基于數(shù)學(xué)表征的小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)題類(lèi)型及對(duì)策研究

[摘 要] 低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力低，面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題易產(chǎn)生解題困惑。針對(duì)低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力薄弱的現(xiàn)狀，對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤開(kāi)展研究。在調(diào)查分析學(xué)生目前數(shù)學(xué)錯(cuò)題類(lèi)型的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)表征理論為基礎(chǔ)，分析各領(lǐng)域錯(cuò)題的成因，提出了提升數(shù)學(xué)表征水平的教學(xué)建議。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)表征;小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)錯(cuò)題

[作者簡(jiǎn)介] 張夢(mèng)茜（1995—），女，江蘇蘇州人，碩士學(xué)歷，上海市華江小學(xué)初級(jí)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G622? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）31-0001-03? ? [收稿日期] 2020-02-11

小學(xué)低年級(jí)在整個(gè)義務(wù)教育階段處于根基，學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)日常生活中需要的數(shù)學(xué)，也就是計(jì)數(shù)、度量并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題[1]。低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平不高，數(shù)學(xué)知識(shí)被學(xué)生內(nèi)化后在頭腦中的表征往往不像教材上的知識(shí)那樣脈絡(luò)分明，難以擺脫以表現(xiàn)為憑借的具體形象表征[2]。目前基于表征水平視角下有關(guān)小學(xué)生錯(cuò)題的分析還不多，本文就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起步階段的錯(cuò)題類(lèi)型及成因進(jìn)行分析，探究小學(xué)低年級(jí)學(xué)生表征水平現(xiàn)狀。

一、小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)錯(cuò)題類(lèi)型

研究主要采用調(diào)查研究的方法。根據(jù)上海市小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的板塊，將此次調(diào)查分為三個(gè)領(lǐng)域，分別是計(jì)算、概念、問(wèn)題解決。被試學(xué)校為上海市一所公辦小學(xué)，教學(xué)成績(jī)?cè)谠搮^(qū)公辦小學(xué)中處于中上等水平，被試家庭的社會(huì)經(jīng)濟(jì)狀況處于該區(qū)中等水平。研究者依據(jù)一年級(jí)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平對(duì)其進(jìn)行測(cè)試，有效統(tǒng)計(jì)被試人數(shù)為277人。

（一）計(jì)算領(lǐng)域

此次測(cè)試計(jì)算領(lǐng)域涉及20以?xún)?nèi)不進(jìn)位加法和不退位減法、20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法以及20以?xún)?nèi)數(shù)和算式大小的比較等內(nèi)容。根據(jù)各領(lǐng)域的測(cè)試內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)該部分測(cè)試內(nèi)容的主要錯(cuò)誤類(lèi)型、各錯(cuò)誤類(lèi)型占此類(lèi)型題目錯(cuò)誤總數(shù)的百分比，其中有部分學(xué)生會(huì)在同類(lèi)型測(cè)試內(nèi)容中出現(xiàn)兩種或兩種以上的錯(cuò)誤類(lèi)型。

從表1可以看出，在20以?xún)?nèi)加減法中，占比最多的是變式計(jì)算中運(yùn)算順序錯(cuò)。變式口算貫穿整個(gè)小學(xué)階段，平時(shí)練習(xí)中口算的運(yùn)算順序掌握后，一旦出現(xiàn)變式口算練習(xí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)從右往左計(jì)算的錯(cuò)誤。符號(hào)識(shí)別錯(cuò)誤在加減法計(jì)算中占比達(dá)23.07%。數(shù)和算式大小的比較中，錯(cuò)誤類(lèi)型最多的是計(jì)算錯(cuò)誤，加減法中變式計(jì)算產(chǎn)生困難的學(xué)生在此通常也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。

（二）概念運(yùn)用

概念運(yùn)用部分涉及加倍與一半、找規(guī)律、加法概念運(yùn)用等題目，為了區(qū)分學(xué)生的表征水平設(shè)計(jì)的題目均有一定難度。試題能反映學(xué)生的多種表征方式及思維的多角度性，例如：一根繩子對(duì)折后長(zhǎng)10米，這根繩子原來(lái)長(zhǎng)（? ）米;（? ）的加倍再加倍是20等。

