數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”

編者按：用聯(lián)系的眼光、系統(tǒng)的思維，從整體建構(gòu)的視角來開展教育教學(xué)研究，并不是什么新課題。然而，長期以來，數(shù)學(xué)碎片化教學(xué)非常普遍且根深蒂固。要改變這一現(xiàn)狀，必須從數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、學(xué)科課程的整合、教學(xué)行為的改進(jìn)等方面聯(lián)合用力，打出“組合拳”。本期推出的許衛(wèi)兵名師團(tuán)隊(duì)成員三篇文章（全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”（課題批準(zhǔn)號(hào)：DHA190453）），從不同的視角，闡述對小學(xué)數(shù)學(xué)整體建枸教學(xué)的探索與思考，期待能引發(fā)讀者的共鳴，并共同參與到此專題的實(shí)踐研究中。

[摘要]任何學(xué)科的教學(xué)都離不開對學(xué)科特點(diǎn)和本質(zhì)的理解與掌握。從“關(guān)系”的視角來解讀數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)與內(nèi)涵本質(zhì)，整體建構(gòu)數(shù)學(xué)課程，建立一種樸素而又深刻的“關(guān)系”思維，可以幫助我們更好地深化教學(xué)改革，減負(fù)增效，并在一定程度上根治長期存在的散點(diǎn)式、碎片化、割裂式等教學(xué)頑疾。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);整體建構(gòu);關(guān)系;思維發(fā)展

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）26-0001-03

一、什么是數(shù)學(xué)

無論是教數(shù)學(xué)還是學(xué)數(shù)學(xué)，首先要了解什么是數(shù)學(xué)。關(guān)于什么是數(shù)學(xué)，人們很容易想到詞典上的解釋：“研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科?！逼鋵?shí)，對數(shù)學(xué)的理解并非一成不變。

2001年，我在閱讀《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》時(shí)，被“前言”中的第一句話吸引：“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。”為何對數(shù)學(xué)的描述一改往日的經(jīng)典定義呢？《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）解讀》一書中，是這樣說明的：

雖然很多實(shí)際工作者希望《標(biāo)準(zhǔn)》有一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的簡單而且強(qiáng)有力的定義，但顯然《標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)沒有采取簡單定義的方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅是一門知識(shí)，更是人類實(shí)踐活動(dòng)創(chuàng)造的產(chǎn)物，是由諸多元素構(gòu)成的多元結(jié)構(gòu);社會(huì)與文化不僅推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)數(shù)學(xué)也是推動(dòng)社會(huì)與文化發(fā)展的關(guān)鍵性因素;對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不僅要從數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀點(diǎn)中去領(lǐng)悟，更要從數(shù)學(xué)活動(dòng)的親身實(shí)踐中去體驗(yàn);數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力不僅要從歷史的角度度量，更要從數(shù)學(xué)與人和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系中去尋找。無論如何，僅僅用“研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”來刻畫數(shù)學(xué)或生硬地背誦這些語句已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。

2011年，我翻閱《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011年版）》時(shí)發(fā)現(xiàn)，前言中的第一句話為：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！庇嘘P(guān)數(shù)學(xué)的經(jīng)典定義為何在十年之后又回到課程標(biāo)準(zhǔn)中了呢？這兩種不同的表述有何區(qū)別？

我嘗試采用語文中的縮寫句子來做一個(gè)簡單比較。“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程”縮寫為“數(shù)學(xué)——是——過程”;“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”縮寫為“數(shù)學(xué)——是——科學(xué)”。數(shù)學(xué)確實(shí)是“過程”啊，是人們發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、發(fā)明的過程，是不斷傳承、不斷發(fā)展、不斷豐富、不斷完善的過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)過程與方法，也就是表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)發(fā)展有著“過程”意義的一致性。不過，數(shù)學(xué)也確實(shí)是“科學(xué)”啊，是具有獨(dú)特語言和價(jià)值的自然科學(xué)體系。那這兩種表述到底誰對誰錯(cuò)？我認(rèn)為，都沒有錯(cuò)，它們只是從不同的角度來描述數(shù)學(xué)。既然都沒錯(cuò)，那為何又改來改去呢？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修訂核心組專家是這樣解釋的：

