基于排隊理論的自動化物流倉儲系統(tǒng)規(guī)劃研究

章俊哲，李金村，徐 健，楊 驍，蔡 靖

（1.北京機械工業(yè)自動化研究所，北京 100120；2.北自所（北京）科技發(fā)展有限公司，北京 100120）

0 引言

國家的立國之本在于制造業(yè)，制造業(yè)的蓬勃發(fā)展意味著國家經(jīng)濟的突飛猛進。在制造業(yè)自動化生產的過程中，產生了一些新的問題，比如輸送、倉儲等。美國的福特汽車公司曾經(jīng)做出過調查，生產工藝只花費了大概5%的時間，而95%的時間花在了零件的搬運和成品貨物的倉儲，大大浪費了成本。從中可以看出，越來越多的企業(yè)選擇自動化物流倉儲系統(tǒng)作為企業(yè)構成的重要環(huán)節(jié)[1]。

隨著自動化物流倉儲系統(tǒng)應用越來越廣泛，很多學者開始對其進行研究和優(yōu)化。薛亞莉通過對遺傳算法和模擬退火算法[2]進行改進和融合，優(yōu)化了立體倉庫的貨位。劉愷文等人為了合理進行貨位的分配，研究了定位存儲和隨機存儲兩種入庫策略[3]。Banu.Y.Ekren通過穿梭式儲存和檢索系統(tǒng)[4]對自動化立體庫進行設計，克服了由于電商增加而導致的問題，具有更高的處理訂單效率。褚東亮等人通過計算機仿真軟件Flexsim對某物流企業(yè)的自動化立體倉庫進行動態(tài)建模仿真，研究人員效率、設備利用率是否能達到預期的效果[5]。以往的學者對物流倉儲系統(tǒng)中的自動化立體倉庫進行了優(yōu)化，但是對自動化物流倉儲系統(tǒng)整體布局和規(guī)劃分析的較少。

本文應用排隊理論對自動化物流倉儲系統(tǒng)進行數(shù)學模型的抽象研究，推算出評價參數(shù)來合理地規(guī)劃物流設備數(shù)量，保證在投入成本最小的情況下得到最優(yōu)的方案。確定方案以后進行仿真，驗證該物流方案。

1 自動化物流倉儲系統(tǒng)的排隊模型

1.1 系統(tǒng)概述

圖1是A廠的自動化物流倉儲系統(tǒng)流程圖，主要設備包括貨架、堆垛機、機器人、輸送線等。

圖1 A廠自動化物流倉儲系統(tǒng)流程圖

機器人進行對貨物的碼垛和拆垛，每次抓取1件貨物。立體倉庫中每個巷道均有左右兩排貨架，具有多層多列，每個貨位可存放一個托盤；堆垛機是完成托盤在庫內存取，并與輸送線交互實現(xiàn)托盤的出入庫的設備；輸送線的作用是將貨物或者托盤在各個環(huán)節(jié)之間進行傳送。

1.2 排隊理論概述

排隊理論是解決現(xiàn)實中的“服務問題”的一種方法，是一種研究系統(tǒng)由于各種隨機因素導致整個系統(tǒng)出現(xiàn)堵塞的現(xiàn)象，從而通過調節(jié)一些因素來減少堵塞現(xiàn)象的理論，一般模型如圖2所示。排隊理論可以通過設定參數(shù)，建立模型，來模擬實際情況。再通過計算，得到一些指標參數(shù)，優(yōu)化與分析整個系統(tǒng)。

圖2 排隊模型框圖

1.3 排隊模型建立

根據(jù)排隊理論對A廠的物流系統(tǒng)各環(huán)節(jié)進行建模：

1）入庫前，顧客流為單件貨物，碼垛機器人為服務機構，單件貨物通過輸送線運送至碼垛機器人進行碼垛，6件貨物碼放為一垛，碼垛完畢視為服務結束，即顧客離去。

2）入庫時，顧客流為托盤，服務機構為堆垛機，堆垛機將托盤存入相應的貨位后，視為服務結束。

3）出庫時，顧客流為托盤，服務機構為堆垛機，托盤被堆垛機運送至出庫端放置完畢后，視為服務結束。

4）出庫后，托盤被運送至拆垛機器人，顧客流為托盤，服務機構為拆垛機器人，拆垛機器人進行拆垛，拆垛完成以后，視為服務結束。

結合排隊理論，根據(jù)A廠的設計參數(shù)，對系統(tǒng)做出模型的約束松弛條件：

1）所有的顧客流均服從先到先服務（FCFS）原則：

2）顧客的到達數(shù)量無限且相互獨立，單個顧客到達服務臺的過程服從泊松分布，顧客到達時間間隔服從負指數(shù)分布；

3）系統(tǒng)中各服務臺的服務時間相互獨立，服務臺的作業(yè)時間服從負指數(shù)分布；

4）整個系統(tǒng)不存在等待損失。

根據(jù)以上的約束松弛條件可知，系統(tǒng)符合多服務臺等待制排隊模型。

多服務臺等待制排隊模型可以分為兩類：多隊列多服務臺等待制排隊模型，即s個M/M/1排隊模型；單隊列多服務臺等待制排隊模型，即M/M/s排隊模型。根據(jù)文獻[6]可知1個M/M/s系統(tǒng)的工作效率要比s個M/M/1系統(tǒng)的工作效率高，因此要根據(jù)M/M/s排隊模型對物流倉儲系統(tǒng)進行規(guī)劃。如圖3所示，M/M/s模型的顧客都會排成一隊，當有服務臺處于空閑時，顧客進入服務臺進行服務。

