對(duì)《數(shù)學(xué)·必修4》的“三角函數(shù)”一章的修改建議*
——由正弦型函數(shù)y=A sin(ωx+φ)的圖象求解析式

廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

在高中數(shù)學(xué)《必修4》課本的第54頁(yè),有個(gè)例2,原題如下:

如圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象,試根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:

(1)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少?

(2)從O點(diǎn)算起,到曲線上的哪一點(diǎn),表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)?如從A點(diǎn)算起呢?

(3)寫(xiě)出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式.

解:(1)從圖象上可以看到,這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2cm;周期為0.8s;頻率為

(2)如果從O點(diǎn)算起,到曲線上的D點(diǎn),表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng);如從A點(diǎn)算起,則到曲線上的E點(diǎn),表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng).

(3)設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式為y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),那么,A=2;由得由圖象知初相φ=0.于是所求函數(shù)表達(dá)式是

對(duì)于這個(gè)例題,答案中說(shuō)“由圖象知初相φ=0”,過(guò)于簡(jiǎn)單.

在《必修4》教材里面,給出正弦型函數(shù)y=f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象——一段波浪線,要求求出函數(shù)解析式是一個(gè)重要專題,而在此類題目里,求φ是難點(diǎn),經(jīng)過(guò)多年的研究,我總結(jié)出求φ的兩大方法——最值法和關(guān)鍵點(diǎn)法.

先談?wù)勛钪捣ò?所謂的最值法就是將波浪線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式從而求出φ,課本上的例2,就可以用最值法求出φ的值.

對(duì)于《必修4》課本第54頁(yè)的例2 的第(3)小題,我建議將答案修改完善一下,給出的答案如下:

（方法一）解:設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明顯可見(jiàn):振幅A=2;T=0.8=解得:則波浪線的解析式為

下面的唯一任務(wù)就是求φ的值,此波浪線的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.2,2),即x=0.2 時(shí),y=2,代入解析式得:則φ=2kπ(k ∈Z).

當(dāng)然,這樣的φ有無(wú)窮多個(gè),大小相差2π的整數(shù)倍,我們可任取一個(gè),一般取絕對(duì)值最小的那個(gè),對(duì)于此題,當(dāng)k=0 時(shí),φ=0,此時(shí)φ的絕對(duì)值最小,取φ=0 最好.

一旦知道φ的值為0 后,則所求的函數(shù)解析式為

（方法二）解:設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明顯可見(jiàn)波浪線的解析式為

接下來(lái)就是求φ的值,此波浪線的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.6,－2),即x=0.6 時(shí),y=－2,代入解析式,得則φ=2kπ(k ∈Z).（下同方法一）

但是,用最值法求φ也有局限性,如果不知道且不能求出波浪線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo),最值法就無(wú)能為力了.

下面有一道類似題目：y=f(x)=Asin(ωx+φ),(A＞0,ω＞0,|φ|＜) 的一段圖像過(guò)點(diǎn)(0,1),如下圖,A點(diǎn)橫坐標(biāo)為,B點(diǎn)橫坐標(biāo)為,C點(diǎn)橫坐標(biāo)為,D點(diǎn)橫坐標(biāo)為,E點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求f(x)的解析式.

關(guān)鍵點(diǎn)法解題的策略.

下面利用“五點(diǎn)法”畫(huà)出此函數(shù)的圖象.

(一)取值(表1).

表1

(二)描點(diǎn).

(三)將描出的五個(gè)點(diǎn)用光滑的曲線連起來(lái).

這就是我們熟知的用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦型函數(shù)y=f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象的過(guò)程.

在此,將上面的表格兩端進(jìn)行拓展,得到如下表2:

表2

表格被拓展后,曲線兩端也會(huì)被延伸,得到如下圖象:

在此,將A點(diǎn)、E點(diǎn)、J點(diǎn)命名為第一關(guān)鍵點(diǎn);將B點(diǎn)、F點(diǎn)、K點(diǎn)命名為第二關(guān)鍵點(diǎn);將C點(diǎn)、G點(diǎn)、K點(diǎn)命名為第三關(guān)鍵點(diǎn);將D點(diǎn)、H點(diǎn)、P點(diǎn)命名為第四關(guān)鍵點(diǎn);將E點(diǎn)、J點(diǎn)、Q點(diǎn)命名為第五關(guān)鍵點(diǎn),值得注意的是,第五關(guān)鍵點(diǎn)“身兼二職”,具有雙重身份,它們同時(shí)還是第一關(guān)鍵點(diǎn).

容易發(fā)現(xiàn):第一關(guān)鍵點(diǎn)是波浪線上升過(guò)程中與平衡位置所在直線的交點(diǎn);第二關(guān)鍵點(diǎn)是波浪線的最高點(diǎn);第三關(guān)鍵點(diǎn)是波浪線下降過(guò)程中與平衡位置所在直線的交點(diǎn);第四關(guān)鍵點(diǎn)是波浪線的最低點(diǎn);第五關(guān)鍵點(diǎn)是波浪線上升過(guò)程中與平衡位置所在直線的交點(diǎn),第五關(guān)鍵點(diǎn)“身兼二職”,具有雙重身份,它們同時(shí)還是第一關(guān)鍵點(diǎn).

在此,有如下很有意思的規(guī)律:

(1)第一關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)能使角M的終邊與x軸的正半軸重合.例如:

(2)第二關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)能使角M的終邊與y軸的正半軸重合.例如:

(3)第三關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)能使角M的終邊與x軸的負(fù)半軸重合.例如:

(4)第四關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)能使角M的終邊與y軸的負(fù)半軸重合.例如:

(5)第五關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)能使角M的終邊與x軸的正半軸重合.例如:

這樣就對(duì)上面的例題進(jìn)行了比較完善的解答并適當(dāng)拓展.