數(shù)學(xué)本身是一個(gè)歷史的概念，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨著時(shí)代的變化而變化。然而縱觀數(shù)學(xué)的全部歷史，人們可以達(dá)成這樣的共識(shí)：盡管經(jīng)過由古到今的漫長發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)已是一個(gè)分支眾多的龐大的知識(shí)系統(tǒng)，但整個(gè)數(shù)學(xué)始終是圍繞著“數(shù)”與“形”這兩個(gè)基本概念的抽象、提煉而發(fā)展的。數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中千變?nèi)f化的應(yīng)用也是通過這兩個(gè)基本概念而進(jìn)行的。需要說明的是，這里所說的數(shù)量關(guān)系和空間形式，并不限于現(xiàn)實(shí)世界，而是包括一切可能的數(shù)量關(guān)系和空間形式：它們既可以來源于現(xiàn)實(shí)世界，也可以是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對什么是數(shù)學(xué)的這一陳述，反映了以往作為自然科學(xué)傳統(tǒng)學(xué)科之一的數(shù)學(xué)發(fā)展到我們這個(gè)時(shí)代所經(jīng)歷的深刻變化。

我認(rèn)為，這樣的對比研究，可以幫助我們建立多維、立體、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

二、數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”

上述關(guān)于數(shù)學(xué)的解釋，比較理論，也比較抽象。對小學(xué)生而言，要想據(jù)此來理解什么是數(shù)學(xué)，難度很大，既不現(xiàn)實(shí)，也不可行。

張奠宙、孔凡哲等人撰寫的《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》中的一個(gè)題目吸引了我——數(shù)學(xué)是一門研究“關(guān)系”的學(xué)問，意思是說，數(shù)學(xué)中的任何知識(shí)、方法、思想，都不是孤立的，而是跟其他的知識(shí)、方法、思想等有著密切的聯(lián)系。也就是說，數(shù)學(xué)很奇妙，“關(guān)系”最重要！

舉個(gè)簡單的例子。低年級(jí)要學(xué)習(xí)乘法，乘法是相同加數(shù)相加求和的簡便運(yùn)算，習(xí)慣上說成是“幾個(gè)幾在相加”。乘法有三個(gè)基本數(shù)量：每份數(shù)（相同的加數(shù)）、份數(shù)（相同加數(shù)的個(gè)數(shù)）、總數(shù)（得出的和）。二年級(jí)學(xué)習(xí)了乘法，后面的年級(jí)就有了好多的乘法應(yīng)用類型（或模型）。小學(xué)階段的乘法應(yīng)用模型主要有四種：第一種，“倍”的模型，基本數(shù)量是“一倍數(shù)”“幾倍數(shù)”“倍數(shù)”;第二種，長方形的面積計(jì)算模型，“長”表示一行擺了幾個(gè)面積單位，“寬”是一共可以擺幾行，面積就是“長×寬”（幾個(gè)幾）;第三種，常見的數(shù)量關(guān)系模型，如單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)，速度、時(shí)間、路程，工作效率、工作時(shí)間、工作總量等;第四種，“搭配”模型，類似于幾件上衣、幾條褲子可以搭配出幾套不同的服裝。有了這樣一種結(jié)構(gòu)化、體系化的理解，不僅教師教得清晰，學(xué)生也學(xué)得輕松。

關(guān)系的前提和基礎(chǔ)是“元素”，一個(gè)獨(dú)立的事物是沒有什么關(guān)系可言的，多個(gè)元素之間才能產(chǎn)生關(guān)系。比如，一年級(jí)開始學(xué)習(xí)人民幣，人民幣有三個(gè)單位“元、角、分”，這三個(gè)單位可以看成是三個(gè)“元素”。它們之間的關(guān)系是：1元=10角，1角=10分，1元=100分。

這兩幅板書，都呈現(xiàn)了人民幣的單位及相互關(guān)系，具有一定的結(jié)構(gòu)感。但是，相比而言，右邊的板書結(jié)構(gòu)感更強(qiáng)。首先，它將表達(dá)等式關(guān)系的等號(hào)變成雙向箭頭，進(jìn)率寫在箭頭的中間，直觀地表達(dá)了等號(hào)蘊(yùn)含的雙向關(guān)系（比如，1元等于10角，10角等于1元）;其次，它把三組相等關(guān)系同圖呈現(xiàn)，更容易看出兩個(gè)“10”和“100”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，即10個(gè)10就是100;最后，它怎么看都更像是一個(gè)整體，而左邊的板書給人的感覺依然是三道關(guān)系式。