圖3 單隊列多服務臺等待制排隊模型框圖

1.4 系統(tǒng)運行指標

圖4是基于多服務臺等待制M/M/s排隊模型的A廠物流系統(tǒng)流程圖。

圖4 A廠多服務臺等待制M/M/s排隊模型

設系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的顧客到達過程服從參數(shù)為λi的泊松分布，各環(huán)節(jié)的服務臺服務時間服從參數(shù)為μi的負指數(shù)分布，其中i=1，2，3，4。M/M/s的排隊理論模型評價指標的計算方法[7]如下：

1）系統(tǒng)服務強度為：

2）系統(tǒng)中所有服務臺都空閑的概率為：

3）平均隊長為：

4）平均正在服務窗口：

5）系統(tǒng)隊長：

6）貨物的平均等待時間：

7）系統(tǒng)內貨物必須排隊的概率：

8）服務臺的運行效率：

2 實例分析

2.1 根據(jù)需求計算出入庫流量

1）碼垛入庫系統(tǒng)的流量計算

根據(jù)A廠廠商計劃，預計到2030年產量最高會達到1520萬件，每年工作300天，每天工作16個小時，一個托盤存放6件貨物，可以計算出每小時的入庫量為3166件/h，即527托盤/h。

2）出庫系統(tǒng)的流量計算

通過對零售和電商的出庫數(shù)據(jù)進行處理分析，并考慮企業(yè)發(fā)展規(guī)劃，對未來物流中心零售業(yè)務的物流需求進行預測，當前規(guī)劃的日出庫目標值為50000件，出庫系統(tǒng)每天工作24小時，即347托盤/h。

2.2 各環(huán)節(jié)排隊模型輸入?yún)?shù)確定

1）碼垛系統(tǒng)

設定碼垛機器人的碼垛能力μ1為大約10s抓取一件貨物，即μ1=60托盤/h；已知系統(tǒng)的入庫流量λ1為527托盤/h，即λ1=527托盤/h。根據(jù)以上參數(shù)，可以得到系統(tǒng)服務強度：ρ1=λ1/μ1=8.78。故碼垛機器人的數(shù)量需要大于等于9臺。

2）入庫、出庫系統(tǒng)

碼垛機器人碼放完畢以后，托盤通過輸送線運送至堆垛機，執(zhí)行入庫流程。根據(jù)出庫訂單，堆垛機執(zhí)行出庫任務取貨，將托盤出庫。立體倉庫作為系統(tǒng)的中間環(huán)節(jié)，需要對堆垛機的數(shù)量進行優(yōu)化。

對于單臺堆垛機，單一平均作業(yè)效率δsin為1.47分鐘/盤，即40盤/小時，復合平均作業(yè)效率δcom為2.23分鐘/2盤，即53盤/小時。根據(jù)出入庫實際數(shù)據(jù)可知，堆垛機的單一作業(yè)概率sin為11%，復合作業(yè)概率com為89%，堆垛機空閑率π為15%。單臺堆垛機系統(tǒng)綜合出入庫作業(yè)能力ω定義為：

單臺堆垛機的入庫能力μ2和出庫能力μ3分別定義為：

由于入庫流量λ2為527托盤/h，出庫流量λ3為347托盤/h，所以可以得到：ω=43.8盤/小時，μ2=26.4托盤/h，μ3=17.3托盤/h。由式(1)得系統(tǒng)服務強度ρ2=19.9，ρ3=20.05，故堆垛機的數(shù)量應該大于等于21臺。

3）拆垛系統(tǒng)

出庫系統(tǒng)得出庫流量即為拆垛系統(tǒng)的輸入流量λ4為347托盤/h，拆垛機器人的拆垛能力μ4為9s處理1件貨物，即μ4=66.6托盤/h，所以可得系統(tǒng)的服務強度ρ4為5.21。故拆垛機器人的數(shù)量需要大于等于6臺。

2.3 各環(huán)節(jié)排隊模型數(shù)據(jù)分析

如圖5所示，根據(jù)式(7)和式(9)計算出各環(huán)節(jié)服務臺數(shù)量變化時的貨物平均等待時間和服務臺運行效率。值的注意的是，式(4)平均隊長和平均等待時間成正比，系數(shù)為λ，曲線趨勢完全一致，故不畫出。

如圖5(a)所示，服務臺數(shù)量為10臺時是曲線的拐點，此時ρs1＜1，碼垛系統(tǒng)穩(wěn)定；如圖5(b)所示，服務臺數(shù)量為22臺時是曲線的拐點，此時ρs2＜1且ρs3＜1，入庫、出庫系統(tǒng)穩(wěn)定；如圖5(c)所示，服務臺數(shù)量為7臺時是曲線的拐點，此時ρs4＜1，拆垛系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5 物流倉儲系統(tǒng)各環(huán)節(jié)不同數(shù)量服務臺曲線圖

