巧用n(n-1)/2和n（n-1）解決實際問題

陳永志

[摘要]一元二次方程解決實際問題是中考數(shù)學命題的熱點，也是初中數(shù)學教學的一個難點.運用n（n-1）/2和n（n-1）可以解決一元二次方程實際問題.

[關鍵詞]一元二次方程;實際問題;解決

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0027-02

運用一元二次方程解決實際問題是初中數(shù)學教學的主要內(nèi)容，既是中考數(shù)學的熱門考點之一，也是教學的難點.新課標要求，能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.新課程改革后，初中數(shù)學的教材中，每一章書的開篇一般都是以實際問題為背景來導人新學的知識，這樣既可以宣傳國家的相關政策，具有德育的功能，又可以激發(fā)學生的學習興趣，在學習數(shù)學的知識過程中滲透一些生活實際問題來提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.幾年來，筆者曾參加中考閱卷工作，在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)，很多學生在完成運用一元二次方程解決實際問題的類型題中出現(xiàn)較多的失誤，甚至有些學生對這些題目無從下手，這幾年筆者一直擔任初三畢業(yè)班的數(shù)學教學工作，在中考備考中也有所收獲，以下就n（n-1）/2和n（n-1）解決實際問題舉例說明.

類型一：球賽場數(shù)問題

[例1]某初中要進行班際足球比賽，要求每兩隊之間只進行一場比賽，共要比賽45場，共有幾隊參加比賽？

分析：根據(jù)已知條件，可以引導學生注意兩隊之間只進行一場比賽，即比賽是以單循環(huán)形式進行的，

解：設共有n個球隊參加比賽，于是n（n-1）/2= 45.

解方程得n1= 10，n2= -9.

因為球隊的數(shù)量是正整數(shù)，所以n2= -9不符合題意，舍去，所以共有10個球隊參加比賽.

[例2]某初中要進行班際足球比賽，要求每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，共有幾隊參加比賽？

分析：根據(jù)已知條件，本題是將例1中的兩隊之間只進行一場比賽改為進行兩場比賽，即比賽是以雙循環(huán)形式進行的，

解：設共有n個球隊參加比賽，于是

n（n-1）=90，

解方程得：n1= 10，n2= -9.

因為球隊的數(shù)量是正整數(shù)，所以n2= -9不符合題意，舍去，所以共有10個球隊參加比賽，

例1和例2其實是球賽的賽制問題，是一個熱點問題，學生日常生活中經(jīng)常接觸的體育運動，也是學生感興趣的問題，在平時的學習過程中，數(shù)學教材也常用有關體育問題來作為情境，激發(fā)學生的學習興趣，在平時的學習或考試中出現(xiàn)，學生容易出現(xiàn)分不清的現(xiàn)象，什么時候用單循環(huán)比賽形式，什么時候用雙循環(huán)比賽形式，教師可以多舉類似球賽場數(shù)的例子，

類型二：票價與車票的問題

[例3]某列動車從城市A到城市B，中途要停5個站，且任意兩個站之間的距離不等，車費按公里數(shù)計算，問動車從城市A到城市B共有幾種票價？

分析：由已知條件，任意兩個城市之間的動車票價是不同的，而且動車在兩個城市之間的只有一種票價，

解：由已知可得，動車從城市A到城市B的票價總數(shù)為7x（7 -1） =2

2

（種），所以動車從城市A到城市B共有21種票價.

[例4]某列動車從城市A到城市B，中途要停5個站，問動車從城市A到城市日共有幾種車票？

分析：由已知條件，任意兩個城市之間的動車往返車票是不同的，因為車票有起始站，所以兩個城市之間應該有兩種車票，

解：由已知可得，動車從城市A到城市B的車票總數(shù)為7x（7 - 1）= 42（種）.

所以，動車從城市A到城市B共有42種車票，

中國已經(jīng)進入了高鐵時代，宣傳中國的鐵路交通運輸也常作為初中數(shù)學教學問題引入的情境，通過學生熟悉的購買車票的問題來激發(fā)學生的學習興趣，由例3和例4可以看出，車票和票價屬于不同類型的問題，但又存在互相關聯(lián)，

類型三：幾何問題

[例5]如圖1，圖中共有幾條線段？共有幾條射線？

分析：本題主要是線段和射線的問題，線段沒有方向，但射線有方向， 解：線段共有5×（5-1）/2= 10（條），射線有5x（5-1）=20（條）.

[例6]在同一平面內(nèi)，任意兩條直線都不平行的100條直線最多有多少個交點？

分析：由題目已知，在同一平面內(nèi)，任意兩條不平行直線必相交，

解：共有100×（100-1）/2= 4950（個）.

類型四：QQ電話與QQ信息問題

[例7]某個班級QQ群里共有n人同學，如果兩兩同學互相通電話，且任意兩個人只通一次，共通了990次電話，求n的值，

分析：本題中，由已知可得，任意兩個人只通一次電話，

解：由題意得n（n-1）/2=990，解方程得n1=45，

n2= -44.因為人的數(shù)量是正整數(shù)，所以n2= -44不符合題意，舍去，所以n的值為45.

[例8]某個班級QQ群里共有n人同學，如果兩兩同學互相發(fā)信息，且每個人都發(fā)給其他同學一條信息，共發(fā)了1980條信息，求n的值，

分析：由已知，任意兩個同學之間要發(fā)兩條信息，

解：由題意得n（n -1）=1980，解方程得：n1=45，n2= -44.因為人的數(shù)量是正整數(shù)，所以n2= -44不符合題意，舍去，所以n的值為45.

當今社會是一個網(wǎng)絡高速發(fā)展的時代，學生對網(wǎng)絡也是非常熟悉的，結合現(xiàn)實生活實際在數(shù)學教學活動中如何處理數(shù)據(jù)的問題也可以激發(fā)學生的學習熱情，

運用n（n-1）/2和n（n-1）解決實際問題除了以上列舉的問題外，還有各種聚會中所有人兩兩握手的問題、簽合同的問題、一些幾何問題等，在此就不一一列舉了.

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[s].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數(shù)學（九年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數(shù)學（七年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2012.

（責任編輯黃桂堅）