高等代數(shù)競(jìng)賽中的思想與方法教學(xué)探討

[摘 要] 高等代數(shù)競(jìng)賽需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想的理解，以及解題技巧的運(yùn)用。文章以高等代數(shù)中幾個(gè)重要關(guān)系與概念及其引入源為切入點(diǎn)，以特定的高等代數(shù)競(jìng)賽試題探討數(shù)學(xué)思想以及解題技巧在課程學(xué)習(xí)乃至競(jìng)賽輔導(dǎo)中的教學(xué)。

[關(guān)鍵詞] 高等代數(shù)競(jìng)賽;楊輝三角;線性變換

[基金項(xiàng)目] 2018年度中國(guó)礦業(yè)大學(xué)教學(xué)研究一般項(xiàng)目“從基礎(chǔ)實(shí)踐到競(jìng)賽輔導(dǎo)的高等代數(shù)教學(xué)改革與實(shí)踐”（2018YB29）

[作者簡(jiǎn)介] 夏春光（1984—），男，江蘇宿遷人，理學(xué)博士，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事李理論及其表示理論研究。

[中圖分類號(hào)] G642? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）30-0232-02? ? [收稿日期] 2020-01-05

一、引言

高等代數(shù)是相對(duì)于初等代數(shù)而言的，是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱。初等代數(shù)是從解最簡(jiǎn)單的一元一次方程開(kāi)始的，進(jìn)而一方面討論二元及三元一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個(gè)方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)學(xué)討論多個(gè)未知數(shù)的一次方程組（也稱為線性方程組）同時(shí)還研究次數(shù)更高的一元方程。發(fā)展到這個(gè)階段，就叫做高等代數(shù)?，F(xiàn)在大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的高等代數(shù)課程[1-7]一般包括：多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)理論。

為了激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步推動(dòng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)于2009年開(kāi)始主辦全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽。該競(jìng)賽[8，9]每年舉辦一次，分為數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽和非數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽，其中數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽高等代數(shù)考題占比35%，內(nèi)容涉及多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、雙線性函數(shù)與二次型、線性空間、線性變換、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型以及歐式空間等內(nèi)容。

要想獲得好的高等代數(shù)競(jìng)賽成績(jī)，學(xué)生需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，需要注重?cái)?shù)學(xué)思想的理解，同時(shí)也需要注重解題方法與技巧的運(yùn)用。在高等代數(shù)課程中，矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系是矩陣的兩種重要的等價(jià)關(guān)系，考慮在這兩種關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)型，分別對(duì)應(yīng)合同變換與相似變換。進(jìn)一步，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，可以同時(shí)考慮合同變換與相似變換，也就是所謂的正交相似對(duì)角化問(wèn)題。行列式是作為基本的數(shù)學(xué)工具，也是高等代數(shù)課程中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。楊輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來(lái)，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合。

文章先從教學(xué)的角度回顧矩陣的合同關(guān)系，相似關(guān)系，正交矩陣以及相應(yīng)的引入源。然后推廣二階行列式的定義，回顧楊輝三角及相關(guān)的組合式。最后以競(jìng)賽題實(shí)例應(yīng)用上述知識(shí)。

二、幾個(gè)重要關(guān)系與概念及其引入源

1.矩陣合同關(guān)系及引入源。在高等代數(shù)課程中，講解二次型時(shí)會(huì)引入矩陣的合同關(guān)系。設(shè)A，B為兩個(gè)方陣，如果存在可逆方陣C，使得C■AC=B，則稱方陣A與B合同。從線性變換的角度來(lái)看，若方陣A與B合同，則對(duì)矩陣A作合同變換必可得到B。這里一次合同變換指的是作一次行變換，然后再作一次相同的列變換。其引入可表述如下：已知一個(gè)二次型的矩陣為A，二次型經(jīng)非退化線性替換變?yōu)樾碌亩涡?，若新的二次型的矩陣為B，則矩陣A與B相互合同。

2.矩陣相似關(guān)系及引入源。在高等代數(shù)課程中，講解線性變換時(shí)會(huì)引入矩陣的相似關(guān)系。設(shè)A，B為兩個(gè)方陣，如果存在可逆方陣C，使得=B，則稱方陣A與B相似。其引入可表述如下：已知一個(gè)線性空間上有一個(gè)線性變換，設(shè)線性變換在一組基下的矩陣為A，在另一組基下的矩陣為B，則矩陣A與B相似。

3.實(shí)正交矩陣及引入源。在高等代數(shù)課程中，講解歐式空間時(shí)會(huì)引入正交矩陣的概念。設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，如果其滿足E，則稱方陣A是正定的。其引入可表述如下：已知一個(gè)歐式空間上有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)從其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為A，則矩陣A是正定的。

三、行列式與楊輝三角

1.行列式的推廣。行列式的概念最早是由17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在解線性方程組時(shí)引入的。眾所周知，一般二階行列式定義為：a bc d=ad-bc在上述二階行列式的定義中，如果將四個(gè)數(shù)a，b，c，d替換為四個(gè)至少二階的方陣，結(jié)論一般是不成立的。也就是說(shuō)，若A，B，C，D為四個(gè)至少二階的方陣，下列等式未必成立：A BC D=AD-BC自然的問(wèn)題是：增加適當(dāng)?shù)臈l件，是否可以讓結(jié)論成立呢？事實(shí)上，加上條件A≠0（或C≠0）以及AC=CA即可保證結(jié)論成立?？梢岳梅謮K矩陣的初等變換來(lái)證明，細(xì)節(jié)留給讀者補(bǔ)充完整。

2.楊輝三角與組合式。給定一個(gè)正整數(shù)n，如下呈三角形排列的數(shù)就稱為楊輝三角：

其特點(diǎn)是，三角形的兩條“腰”上的數(shù)字全為1，其余數(shù)字均等于其“肩上”兩個(gè)數(shù)字之和。此種數(shù)表最先是由中國(guó)北宋年間賈憲于1050年進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算時(shí)引入，因而也稱為“賈憲三角”。中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年在《詳解九章算法時(shí)》收錄了上述數(shù)表。法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年也發(fā)現(xiàn)了此種數(shù)表，因而也稱為“帕斯卡三角”。楊輝三角的第k數(shù)字是二項(xiàng)展開(kāi)式（1+1的組合系數(shù)。因而根據(jù)楊輝三角的左右對(duì)稱性很容易得到組合等式

四、應(yīng)用實(shí)例與總結(jié)

設(shè)實(shí)式（相似矩陣為分塊對(duì)角陣diag（C，C））。利用推廣的二階行列式等式可.

通過(guò)以上實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，首先要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，特別是高等代數(shù)中一些重要概念的屬性：是什么，為什么（引入源），怎么用等問(wèn)題。其次要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮自學(xué)能力，能夠結(jié)合自己的知識(shí)推廣已知的結(jié)論。最后還要啟發(fā)學(xué)生融會(huì)貫通所學(xué)知識(shí)，從而解決有難度的問(wèn)題。

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Discussion on the Thinking and Methods in the Contest of Advanced Algebra

XIA Chun-guang

（School of Mathematics，China University of Mining and Technology，Xuzhou，Jiangsu 221116，China）

Abstract：Students need sturdy basic knowledge，deep understanding of mathematical thinking，and techniques for solving problems in the contest of advanced algebra.This paper starts with some important relations，concepts and their origins in advanced algebra，and then discuses mathematical thinking，basic knowledge and techniques for solving problems in the course and contest of advanced algebra via concrete contest question.

Key words：contest of advanced algebra;Yang Hui triangle;linear transformation