表1 物流倉儲系統(tǒng)各環(huán)節(jié)排隊模型參數(shù)

各環(huán)節(jié)服務臺數(shù)量在拐點附近確定。根據(jù)式(1)～式(9)計算出各環(huán)節(jié)拐點附近部分服務臺數(shù)量的評價指標數(shù)據(jù)，如表1所示

1）碼垛系統(tǒng)

當碼垛機器人數(shù)量為10臺時，平均隊長Lq為4.38個托盤（26.28件貨物），貨物的平均等待時間Wq為29.9s。對于碼垛系統(tǒng)來說，輸入端堵塞的是貨物，不是托盤，系統(tǒng)擁堵情況有點嚴重，等待時間過長，會影響效率，所以需要通過增加碼垛機器人來優(yōu)化排隊系統(tǒng)，減少排隊隊長和排隊時間。碼垛機器人增加至11臺時，平均隊長Lq為1.52托盤（9.12個貨物），貨物的平均等待時間Wq為10.41s，與10臺相比，明顯減少了排隊擁堵和等待時間，提升了整體運行效率。

2）入庫、出庫系統(tǒng)

堆垛機數(shù)量為22臺時，等待時間過長影響效率。堆垛機增加至23臺時，入庫、出庫等待時間分別減少了50.94%和46.15%。堆垛機增加至24臺時，入庫、出庫等待時間分別減少了73.58%和74.05%。并且綜合考慮到堆垛機系統(tǒng)的容錯率，堆垛機為24臺時，顯著地減少了等待時間，優(yōu)化了出入庫系統(tǒng)。

3）拆垛系統(tǒng)

考慮到系統(tǒng)的容錯性和冗余量，當拆垛機器人數(shù)量為7臺或8臺時，平均隊長和等待時間與6臺相比有明顯提升，并且7臺和8臺效果差距不大。因此A廠可結合投入預算，自行選擇7臺或8臺拆垛機器人。

3 仿真分析

3.1 仿真建立

建立物流倉儲系統(tǒng)動態(tài)模型，設仿真時間為t，在t時間內，顧客到達總量為m。顧客的到達過程服從泊松分布，第n個顧客的到達時間間隔為an。服務臺的服務時間服從負指數(shù)分布，服務臺為第n個顧客服務的服務時間為sn。第n個顧客到達系統(tǒng)的時間間隔為An，系統(tǒng)為第n個顧客開始服務的時間為Bn，第n個顧客離開系統(tǒng)的時間為Cn。有公式：

第n個顧客的到達時刻An為：

系統(tǒng)為第n個顧客開始服務的時間Bn為：

系統(tǒng)中所有顧客的平均等待時間Wq為：

3.2 仿真數(shù)據(jù)

采用3.1節(jié)中建立的仿真模型對碼垛系統(tǒng)進行仿真，仿真結果如圖8、圖9所示。當碼垛機器人數(shù)量設置為11臺，貨物數(shù)量為200件時，得到平均等待時間為10.05s，平均隊長為1.47件。例如，第101件貨物的到達時間為585.8s，服務時間為14.6s，等待時間為10.6s，當前排隊數(shù)量為8件，離開時間為611.1s。

10臺和11臺碼垛機器人進行15次仿真實驗，貨物數(shù)量為5000件的數(shù)據(jù)如表2所示。

圖8 11臺碼垛機器人等待時間仿真圖

圖9 11臺碼垛機器人隊長仿真圖

表2 碼垛系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)

表2（續(xù)）

樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，運用數(shù)理統(tǒng)計計算出樣本的平均值、標準差和95%置信區(qū)間。10臺碼垛機器人時，平均排隊時間的理論值為29.9s，樣本得出的95%置信區(qū)間范圍為（28.54，30.17），理論值在置信區(qū)間內，說明排隊理論運用在碼垛系統(tǒng)中合理。11臺碼垛機器人同理。

出入庫系統(tǒng)和拆垛系統(tǒng)仿真結果如表3所示。各系統(tǒng)的理論值均在95%置信區(qū)間內，說明排隊理論運用在各系統(tǒng)合理。

表3 出入庫和拆垛系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)

4 結語

本文提出了一種基于排隊理論規(guī)劃自動化物流倉儲系統(tǒng)的方法，并針對系統(tǒng)各環(huán)節(jié)進行分析。通過數(shù)學建模得出指標參數(shù)，求出最優(yōu)方案。通過仿真驗證排隊理論運用在該系統(tǒng)的合理性。同時為A廠節(jié)約了成本投入，提高了物流效率。

自動化物流倉儲系統(tǒng)還有許多其他的環(huán)節(jié)，例如環(huán)穿車系統(tǒng)、AGV系統(tǒng)等。鑒于篇幅有限，其他環(huán)節(jié)也可用類似的方法進行研究，因此本文不再贅述。