點中間電勢的等勢面,這有助于加深理解相應知識,解決問題自然也會更迅速.

總之,高考物理改革的總趨勢為從知識立意轉(zhuǎn)為能力立意,高中生要將物理知識的學習內(nèi)化為具備物理學科特性的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力,養(yǎng)成從題目中提煉核心關(guān)鍵信息并多思考的習慣,訓練自己借助輔助線綜合分析和解決實際問題的能力.

圖11