這就表明，關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)化的知識(shí)需要有結(jié)構(gòu)化的表達(dá)。在考慮結(jié)構(gòu)化表達(dá)時(shí)，往往需要有三個(gè)追問：是不是所有的元素都出現(xiàn)了？元素與元素之間的關(guān)系是不是都明確了？元素與關(guān)系的組合是不是更像一個(gè)整體？

三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在培育“關(guān)系”思維

如果說，把握關(guān)系建構(gòu)整體、借助整體明晰關(guān)系，是數(shù)學(xué)學(xué)科整體性和結(jié)構(gòu)性特征對數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求，那么，從學(xué)習(xí)的角度來講，讓學(xué)生學(xué)會(huì)理順關(guān)系，建立聯(lián)系，培育和發(fā)展“關(guān)系”思維就顯得尤為重要。因而，教師要充分發(fā)掘隱藏在知識(shí)背后的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)和思維含量，將數(shù)學(xué)思維發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來。

一年級(jí)上冊“1-5的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)生認(rèn)數(shù)的起始課。大多數(shù)教材都是提供一幅主題圖，圖上畫有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)數(shù)量不同的物品。不少教師教學(xué)時(shí)都是采用看圖說話的方式，讓學(xué)生先觀察情景圖，說一說圖中還有什么。當(dāng)學(xué)生隨機(jī)說出圖中有1只小狗、5個(gè)南瓜、3盆花、2只鵝……后，出示1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)，然后再進(jìn)行抽象，用小棒擺數(shù)、寫數(shù)等。這樣的教學(xué)過程，從本質(zhì)上來說是把1、2、3、4、5看成獨(dú)立的5個(gè)數(shù)。實(shí)際上，認(rèn)識(shí)1-5，不只是認(rèn)識(shí)1、2、3、4、5，更重要的是初步認(rèn)識(shí)自然數(shù)列，而自然數(shù)列一個(gè)鮮明的特征是每相鄰的兩個(gè)數(shù)相差1（等差數(shù)列），因此，“1-5的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)應(yīng)該放在數(shù)列中。我的設(shè)想是：開始呈現(xiàn)生活情景圖時(shí)，每種物品只呈現(xiàn)1個(gè)，如1只狗、1只鵝、1只鳥、1只雞、1盆花、1個(gè)南瓜等，讓學(xué)生觀察圖中都有什么，它們各是多少個(gè)，最后得出它們都是1個(gè)。在此基礎(chǔ)上，又呈現(xiàn)“走來了1只鵝”，問學(xué)生：“現(xiàn)在鵝的數(shù)量還是1只嗎？”學(xué)生都知道不是1而是2了，由此得出“1加1就變成了2”?！澳敲?，你能讓其他物品也都變成2嗎？”于是，增加1只雞、1只狗、1只鳥、1盆花、1個(gè)南瓜，讓所有物品數(shù)量都變成2，強(qiáng)化“l(fā)加1就變成2”的感受。在此基礎(chǔ)上，再呈現(xiàn)“飛來1只小鳥”，問學(xué)生：“現(xiàn)在有幾只小鳥呢？”學(xué)生回答：“3?！表樦@樣的思路，“2加上l就變成3”“3加上1就變成4”“4加上1就變成5”的認(rèn)識(shí)就自然生成了?；仡櫩偨Y(jié)時(shí)，教師只要適當(dāng)點(diǎn)撥“數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要”，學(xué)生“關(guān)系”思維就能在不知不覺中開始生長。

思維發(fā)展需要經(jīng)歷孕育、點(diǎn)撥、提示、引導(dǎo)、感悟、內(nèi)省、轉(zhuǎn)化、應(yīng)用等過程，不可能一蹴而就，要盡早滲透，從小抓起，持續(xù)發(fā)力，長期培養(yǎng)。在課堂教學(xué)中，教師可多用箭頭來表達(dá)關(guān)聯(lián)，多用文字來說明關(guān)系，讓課堂板書盡可能呈現(xiàn)一種結(jié)構(gòu)化的形態(tài)，就是努力給學(xué)生以直觀感受和啟蒙。嚴(yán)格說來，每一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，都會(huì)跟其他內(nèi)容存在著千絲萬縷的聯(lián)系，或是知識(shí)層面，或是方法層面，或是思想層面，只要充分挖掘，用心構(gòu)架，就能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與邏輯，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

