一類(lèi)有限Abel群的自同構(gòu)群

石靜靜，周 芳

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

0 引言

設(shè)G是一個(gè)交換群，當(dāng)G作為循環(huán)群的直積時(shí)，它的結(jié)構(gòu)是眾所周知的，見(jiàn)[1-2]，而AutG的結(jié)構(gòu)還遠(yuǎn)不為人知.Bidwell和Curran[3]分析了G=Cpm×Cpn(p是奇素?cái)?shù)或p=2)的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)并給出它的一種簡(jiǎn)單表示.Bidwell[4]也描述到當(dāng)G=H1×H2×H3，其中Hi為循環(huán)群時(shí)，則有

其中

通過(guò)利用矩陣表示的方法計(jì)算出AutG的結(jié)構(gòu)以及它的生成元和生成關(guān)系.

設(shè)G=Cpm1×Cpm2×Cpm3(p為素?cái)?shù)且m1>m2>m3)，本文采用一種更為簡(jiǎn)潔的矩陣表示方法從p是奇素?cái)?shù)和p=2這兩種情況分別給出AutG的結(jié)構(gòu)以及它的一種簡(jiǎn)單表示.本文的符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的[5].

1 主要內(nèi)容

1.1 Aut(Cpm1×Cpm2×Cpm3)，p為奇素?cái)?shù)

則有

進(jìn)一步，如果設(shè)

正如[7]中，我們可以很自然地去定義：Aij=〈aij〉，它們都是循環(huán)的.從而得出AutG=〈a11，a12，a13，a21，a22，a23，a31，a32，a33〉，其中

現(xiàn)詳細(xì)考慮其余的關(guān)系，計(jì)算如下：

對(duì)于aijaji是最復(fù)雜的，具體計(jì)算如下：

則

最后，我們得到了Aut(Cpm1×Cpm2×Cpm3)的9個(gè)生成元之間的生成關(guān)系：

Aut(Cpm1×Cpm2×Cpm3)?〈a11，a12，a13，a21，a22，a23，a31，a32，a33：

1.2 Aut(C2m1×C2m2×C2m3)

則有

AutH1=〈α1〉×〈α11〉?C2×C2m1-2，

AutH2=〈β1〉×〈α22〉?C2×C2m2-2，

AutH3=〈γ1〉×〈α33〉?C2×C2m3-2，

進(jìn)一步，可設(shè)

則子群A11=〈b1，a11〉?C2×C2m1-2，A22=〈b2，a22〉?C2×C2m2-2，A33=〈b3，a33〉?C2×C2m3-2.因此，AutG=〈b1，a11，a12，a13，a21，b2，a22，a23，a31，a32，b3，a33〉.

下面定義階，具體地，當(dāng)mi>2，有ο(aii)=2mi-2，若i≠j，有ο(aij)=2min(mi，mj)，且當(dāng)mi>1，有ο(bi)=2，即：

對(duì)于ajiaij的形式：

若uij=2：選取ωij(必須為奇數(shù))，使?jié)M足-5ωij≡1+uij≡3(mod2mi)，現(xiàn)就a21a12來(lái)考慮，具體如下：

最后，得到AutG的12個(gè)生成元之間的生成關(guān)系：

Aut(G)?〈b1，a11，a12，a13，a21，b2，a22，a23，a31，a32，b3，a33：