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    以問(wèn)促思 深度引領(lǐng)

    2020-08-11 07:32:17趙霞
    關(guān)鍵詞:四邊形比值例題

    趙霞

    問(wèn)題是思維的起點(diǎn),創(chuàng)造的開(kāi)始,學(xué)習(xí)的開(kāi)端。沒(méi)有問(wèn)題,就沒(méi)有數(shù)學(xué)。因此,要追求數(shù)學(xué)課堂的有效性,教師可以從問(wèn)題的設(shè)計(jì)入手。恰當(dāng)?shù)恼n堂提問(wèn)不僅能鞏固知識(shí),及時(shí)反饋教學(xué)信息,而且能激勵(lì)學(xué)生積極參與,激發(fā)學(xué)生深入思考,啟迪學(xué)生的智慧。在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中,教師尤其要重視問(wèn)題的設(shè)計(jì)。下面筆者就以一道例題的教學(xué)為例,來(lái)談?wù)剶?shù)學(xué)例題教學(xué)中問(wèn)題的設(shè)計(jì)。

    例題:如圖1,在四邊形ABCD中,AC、BD交于點(diǎn)E,△ABE的面積為4,△CDE的面積為16,求四邊形ABCD的面積的最小值。

    一、提問(wèn)要能引領(lǐng)“知識(shí)溯源”

    問(wèn)題1:本題說(shuō)到底是一道求面積的問(wèn)題,初中階段我們有哪些常用的求面積的方法呢?生1:面積公式法、割補(bǔ)法、比值法。

    問(wèn)題2:這三種求面積的方法一般在什么情況下應(yīng)用?

    師生討論:面積公式法常用于規(guī)則圖形的面積求解。割補(bǔ)法一般用于不規(guī)則圖形的面積計(jì)算。我們可以借助割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,再算出規(guī)則圖形的面積,利用規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)求得不規(guī)則圖形的面積。比值法常用于已知兩個(gè)圖形的面積比的情況,如果有一個(gè)圖形的面積已知,可以輕松利用這個(gè)比值求另一個(gè)圖形的面積。如果兩個(gè)三角形相似,我們可以借助相似比求出它們的面積比;如果不相似,我們可以觀察這兩個(gè)三角形是否同高(等高)或同底(等底),如果同高(等高),面積比等于它們的底之比,如果同底(等底),面積比等于它們的高之比,最后再利用這個(gè)比值求出另一個(gè)三角形的面積。

    鑒于數(shù)學(xué)問(wèn)題常常運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決,故借助“知識(shí)溯源”,可以為處理問(wèn)題、明確思考方向、發(fā)掘解決問(wèn)題的基本路徑找到通,性通法。例題教學(xué)中教師通過(guò)恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)喚醒學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn),既能鞏固學(xué)生已有的知識(shí),又能讓學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)有的放矢,有法可依。

    二、提問(wèn)要能引領(lǐng)“學(xué)會(huì)選擇”

    問(wèn)題3:結(jié)合條件,你認(rèn)為用面積公式能求四邊形ABCD面積的最小值嗎?

    生2:整個(gè)圖形是一個(gè)任意的四邊形,所以用面積公式法求面積不合適。

    問(wèn)題4:那么用割補(bǔ)法能求四邊形ABCD面積的最小值嗎?

    生3:可以將四邊形ABCD的面積看成△ABD和△BCD的面積和,或者四個(gè)三角形的面積和,但也解不出來(lái)。(教師引導(dǎo)學(xué)生交流討論。學(xué)生嘗試作出高,如圖2,發(fā)現(xiàn)此法仍行不通。)

    問(wèn)題5:還有其他割補(bǔ)的方法嗎?

    當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積公式法、割補(bǔ)法都不能解決四邊形ABCD的面積的最值問(wèn)題時(shí),就會(huì)下意識(shí)想到比值法。

    在“知識(shí)溯源"的基礎(chǔ),上,提問(wèn)要善于引導(dǎo).學(xué)生對(duì)知識(shí)方法進(jìn)行比較,引導(dǎo)學(xué)生從條件和結(jié)論展開(kāi)聯(lián)想,擇優(yōu)選擇解題方法,為解題明確方向。這樣的提問(wèn)可以培養(yǎng)學(xué)生從眾多知識(shí)中篩選有用知識(shí)的能力,培養(yǎng)學(xué)生尋找最優(yōu)方法的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。

    三、提問(wèn)要能揭示“思想方法”

    問(wèn)題6:現(xiàn)在只剩下用比值法來(lái)求面積了,那么用比值法求面積的關(guān)鍵是什么呢?

    生4:關(guān)鍵是求出未知圖形面積和已知圖形面積的比值。

    問(wèn)題7:很好,如圖2,那么這里應(yīng)該求出哪.些圖形之間的面積比呢?