在加倍與一半內(nèi)容中，同時(shí)產(chǎn)生兩種類(lèi)型錯(cuò)誤的人數(shù)最多，其中大部分學(xué)生是由于題意理解困難而產(chǎn)生錯(cuò)誤，另有43.48%的學(xué)生是由于審題不清做錯(cuò)的。在找規(guī)律內(nèi)容不少學(xué)生對(duì)于不那么明顯的規(guī)律顯然是有些束手無(wú)策。加法概念并不是直接給出算式口算，而是根據(jù)加法各部分名稱(chēng)及含義進(jìn)行解答，學(xué)生因題意理解錯(cuò)誤的出錯(cuò)率較高。

（三）問(wèn)題解決

滬教版的教材所選材料貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，在教材和平時(shí)課堂中注重從生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題[3]。此次測(cè)試安排的內(nèi)容有合并問(wèn)題、求部分問(wèn)題、加減混合問(wèn)題等。由于問(wèn)題解決部分所涉及的錯(cuò)誤類(lèi)型是有共通性的，所以?xún)H進(jìn)行問(wèn)題解決部分的錯(cuò)誤分類(lèi)，不再細(xì)化。

此次測(cè)試的問(wèn)題情境都貼近學(xué)生的生活，是學(xué)生在日常生活中所接觸過(guò)的。問(wèn)題呈現(xiàn)的情境與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)較為接近，可以讓學(xué)生在其中尋找解決問(wèn)題的線索[4]。小學(xué)低年級(jí)所涉及的問(wèn)題解決類(lèi)型雖是有限的，但從中能看出不少問(wèn)題。由于學(xué)生情境表征、圖式表征等發(fā)展不足，問(wèn)題解決領(lǐng)域出現(xiàn)的錯(cuò)誤較多。

二、基于數(shù)學(xué)表征錯(cuò)題成因分析

（一）計(jì)算領(lǐng)域錯(cuò)題成因分析

1.具體形象思維較重，符號(hào)表征局限于淺層。低年級(jí)學(xué)生才開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)“+”、“-”符號(hào)的含義還沒(méi)有形成固定的模式。在變式口算中，低年級(jí)學(xué)生較易產(chǎn)生錯(cuò)誤，除了對(duì)運(yùn)算順序掌握的熟練程度外，另一個(gè)重要原因是變式口算中存在大量用符號(hào)表示數(shù)的情況，如：（? ）+5=9。在此題中，（? ）表示其中一個(gè)未知的加數(shù)。

2.不能正確把握數(shù)學(xué)知識(shí)的因果關(guān)系，關(guān)系表征處于較低水平。數(shù)學(xué)是一門(mén)研究“關(guān)系”的學(xué)問(wèn)，整數(shù)加減法的學(xué)習(xí)還與學(xué)生的歸納、概括、推理能力的發(fā)展相關(guān)，這涉及學(xué)生關(guān)系表征的發(fā)展水平。數(shù)學(xué)運(yùn)算的產(chǎn)生源于事物數(shù)量間關(guān)系的分析處理，例如，減數(shù)小于或等于被減數(shù)，其含義是集合A對(duì)它的子集B作差集時(shí)所得出的基數(shù)。關(guān)系表征發(fā)展水平低的學(xué)生無(wú)法正確解題。

3.思維變通性缺陷，語(yǔ)詞表征發(fā)展不成熟。低年級(jí)學(xué)生詞匯量較少，雖然此次測(cè)試由測(cè)試者依次讀題，但對(duì)題目表達(dá)的具體含義理解是有困難的。如在比大小中讓學(xué)生在（? ）中填上最大的數(shù)時(shí)，有不少學(xué)生僅填上了合適的數(shù)。

