極坐標(biāo)系中的三種“點(diǎn)”問題

◇ 山東 張世強(qiáng)

在極坐標(biāo)系中,我們經(jīng)常會(huì)遇到點(diǎn)與點(diǎn)的三種特殊的位置關(guān)系,即同一個(gè)點(diǎn)、共線的點(diǎn)、共圓的點(diǎn)這三種“點(diǎn)”的問題.由于極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的差別,在解決這三種“點(diǎn)”的極坐標(biāo)問題時(shí),經(jīng)常會(huì)由于平面直角坐標(biāo)知識(shí)的負(fù)遷移而導(dǎo)致錯(cuò)誤,在解答此類問題時(shí)一定要加以重視.

1 同一個(gè)點(diǎn)

在極坐標(biāo)系中,一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有多種表達(dá)形式,即極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)不是一一對(duì)應(yīng)的.

例1“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“兩點(diǎn)A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析

由ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2可得兩點(diǎn)A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)是重合的;而若兩點(diǎn)A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合,可得當(dāng)ρ1＝ρ2 時(shí),θ1＝2kπ＋θ2(k∈Z);當(dāng)ρ1＝－ρ2時(shí),θ1＝(2k＋1)π＋θ2(k∈Z);所以“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“兩點(diǎn)A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的充分不必要條件,故選擇A.

點(diǎn)評(píng)

在解決同一個(gè)點(diǎn)的問題時(shí),一定要注意點(diǎn)的極坐標(biāo)是不唯一的.

2 共線的點(diǎn)

在極坐標(biāo)系中,要研究點(diǎn)共線的點(diǎn)問題時(shí),往往可以把點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo),再結(jié)合平面直角坐標(biāo)中的相關(guān)知識(shí)來處理問題.

例2在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)試判斷A,B,C三點(diǎn)是否在同一條直線上.

解析

方法1由的直角坐標(biāo)分別為那么所以kAB＝kAC,因此A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上.

方法2由于那么

點(diǎn)評(píng)

解答此類問題,常用的方法是將極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)問題,再利用平面直角坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)加以求解.

3 共圓的點(diǎn)

在極坐標(biāo)系中,要判斷點(diǎn)是否在相應(yīng)的圓上,一般把圓的方程與點(diǎn)的坐標(biāo)都轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),再利用相關(guān)的知識(shí)加以判斷.

例3圓M的極坐標(biāo)方程為判斷點(diǎn)是否在M上.

解析

點(diǎn)評(píng)

本題可直接根據(jù)相應(yīng)的極坐標(biāo)方程確定相應(yīng)的圓心與半徑,再巧妙轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)方程,從而實(shí)現(xiàn)順利求解.