關(guān)于差分Riccati方程解的存在性

徐 玲，羅潤梓，曹廷彬

（1.南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系，江西 南昌 330031；2.江西科技師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330013）

1 引言及主要結(jié)果

復(fù)域差分方程理論的研究起始于十二世紀(jì)初。近十年多年來，隨著差分值分布理論的建立和發(fā)展，差分Riccati方程引起學(xué)者的關(guān)注（如見文獻(xiàn)［1-6］）。在2019年，Chen與Shon［7］證明了下面兩個(gè)定理，推廣和改進(jìn)了［4］中相關(guān)結(jié)果。

定理A［7］設(shè)A、B、C、D為亞純函數(shù)且滿足AC≠0，AD-BC≠0。如果差分Riccati方程f（z存在至少三個(gè)互異的亞純函數(shù)解其為亞純函數(shù)f0（z）、f1（z）、f2（z），則方程所有解構(gòu)成解簇

這里Q（z）為任意的復(fù)數(shù)或周期為1的亞純函數(shù)，且當(dāng)Q（z）≡0，則f（z）=f1（z）；當(dāng)Q（z）≡-1，則f（z）=f2（z）。

定理B［7］設(shè)A、B、C、D為多項(xiàng)式且滿足AC≠0，AD-BC≠0， 以 及 degC＞

本文目的是采用文［1］中相同方法，將上面結(jié)果推廣到更一般的差分Raccati方程，得到下面的結(jié)果。

定理1 設(shè)q，c是兩個(gè)非零的復(fù)數(shù)，設(shè)A、B、C、D為亞純函數(shù)且滿足AC≠0，AD-BC≠0。如果差分Riccati方程存在至少3個(gè)互異的亞純函數(shù)解其為亞純函數(shù)f0（z），f1（z），f2（z），則方程所有解構(gòu)成解簇

這里Q（z）為任意滿足Q（z）≡Q（qz+c）的亞純函數(shù)。

定理2 設(shè)q、c是2個(gè)非零的復(fù)數(shù)，設(shè)A、B、C、D為多項(xiàng)式且滿足AC≠0，AD-BC≠0，以及如果差分Riccati方程有一個(gè)有理函數(shù)解f0（z）滿足則方程至多有兩個(gè)互異的有理函數(shù)解。

2 引理

為了證明定理，我們先來證明2個(gè)引理，皆為［7］中引理的推廣。

引理2.1 假設(shè)q、c、A、B、C、D如定理1中給定的。若f（z）是差分Riccati方程f（qz+c）=一個(gè)亞純函數(shù)解，則C（z）f（z）+D（z）和C（z）f（qz+c）-A（z）都不恒為零。

證明 如果C（z）f（z）+D（z）≡0，那么這樣顯然D（z）不恒為零，否則f（z）就恒為零，代入差分Riccati方程得到B（z）≡0，從而有AD-BC≡0，這與條件矛盾。將f（z）≡代入差分Riccati方程，得到：

因而有C（qz+c）≡0，這與已知假設(shè)條件矛盾。

如果C（z）f（qz+c）-A（z）≡0，那么f（qz+將之代入差分Riccati方程，得到

化簡得到，A（z）D（z）≡B（z）C（z），這與易知假設(shè)條件矛盾。證畢。

引理2.2 假設(shè)A0，A1都是非零亞純函數(shù)。如果方程A1（z）g（qz+c）+A0（z）g（z）=0有一個(gè)非零亞純函數(shù)解g0，那么方程所有解構(gòu)成一個(gè)解簇H（g（z））=｛g（z）=Q（z）g0（z）｝，其中Q（z）是任意滿足Q（z）≡Q（qz+c）的亞純函數(shù)。

證明 假設(shè)g0（z）是方程A1（z）g（qz+c）+A0（z）g（z）=0的非零亞純函數(shù)解。 令G（z）：=Q（z）g0（z），其中Q（z）是任意滿足Q（z）≡Q（qz+c）的亞純函數(shù)。則易知G（z）也是該方程的亞純函數(shù)解。

現(xiàn)設(shè)g1（z）是方程的另外任意亞純函數(shù)解，則根據(jù)方程得到

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

根據(jù)引理2.1知道，C（z）f（z）+D（z）和C（z）f（qz+c）-A（z）都不恒為零。假設(shè)f0，f1，f2是差分 Riccati方程f（qz+c）=的3個(gè)互異的亞純函數(shù)解。令，其中j=1，2。則u1與u2不恒等。將代入差分Riccati方程f（qz+c）=得到

即

由于f0是差分Riccati方程f（qz+c）=的一個(gè)解，則

將之代入上面方程可化簡為，

前面已經(jīng)根據(jù)引理2.1得到α1（z）：=C（z）f0（qz+c）-A（z）和α0（z）：=C（z）f0（z）+D（z）都都不恒為零。因此我們知道，u1（z）和u2都是方程

的亞純函數(shù)解。因此f0（z）：=u1（z）-u2（z）是上述非其次線性差分方程方程對應(yīng)的齊次線性差分方程

的非零亞純函數(shù)解?，F(xiàn)在根據(jù)引理2.2可知，這個(gè)齊次線性差分方程所有解構(gòu)成解簇

其中Q（z）為任意滿足Q（z）≡Q（qz+c）的亞純函數(shù)。再由于u1（z）是上述非齊次線性差分方程的特解，所有該非齊次線性差分方程一般解為

現(xiàn)設(shè)f（z）是差分 Riccat方程f（qz+c）=的任意的異于f0（z）的亞純解。則類似于上面證明可知也是上面非齊次線性差分方程的亞純解。由上面可知，存在亞純函數(shù)Q（z）且滿足Q（z）≡Q（qz+c），使得

即得

因此我們證明了：差分Riccat方程f（qz+c）=的任意的異于f0（z）的亞純函數(shù)解f（z）必為上述形式。

最后，我們需要證明：對于任意滿足Q（z）≡Q（qz+c）的亞純函數(shù)Q（z），形如

的任意亞純函數(shù)f（z）必為差分Riccati方程f（qz+的解。顯然，+f0（z），其中u（z）=是非齊次線性差分方程的一般解形式。顯然，通過細(xì)致計(jì)算可以驗(yàn)證：對于非齊次線性差分方程的任意解u（z），亞純函數(shù)f0（z）都是滿足差分 Riccati方程f（qz+c）=的解。證畢。

3.2 定理2的證明

不妨假設(shè)方程具有三個(gè)互異的有理函數(shù)解f0、f1、f2，其中可知f0（z）可表示為兩個(gè)多項(xiàng)式的商其中degh（z）≥degH（z）。 令2）。則u1（z）與u2（z）為兩個(gè)互異的有理函數(shù)。將代入差分 Riccati方程類似于定理1的證明中化簡得到

所以，uj（z）是非齊次線性差分方程

的有理函數(shù)解。 置u0（z）：=u1（z）-u2（z）。 則u0（z）為該非齊次差分方程對應(yīng)的齊次差分方程

由于degC＞ max ｛degA，degD｝和 degh（z）≥degH（z），所以得到

而C（z）h（qz+c）P（qz+c）Q（qz+c）H（z）Q（z）與C（z）h（z）P（z）H（qz+c）Q（qz+c）Q（z）為兩個(gè)相同次數(shù)的多項(xiàng)式且最高次數(shù)的系數(shù)相同，因此上述方程的左邊不可能恒為零，矛盾。證畢。