（二）概念運(yùn)用錯(cuò)題成因分析

1.數(shù)學(xué)知識(shí)間的練習(xí)呈間斷狀態(tài)，關(guān)系表征的發(fā)展尚未成熟。與計(jì)算領(lǐng)域一樣，概念運(yùn)用具有較高的邏輯性。如“一根繩子對(duì)折后長(zhǎng)10米，原來(lái)長(zhǎng)多少米”，這類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的推理和結(jié)論的嚴(yán)密性。關(guān)系表征要求學(xué)生把握事物的抽象關(guān)系，對(duì)事物種屬關(guān)系及經(jīng)驗(yàn)的因果關(guān)系進(jìn)行分析和理解。

2.由于年齡特征和知識(shí)水平，方法表征具有局限性。數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的系統(tǒng)性，知識(shí)銜接緊密，其完整、嚴(yán)密的特點(diǎn)需要學(xué)生具有良好的方法表征水平。對(duì)于運(yùn)算要求有一定的合理性，對(duì)于知識(shí)的宏觀層面，需要學(xué)生使用方法表征進(jìn)行內(nèi)部再現(xiàn)。

3.高級(jí)表征方式的缺乏。概念運(yùn)用產(chǎn)生錯(cuò)誤的學(xué)生，數(shù)學(xué)表征處于較低水平。數(shù)學(xué)的一個(gè)突出特點(diǎn)是高度概括和抽象數(shù)量關(guān)系及空間形式[5]，這種抽象的特點(diǎn)要求學(xué)生具有圖式表征、符號(hào)表征等高級(jí)表征方式。低級(jí)表征方式不進(jìn)一步發(fā)展，會(huì)產(chǎn)生解題障礙。

（三）問(wèn)題解決錯(cuò)題成因分析

1.不能結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)，解題時(shí)缺乏情境表征。良好的情景表征能夠幫助學(xué)生將題目中的信息抽象成具體的情境。解題成功的學(xué)生頭腦中的情景較為豐富，且有一定結(jié)構(gòu)化、層次化，便于提取和運(yùn)用，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析更易獲得解題成功。解題錯(cuò)誤者對(duì)于情境的描述是錯(cuò)誤的。

2.不能選擇合理的方法解題，圖式表征發(fā)展緩慢。圖式表征以畫(huà)簡(jiǎn)圖的方式建立問(wèn)題的視-空模型和其中的數(shù)量關(guān)系圖式，采用這種表征能夠直接跳過(guò)中間的情境表征環(huán)節(jié)，直接進(jìn)入問(wèn)題解決過(guò)程。學(xué)生可以在空白處用畫(huà)簡(jiǎn)圖的方式達(dá)到對(duì)題意的理解。圖式表征水平較低的學(xué)生不能準(zhǔn)確根據(jù)題意畫(huà)圖，甚至由于缺乏應(yīng)變能力不能選擇此類(lèi)表征方式。

3.脫離具體實(shí)物的符號(hào)表征水平較低。在圖式表征的基礎(chǔ)上，抽象表征方式發(fā)展較好的學(xué)生會(huì)抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，在解題中用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)對(duì)象。此次測(cè)驗(yàn)的問(wèn)題解決并不都是平時(shí)學(xué)生接觸的類(lèi)型，學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜異于所熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)感到掙扎，因?yàn)樵趯W(xué)校教授的策略?xún)H需要找到并應(yīng)用正確的公式或策略來(lái)回答結(jié)構(gòu)良好的算法問(wèn)題[6]，而符號(hào)表征能夠幫助學(xué)生發(fā)展解決結(jié)構(gòu)異常的問(wèn)題的能力。