對學(xué)生而言，在關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也便于記憶、理解、掌握和應(yīng)用。例如，小學(xué)階段學(xué)習(xí)長度單位，先學(xué)“厘米”，再學(xué)“米”，有了兩個(gè)單位以后，就要揭示它們之間的關(guān)聯(lián)——進(jìn)率100;接下來學(xué)習(xí)“毫米”和“分米”，就需要把這兩個(gè)新的長度單位和已學(xué)的兩個(gè)長度單位做一次整合，按照一定的順序排列后，就發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是10，十進(jìn)制的關(guān)系就開始顯現(xiàn)出來了。在此基礎(chǔ)之上，對于第5個(gè)長度單位“千米”，最簡單直白的教法，就是直接出示“千米”，然后說清楚l千米有多長，及“千米”和“米”之間的進(jìn)率是1000。但是，這樣教，學(xué)生對長度單位間的關(guān)系感受比較膚淺，印象也不深刻。教學(xué)時(shí)，如果讓學(xué)生結(jié)合已有的四個(gè)長度單位的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖示，圍繞問題“如果人們發(fā)明了第5個(gè)單位，你覺得它可能在什么位置？它跟已有的長度單位之間會(huì)有什么關(guān)系？”去展開研究，學(xué)生的主要研究方向可能是2個(gè)，一個(gè)是比“毫米”還要小，一個(gè)是比“米”還要大，那如果比“毫米”還要小，會(huì)是誰？它跟“毫米”之間又有什么關(guān)系？比“米”還大又可能是誰？它跟“米”之間又有什么關(guān)系？在已有的長度單位之間十進(jìn)制的啟發(fā)下，很容易構(gòu)建出了一個(gè)更加寬廣的長度單位體系（……微米、忽米、絲米、毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米……）。經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生就會(huì)感慨：“數(shù)學(xué)真美啊！”“人們在發(fā)明數(shù)學(xué)的時(shí)候，都是按照一定的規(guī)律來進(jìn)行的，”當(dāng)然，這里把“十米”“百米”引入課堂，并不是要求學(xué)生去掌握“十米”和“百米”，畢竟這并不是教材內(nèi)容，而是借助它們來更好地感受長度單位體系，更好地理解“為什么千米和米之間的進(jìn)率是1000”。

進(jìn)一步思考，這個(gè)長度單位的序列表還有助于學(xué)生學(xué)好面積單位。小學(xué)里一共學(xué)習(xí)五個(gè)面積單位——平方厘米、平方分米、平方米、公頃（平方百米）、平方千米，每個(gè)面積單位都對應(yīng)著相應(yīng)的長度單位——厘米、分米、米、百米、千米。為什么“平方米”和“公頃”之間的進(jìn)率是10000，而其他相鄰的面積單位之間的進(jìn)率都是1007原因就在它們之間還有一個(gè)面積單位“平方十米”，即“公畝”?，F(xiàn)在的教材里已經(jīng)沒有“公畝”了，如果把“公畝”放進(jìn)來，相鄰的兩個(gè)面積單位之間進(jìn)率是100的關(guān)系就變得很完美，也能很好地解釋“平方米”和“公頃”之間的進(jìn)率為什么是10000（100個(gè)100）。

因而，是簡單地去教知識(shí)，還是基于知識(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間那種嚴(yán)密的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，充分依據(jù)結(jié)構(gòu)、生成結(jié)構(gòu)、拓展結(jié)構(gòu)、發(fā)展結(jié)構(gòu)思維，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是教師必須直面的重要話題。

總的說來，數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”的表述，雖不是關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的科學(xué)定義，但它為我們更好地理解數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)提供了一個(gè)視角，透過這樣的視角，數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)別有洞天。

【本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”的階段研究成果，課題批準(zhǔn)號(hào)：DHA190453?！?/p>

[參考文獻(xiàn)]

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[2]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)編金鈴）