    生5:應(yīng)該求出△ADE與△ABE、△CDE與△CBE的面積比,因?yàn)檫@里OABE與△CDE的面積是已知的,如果未知三角形的面積與它們的比值求出來(lái)了,就能較容易地求出未知三角形的面積,加之這里△ADE與△ABE、OCDE與△CBE正好等高,它們的面積比就等于DE與BE的比。

    問(wèn)題8:但這里DE與BE的比確定嗎?四邊形ABCD的面積會(huì)隨著它們比值的變化而變化嗎?

    生6:這里DE與BE的比值不確定,它們的比值改變,四邊形ABCD的面積也會(huì)隨之改變。

    問(wèn)題9:四邊形ABCD的面積和DE與BE的比值都是變化的量,在數(shù)學(xué)上有沒(méi)有可以研究?jī)蓚€(gè)變化的量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型呢?

    生7:函數(shù)模型可以研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系。問(wèn)題10:那這里的自變量是誰(shuí)?因變量又是誰(shuí)?生8:自變量是DE與BE的比值,因變量是四邊形ABCD的面積。

    問(wèn)題11:你們會(huì)用函數(shù)思想來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題嗎?

    數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。例題教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)的思想方法是教師必須思考的問(wèn)題。利用階梯式的提問(wèn)讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思想方法,逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方法看待問(wèn)題,對(duì)于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看世界是非常有益的。

    四、提問(wèn)要能喚醒“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

    問(wèn)題12:通過(guò)直接設(shè)DE與BE的比值,表示出了四邊形ABCD的面積的函數(shù)表達(dá)式。但這個(gè)函數(shù)表達(dá)式好像不是我們學(xué)過(guò)的類型,那如何來(lái)求面積的最小值呢?

    生10:我們可以畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像,通過(guò)圖像來(lái)觀察它的最小值。

    問(wèn)題13:對(duì)于一個(gè)陌生函數(shù),我們?nèi)绾萎?huà)出它的函數(shù)圖像呢?大家可參考我們初次接觸一次函數(shù)時(shí)是如何畫(huà)出它的函數(shù)圖像的。

    生11:我們通過(guò)確定一次函數(shù)的取值范圍,然后列表取很多數(shù)值,得到許多對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),然后描點(diǎn),再用平滑的曲線將點(diǎn)連接起來(lái),發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖像是一條直線。

    學(xué)生討論,并嘗試列出表格(如下表),畫(huà)出函數(shù)圖像(如圖6)。教師指導(dǎo)點(diǎn)撥,提醒這里自變量x的取值范圍是x》0。

    問(wèn)題14:通過(guò)列表及圖像,你們認(rèn)為x取何值時(shí),S取得最小值?最小值是多少?

    生12:結(jié)合表格和圖像,我覺(jué)得x=2時(shí),S取得最小值36。

    “基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是“四基”之一,也是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之一,因此,例題教學(xué)要通過(guò)恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)來(lái)喚醒學(xué)生已經(jīng)獲取的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),這樣的提問(wèn)有助于鞏固數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的應(yīng)用能力。

    五、提問(wèn)要能提升“思維品質(zhì)”

    問(wèn)題15:從表格和圖像中我們發(fā)現(xiàn)x=2時(shí)S=36,并且感覺(jué)此時(shí)S的值最小,但由于這是一個(gè)陌生函數(shù),且在x=2的周圍x還可以取無(wú)數(shù)個(gè)值,你憑什么就認(rèn)為x=2時(shí),S有最小值?而不是x=2.001或其他值呢?你有什么科學(xué)依據(jù)嗎?(如果學(xué)生回答此問(wèn)題有困難,教師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)來(lái)分析。)

    問(wèn)題16:非常棒。到現(xiàn)在為止我們已經(jīng)成功找到了四邊形ABCD面積的最小值,但老師不想就此結(jié)束,老師還想再考考你們。當(dāng)四邊形ABCD的面積取最小值時(shí),四邊形ABCD在形狀上有沒(méi)有什么特殊之處呢?

    通過(guò)提問(wèn)將學(xué)生的探究引向深入,直至讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深入數(shù)學(xué)的本質(zhì),這是提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要環(huán)節(jié),對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难袑W(xué)作風(fēng),提升學(xué)生的思維品質(zhì)有著極其重要的意義。

    總之,例題教學(xué)中提問(wèn)的設(shè)計(jì)是一門(mén)藝術(shù),教師只有巧妙地設(shè)計(jì)問(wèn)題,才能引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí),才能使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)世界,用數(shù)學(xué)思維分析世界,用數(shù)學(xué)邏輯解讀世界,用數(shù)學(xué)創(chuàng)新建構(gòu)世界。

    (作者單位:江蘇省常州市麗華中學(xué))

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