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生和困難學(xué)生的比較研究還發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難者表征方式較為單一，與優(yōu)秀學(xué)生有一定差距。良好的數(shù)學(xué)表征方式能夠?qū)?wèn)題解決最重要的部分及數(shù)量關(guān)系放在突出位置。比較而言，學(xué)習(xí)優(yōu)秀者偏向于選擇圖式表征、關(guān)系表征、符號(hào)表征，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題中信息的表征較為全面和準(zhǔn)確;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生偏向于使用語(yǔ)詞表征、關(guān)系表征，較為關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題中局部的細(xì)節(jié)，缺乏問(wèn)題整體性的把握。高級(jí)表征方式能夠幫助學(xué)生在思維過(guò)程中以判斷、推理的形式，反映數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性和內(nèi)在的規(guī)律。

三、思考與建議

數(shù)學(xué)表征是整理數(shù)學(xué)信息、形成結(jié)構(gòu)思想的重要手段。提升數(shù)學(xué)表征水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表征多樣化，是義務(wù)教育階段教師需要重視的。在教學(xué)中，要有目的、有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征進(jìn)行訓(xùn)練，踏踏實(shí)實(shí)把提升表征水平的工作貫穿到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程中。

（一）在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)中促進(jìn)數(shù)學(xué)表征抽象發(fā)展

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)源于日常生活經(jīng)驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上升華?；顒?dòng)中，首先，需要有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體實(shí)物操作、觀察與思考，借助直觀模型分析數(shù)量間的關(guān)系是感知認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)[7]。其次，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是表層的經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)，從與生活直接相關(guān)的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生抽象表征，脫離生活原型到達(dá)上層的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。有了對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的完整認(rèn)識(shí)過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生使用其他表征方式闡述對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)表征多元化。

（二）在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中鍛煉學(xué)生高級(jí)表征能力

文字表達(dá)的數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及生活相關(guān)的數(shù)學(xué)情境或模擬情景，且融合于各個(gè)領(lǐng)域之中。這些關(guān)于數(shù)的擴(kuò)展的問(wèn)題應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，與之相關(guān)的是關(guān)系表征、符號(hào)表征等高級(jí)表征的能力。數(shù)學(xué)課堂中要注重?cái)?shù)學(xué)情境的多元化，以數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言，以關(guān)系表征和符號(hào)表征的方式表達(dá)出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[8]。低年級(jí)學(xué)生使用最多的是關(guān)系表征，關(guān)系表征是用科學(xué)的抽象概念揭示事物的本質(zhì)表達(dá)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果。解題時(shí)關(guān)系表征往往不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)，與之相伴的是符號(hào)表征。從解決問(wèn)題方法多樣性的角度出發(fā)，畫(huà)實(shí)物圖、列表的方法都可以成功解題;從數(shù)學(xué)表征水平出發(fā)，使用抽象的符號(hào)表征解決問(wèn)題更具有一般性，是較高層次的思維發(fā)展。小學(xué)低年級(jí)已經(jīng)大量出現(xiàn)符號(hào)表征，如數(shù)的運(yùn)算、大于等于小于、用Ο￡表示數(shù)或公式等。培養(yǎng)學(xué)生習(xí)慣、喜歡和善于運(yùn)用符號(hào)表征，是提升學(xué)生高級(jí)表征能力的重要方面。

（三）從多角度、多方面、多維度進(jìn)行多元表征

小學(xué)低年級(jí)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解呈孤僻、間斷狀態(tài)。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，如概念、公式、符號(hào)停留在表象的理解，知識(shí)間的串聯(lián)是忽視的，重內(nèi)涵而輕外延，因此多元表征也是反映學(xué)生思維品質(zhì)的重要方面。教師要幫助學(xué)生逐步建立和完善思維的整理結(jié)構(gòu)、知識(shí)的整體架構(gòu)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的因果關(guān)系。多元表征會(huì)幫助學(xué)生進(jìn)行綜合推理。教師在教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生使用關(guān)系表征理清邏輯線索，將問(wèn)題的條件和中間環(huán)節(jié)緊密串聯(lián)，再使用符號(hào)表征恰當(dāng)選擇數(shù)學(xué)符號(hào)。借助符號(hào)可以將邏輯關(guān)系表現(xiàn)得簡(jiǎn)單明了，保證推理運(yùn)算的有效進(jìn)行[9]。

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