萬(wàn)變不離其宗
———一道三角函數(shù)題的破解

◇ 山東 張海艷

三角函數(shù)是每年高考中的熱門(mén)考點(diǎn),而最為常見(jiàn)的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題一般通過(guò)三角函數(shù)的定義、公式、圖象與性質(zhì)等的考查來(lái)達(dá)到應(yīng)用的目的,難度中等,但運(yùn)算量大,技巧性強(qiáng).

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)其中上恒成立,則的最大值為( ).

此題以三角函數(shù)為載體,結(jié)合三角函數(shù)的含參關(guān)系式以及三角不等式恒成立的條件,來(lái)確定對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的最值問(wèn)題.通過(guò)巧妙設(shè)置,把三角函數(shù)中的幾大知識(shí)點(diǎn)加以融合,充分考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角不等式以及恒成立問(wèn)題等,是考查三角函數(shù)知識(shí)的一大亮點(diǎn)與創(chuàng)新點(diǎn).

2 問(wèn)題破解

解法1(三角不等式討論法)由于可得而恒成立,則有又由于φ＜2x＋φ＜所以

點(diǎn)評(píng)

解法1根據(jù)三角不等式恒成立的條件,綜合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),這是解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法.破解的關(guān)鍵就是有效綜合三角不等式恒成立的求解以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定含參變量的取值范圍,為進(jìn)一步確定三角函數(shù)的最值奠定基礎(chǔ).

解法2(排除法)由于直接排除選項(xiàng)D;又是最小值,不符合題目條件,可以排除選項(xiàng)C;假設(shè)是最大值,此時(shí)解得cosφ＝0,結(jié)合可得2x∈時(shí),

f(x)＞0不恒成立;當(dāng)時(shí),

f(x)＞0也不恒成立,所以可以排除選項(xiàng)A.故選B.

點(diǎn)評(píng)

涉及三角函數(shù)的一些選擇題,排除法有時(shí)是一種非常有效、快捷的方法.充分利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),借助各選項(xiàng)之間的關(guān)系,可以巧妙地加以分析與排除,間接處理,從而達(dá)到正確破解問(wèn)題的目的.